具体描述
好的，这是一份关于不包含《代数与三角学和解析几何》（Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry）内容的图书简介草稿，旨在详尽地描述一个具有不同焦点和内容的数学教材。 --- 《微积分与线性代数导论：概念、应用与计算方法》 本书聚焦： 本书旨在为理工科、经济学以及需要扎实数学基础的学生提供一套全面且深入的微积分（微积分I和II的组合）与线性代数基础知识。它将传统上分阶段教授的核心概念进行整合，强调数学思想的连贯性、严谨的理论推导以及在现代科学与工程领域中的实际应用。本书特别关注如何利用现代计算工具（如Python或MATLAB）来辅助理解复杂概念和解决实际问题，而不是仅仅停留在手工计算层面。 第一部分：微积分基础与应用（涵盖单变量与多变量） 本书的微积分部分，区别于侧重于几何图像和基本代数运算的传统教材，着重于变化率、累积效应和极限的严格定义，并将这些工具直接应用于物理、经济和数据分析的背景中。 第一章：极限、连续性与导数的本质 本章从严格的 $epsilon-delta$ 定义出发，建立极限的概念，并将其作为微积分的基石。我们深入探讨了函数的连续性、中值定理（如罗尔定理和拉格朗日中值定理）的几何与分析意义。 导数的定义与计算： 除了传统的求导法则（乘法、商法、链式法则），本章重点讲解导数作为线性近似的物理含义。我们引入了泰勒展开式的基础，并将其与牛顿迭代法紧密联系起来，展示了导数在求解非线性方程中的强大作用。我们探讨了高阶导数在确定函数行为（凹凸性）上的作用，但侧重于如何使用二阶导数来优化经济模型中的利润函数，而非仅仅进行图形绘制练习。 第二章：积分学的反思与累积 本章重新审视微积分基本定理，强调它是导数和积分之间的桥梁。我们不将定积分视为简单的面积计算，而是将其定义为黎曼和的极限，代表着某种物理量（如功、流量、总变化量）的累积。 积分技术与应用： 除了标准的换元法和分部积分法，本章将大量篇幅用于三角代换、欧几里得几何在积分中的应用（如求质心、转动惯量）。更重要的是，我们详细讨论了积分在概率密度函数（PDF）中的应用，为后续的统计学奠定基础。我们还探讨了无穷级数的收敛性判据（如比值检验和根值检验），并将它们与幂级数（泰勒级数）的应用结合起来，用于逼近复杂函数的精确值。 第三章：多变量微积分：空间的洞察力 本部分是本书区别于单变量微积分教材的关键所在。我们从向量到空间的过渡自然流畅，而非突兀地引入三维坐标系。 偏导数与梯度： 梯度向量被定义为函数增长最快的方向，这比简单的偏导数计算更具几何和物理直觉。我们详细分析了方向导数，并将其应用于最优路径搜索和地质勘探的等值线分析。 多重积分与场论基础： 双重和三重积分被系统地介绍，重点在于坐标变换（极坐标、柱坐标和球坐标）的雅可比行列式的推导与应用。我们将重点放在线积分和面积分上，介绍格林定理、斯托克斯定理和散度定理（高斯定理）的物理意义（如保守场、通量计算），而非仅仅是复杂的符号运算技巧。这些定理被直接应用于流体力学和电磁场理论的简化模型中。 --- 第二部分：线性代数：结构与变换的语言 本部分旨在将线性代数从一个单纯的“解方程组”的工具提升为描述向量空间、线性变换和数据结构的通用语言。 第四章：系统、向量与空间 本书从线性方程组出发，强调行阶梯形的意义在于揭示系统的内在结构和解空间的维度。 向量空间与子空间： 我们严格定义了向量空间、线性无关性、基和维数。基的选择被视为理解特定变换的最佳视角。零空间（核）和值域（像）的分析是本章的核心，它们揭示了线性变换的“输入”如何被“压缩”或“拉伸”。我们使用图论中的邻接矩阵作为第一个实际应用实例。 第五章：线性变换与矩阵表示 矩阵不再仅仅是数字的排列，而是作用于空间上的线性映射。本章详细分析了矩阵的秩-零化度定理，并展示了它在信息论（如信道编码）中的基础应用。 相似性与特征值/特征向量： 这是本章的重点。特征值/特征向量被解释为保持方向的“不变轴”。我们深入探讨了对角化的意义——它将复杂的线性变换分解为最简单的缩放操作。本书着重于马尔可夫链和主成分分析（PCA）的简化概念作为特征分析的首要应用，而非仅限于求解二阶常微分方程。 第六章：内积、正交性与优化 本章引入了内积空间的概念，将几何直觉（长度和角度）推广到任意维度。 正交基与最小二乘法： Gram-Schmidt正交化过程被用于构建最简洁的正交基。我们详细推导了最小二乘法，将其定位为处理超定系统（数据拟合）的核心工具。这部分内容直接服务于工程和数据科学中对“最佳拟合”的需求。 SVD（奇异值分解）的几何视角： 我们对奇异值分解进行详尽的几何解释，将其看作是三个基本变换（旋转、缩放、旋转）的复合。SVD的介绍比传统教材更早、更深入，强调其在数据降维和图像压缩中的核心地位。 总结与展望 本书避免了对解析几何中圆锥曲线的繁复分析（如双曲线、抛物线与椭圆的方程求解，以及焦点、准线的纯代数讨论），也未涉及高等代数（如群、环、域）或离散数学（如组合逻辑）的内容。它提供了一个高度应用驱动、强调结构分析和现代计算思维的微积分与线性代数集成课程。读者完成本书后，将具备使用向量空间理论分析复杂系统的能力，并能将导数和积分的概念应用于理解动态过程和量化累积效应。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.quotespace.org All Rights Reserved. 小美书屋 版权所有