Lectures on morse homology pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Kluwer Academic Pub

作者:Banyaga, Augustin

出品人:

页数:324

译者:

出版时间:2005-10

价格:808.00元

装帧:HRD

isbn号码:9781402026959

丛书系列:

图书标签:

• Morse theory
• Homology
• Differential topology
• Critical points
• Manifolds
• Topology
• Mathematics
• Geometric analysis
• Index theory
• Symplectic topology

《拓扑学前沿：解析几何与代数拓扑的交汇点》 引言：探索数学结构之美 本书旨在为读者提供一个深入而全面的视角，聚焦于现代数学中两个核心领域——微分几何与代数拓扑的交汇地带。我们着眼于如何利用几何直觉来构建和理解抽象的代数结构，并反之，如何运用代数工具揭示空间固有的拓扑性质。不同于专注于单一理论体系的传统教材，本书采取一种综合性的方法，旨在培养读者在不同数学分支间建立联系的能力，这是进行前沿研究的关键素质。 全书的结构围绕着对“空间”概念的深化理解展开，从欧几里得空间的基础概念出发，逐步过渡到黎曼流形上的度量结构，最终探讨更复杂的微分空间（如纤维丛）所携带的拓扑信息。我们相信，只有扎根于坚实的几何基础，才能真正掌握高阶拓扑理论的精髓。 第一部分：基础几何框架的重构 本书的第一部分致力于夯实微分几何的基础，但我们的重点在于建立一套能够支撑后续拓扑分析的“语言”。我们不会冗余地重复微积分或线性代数的基础知识，而是直接进入到流形理论的核心。 第一章：光滑流形的范畴与张量场 本章详细阐述了光滑流形的定义，重点在于对图册、转移映射和切空间的严格构造。我们深入探讨了向量场和张量场的概念，不仅仅停留在代数操作层面，更强调它们在局部坐标系变换下的协变和反变性质，这为引入微分形式奠定了基础。特别地，我们引入了李导数（Lie derivative）的概念，并阐明它如何衡量向量场对一个几何对象（如度量张量或微分形式）的作用，揭示了流形上对称性的内在机制。 第二章：度量、联络与测地线 本章的核心在于引入黎曼度量。我们详细分析了黎曼度量的定义、拉回（pullback）操作以及其诱导的体积形式。随后，我们构建了克里斯托费尔符号（Christoffel symbols）和Levi-Civita联络，严格证明了这是唯一保持度量兼容且无挠率的联络。大量的篇幅被用于测地线的概念及其变分原理，将几何的最短路径问题转化为一个变分问题，这不仅是经典物理的基础，也是现代几何分析的起点。我们还将探讨截面曲率（sectional curvature）的概念，并用其作为衡量流形局部几何弯曲程度的代数不变量。 第二章的特色在于对“平坦性”概念的深入剖析。我们不仅考察了曲率为零的情况，还引入了更广义的几何概念，如爱因斯坦流形（Einstein manifolds）和黎曼对称空间，展示了曲率如何以代数化的方式限定空间的整体行为。 第二部分：微分形式与拓扑的桥梁 在建立了坚实的微分几何背景后，第二部分开始引入分析工具，并将其转化为研究拓扑的强大代数手段。 第三章：微分形式的外代数与积分 本章从楔积（wedge product）开始，系统地构建了微分$k$形式的空间。我们着重于外导数（exterior derivative）的定义，并展示其与一般微分算子的关系。外导数满足$d^2=0$这一关键性质是本章的核心，这个纯代数性的事实（而非依赖于坐标的计算）是后续所有拓扑结果的基础。我们随后构建了外积分，并证明了 Stokes 定理的推广形式，这直接将流形上的积分计算与边界上的积分联系起来，预示着拓扑不变量的诞生。 第四章：de Rham上同调的构造与基本性质 本章是全书的理论高峰之一。我们利用第三章建立的$d^2=0$性质，正式定义了de Rham上同调群 $H^k_{ ext{dR}}(M)$，即闭微分形式模恰当微分形式的商空间。我们详细证明了de Rham上同调群是流形 $M$ 的一个拓扑不变量——即任何光滑映射在流形之间诱导出上同调的同态映射（通过拉回操作）。我们特别关注低维上同调群的几何意义：$H^0$ 对应于连通分支，$H^1$ 深刻关联于线丛的结构（通过第一陈示类），而高阶群则揭示了流形在高维上的“洞”的结构。 第四章的重点在于理解上同调环（de Rham cup product），即如何将两个低维上同调类组合成一个更高维的上同调类，这引入了空间中拓扑子集相交的代数描述。 第三部分：从几何到代数的不变式 第三部分将目光投向如何使用这些代数工具来区分不同的流形，并探讨更高级的几何分析技术。 第五章：拓扑结构的代数提取：Hodge理论的初探 本章将微分几何与调和分析相结合。我们引入了拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta = ddelta + delta d$（其中 $delta$ 是散度算子，即外导数在度量下的伴随算子）。在紧致流形上，我们利用能量泛函（$L^2$ 范数）证明了 Hodge 分解定理：任何闭形式都可以唯一地分解为一个调和形式（即 $Delta h = 0$）和一个恰当形式的扰动。调和形式的空间恰好同构于 de Rham 上同调群，这从分析的角度给出了上同调群的精确计算方法，强调了几何结构对代数结构决定性的作用。 第六章：纤维丛与Chern类 本书的最后部分将视野扩展到更一般的光滑空间结构：纤维丛。我们定义了向量丛、主丛和联络。我们重点关注“曲率”在丛理论中的角色，即杨-米尔斯理论（Yang-Mills theory）的几何前身。我们将曲率与联络的微分计算联系起来，并详细构造了Chern类（Chern classes）。Chern类是向量丛的一个重要拓扑不变量，我们展示了如何利用 Chern-Weil 理论，通过流形上的特定微分形式（如 Cher-Simons 3-形式）来计算这些拓扑量，从而将丛的几何结构完全“翻译”成流形本身的拓扑不变量。 结语：展望与应用 本书的结论部分简要回顾了从微分结构到代数拓扑不变量的完整路径。我们强调了本书所建立的理论框架——特别是 de Rham 定理——如何成为连接经典几何与现代拓扑学（如 K-理论和非交换几何）的坚实桥梁。读者应能从本书中掌握一套强大的分析工具，用以解决涉及空间弯曲、连接和复杂几何结构的拓扑分类问题。本书最终的目标是激发读者将几何直觉应用于更抽象的代数结构，并探索微分几何在理论物理中的更深层应用。

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