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出版者:Brooks Cole

作者:Richard L. Burden

出品人:

页数:847

译者:

出版时间:2004-12-10

价格:USD 255.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534392000

丛书系列:

图书标签:

课本
数学
Mathematics
数值分析
计算数学
科学计算
数值方法
算法
数学建模
高等数学
工程数学
计算机科学
优化算法

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具体描述

This well-respected text gives an introduction to the modern approximation techniques and explains how, why, and when the techniques can be expected to work. The authors focus on building students' intuition to help them understand why the techniques presented work in general, and why, in some situations, they fail. With a wealth of examples and exercises, the text demonstrates the relevance of numerical analysis to a variety of disciplines and provides ample practice for students. The applications chosen demonstrate concisely how numerical methods can be, and often must be, applied in real-life situations. In this edition, the presentation has been fine-tuned to make the book even more useful to the instructor and more interesting to the reader. Overall, students gain a theoretical understanding of, and a firm basis for future study of, numerical analysis and scientific computing. A more applied text with a different menu of topics is the authors' highly regarded NUMERICAL METHODS, Third Edition.

《数值分析》：探索计算世界的基石图书简介《数值分析》是一部旨在为读者系统介绍现代科学计算核心理论与实践的权威著作。本书深入浅出地探讨了处理连续数学问题离散化处理所必需的数值方法、算法设计、稳定性和精度分析等关键领域。它不仅仅是教科书，更是一座连接纯数学理论与工程实践的桥梁，为致力于解决复杂计算难题的研究人员、工程师和高年级学生提供了坚实的基础。全书内容组织严谨，逻辑清晰，从最基础的误差分析和函数逼近理论出发，逐步过渡到线性代数方程组的数值解法、特征值问题的计算、非线性方程的求解，以及微分方程的数值积分。每一章节都力求在理论深度和实际应用之间找到最佳平衡点。第一部分：基础与误差分析本书的开篇聚焦于数值计算的基石——误差分析。在任何实际计算中，我们处理的都不是绝对精确的数学对象，而是带有误差的近似值。本章详尽阐述了浮点数的存储、运算中的固有误差（舍入误差），以及算法本身的固有误差（截断误差）。我们通过引入有效数字、绝对误差和相对误差的概念，建立起对计算质量的量化标准。对误差的深刻理解是后续所有高级算法设计和分析的前提。接着，我们将重点介绍插值法。插值是函数逼近中最基本且应用最广的方法之一。从最直观的牛顿有限差分法和拉格朗日插值多项式讲起，详细分析了这些方法的局限性，特别是高次插值可能导致的龙格现象。为克服这一难题，本书引入了更加平滑和局部化的分段插值方法，尤其是三次样条插值。我们不仅推导出样条函数的构造原理，还严格证明了其二阶连续可微性的优越性，并探讨了不同边界条件（如自然样条、钳制样条）对解的影响。第二部分：数值微积分与微分方程在掌握了函数逼近之后，本书转向了数值积分（或称数值微分）。解析地计算定积分或导数在许多情况下是不可行的，因此需要依赖数值方法。我们首先回顾了牛顿-柯特斯求积公式，包括梯形法则和辛普森法则，并推导了它们的误差项，阐明了如何通过增加节点数来提高精度。随后，引入了更为高效且适用于更广泛情况的高斯求积。高斯法的核心思想在于选择最优的节点和权重，以最小的计算量达到极高的精度。本书会详细介绍勒让德多项式在构建高斯点和权重中的作用，并对比其相对于牛顿-柯特斯方法的显著优势。本书的这一部分高潮是对常微分方程（ODE）数值解法的探讨。对于形如 $y' = f(t, y)$ 的初值问题，我们必须使用数值迭代方法。从最简单的欧拉方法（前向和后向）出发，分析其一阶精度和稳定性限制。随后，章节内容升级到更高阶的方法，如龙格-库塔（Runge-Kutta）方法族，特别是著名的四阶经典龙格-库塔法（RK4），并解释其如何平衡局部精度和计算复杂度。对于需要处理刚性（stiff）方程组的场景，本书还专门介绍了隐式方法（如后向欧拉法、隐式梯形法则）的稳定性和求解策略。第三部分：线性代数方程组的数值求解线性代数是现代科学计算的中心议题。求解形如 $Ax=b$ 的大型线性系统是工程模拟、数据拟合等领域的核心任务。本书首先分类讨论了直接法。重点分析了高斯消元法的原理、计算量，以及其在引入主元选择（Pivoting）策略后如何显著提高数值稳定性，避免除以接近零的数。随后，我们深入探讨了矩阵的三角分解，特别是LU分解及其变体（如 $PA=LU$ 形式），这些分解是高效求解多次右端项问题的关键。此外，对称正定矩阵的专用分解——乔里斯基分解（Cholesky Decomposition）也被详细论述。面对维度极高、数据稀疏的矩阵，直接法因内存和计算成本过大而不再适用。因此，本书投入大量篇幅介绍迭代法。我们从基础的雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代入手，阐明了它们的收敛条件。进而，引入了更为强大的Krylov子空间方法，特别是共轭梯度法（CG）用于对称正定系统，以及GMRES和双共轭梯度法（BiCGSTAB）用于一般的非对称系统。本书不仅给出算法流程，更重要的是，它解释了预处理技术（Preconditioning）如何通过改善迭代矩阵的条件数，从而极大地加速收敛速度。第四部分：特征值问题的数值计算计算矩阵的特征值和特征向量在振动分析、量子力学、主成分分析（PCA）中至关重要。本书首先介绍了幂迭代法，用于寻找最大（或最小）特征值，并分析了其收敛速度。随后，引入反幂迭代法，它结合了矩阵求逆的思路，能够高效地逼近特定区间的特征值。对于全矩阵特征值问题的求解，本书的核心内容集中在QR算法。我们详细讲解了如何通过Householder反射或Givens旋转将一般矩阵转化为Hessenberg矩阵（对于对称矩阵则转化为三对角矩阵），从而大大降低后续QR迭代的计算成本。QR算法的每一步迭代都建立在正交变换的基础上，这保证了极佳的数值稳定性。我们还探讨了使用Shift策略（如Rayleigh商Shift）来加速收敛至特征值的具体实现细节。总结与展望《数值分析》致力于提供一个全面的视角，使读者不仅能“使用”数值算法，更能“理解”算法背后的数学机理、稳定性和性能限制。全书穿插了大量的例子、证明和对计算复杂度的严格分析。它为读者打下了坚实的计算思维基础，是未来深入研究偏微分方程的数值解法、优化理论以及现代机器学习算法中涉及的大规模矩阵计算的必备知识储备。本书的编写风格注重严谨的数学推导，同时密切关注计算实践中的实际问题，确保理论知识能够有效地转化为强大的计算工具。