Fourier Series and Boundary Value Problems (Brown and Churchill) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:McGraw-Hill Science/Engineering/Math

作者:James Brown

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2006-08-28

价格:$ 228.83

装帧:Hardcover

isbn号码:9780073051932

丛书系列:

图书标签:

• 傅里叶级数
• 边界值问题
• 复变函数
• 数学分析
• 工程数学
• 偏微分方程
• 高等数学
• 数学物理方法
• 信号处理
• 振动分析

经典分析的基石：一种深度探究数学物理方程的途径 图书名称： 《偏微分方程中的经典方法与现代视角》 作者： [虚构作者姓名，例如：张伟, 李明] 出版社： [虚构出版社名称，例如：科学技术文献出版社] 出版年份： [虚构年份，例如：2024] --- 简介 本书旨在为高等数学、理论物理、工程科学及应用数学领域的研究人员、研究生和高年级本科生提供一个全面且深入的偏微分方程（PDEs）经典解法与现代分析工具相结合的教程。不同于侧重单一解题技巧的传统教材，本书的构建哲学在于揭示不同类型偏微分方程背后的统一数学结构，强调从物理直觉出发，过渡到严谨的数学推导，最终掌握求解复杂物理现象的有效工具。 我们深刻认识到，偏微分方程是描述自然界中连续介质和场（如热传导、波动、流体运动、电磁场）行为的语言。因此，本书的叙事结构围绕三大核心物理模型展开：热传导方程（抛物型）、波动方程（双曲型），以及拉普拉斯/泊松方程（椭圆型）。 第一部分：基础与一维问题的解析解法 本部分奠定了整个课程的数学基础，重点在于如何将具有特定边界条件和初始条件的物理问题转化为可解的数学形式。 第一章：数学物理基础与算子理论 本章首先回顾了必要的复分析和常微分方程（ODEs）知识。随后，我们引入了对PDE分析至关重要的核心工具：线性算子、特征值问题以及Green函数的基本概念。详细讨论了算子在函数空间上的作用，并为后续的傅里叶分析和分离变量法做铺垫。重点阐述了物理问题中定解条件（如狄利克雷、诺伊曼、周期性边界条件）的物理意义。 第二章：分离变量法——基础与局限性 分离变量法是求解许多经典PDEs的首选技术。本章详细讲解了如何将一个二维或三维的PDE分解为一组相互独立的ODE。 二维拉普拉斯方程的求解： 在矩形域上，利用傅里叶级数求解泊松方程，特别关注非齐次边界条件的处理，如使用叠加原理和待定系数法。 热传导方程的瞬态解： 在半无限长杆或有限长杆上，分析热量如何随时间扩散，并严格推导了温度分布的解析表达式。 一维波动方程的达朗贝尔解法： 针对无限长弦的自由振动问题，清晰地展示了初始位移和速度如何通过达朗贝尔公式完全确定系统的未来演化。 第三章：傅里叶级数与傅里叶变换的深度应用 虽然分离变量法依赖于傅里叶展开，但本章超越了简单的级数表示，深入探讨了其作为一种完备正交基的强大功能。 傅里叶级数的收敛性与光滑性： 详细讨论了傅里叶级数在间断点附近的吉布斯现象，并介绍了收敛速度与原函数光滑性之间的关系。 周期性边界条件下的处理： 重点介绍了复指数形式的傅里叶级数在处理周期性问题时的简洁性。 傅里叶积分变换： 扩展到无界区域问题，如无限长半导体中的电荷扩散，展示了傅里叶变换如何将微分方程转化为代数方程，极大地简化了计算过程。 第二部分：特殊几何形状与高级技巧 当问题不再局限于简单的矩形或直角坐标系时，必须采用更精细的数学工具。本部分专注于在圆形、球形和其他非正交坐标系中求解PDEs。 第四章：柱坐标系与球坐标系下的分离变量 本章的核心是理解在不同坐标系下，拉普拉斯算子形式的变化，以及由此导致的特殊函数解。 柱坐标系（圆盘与圆柱）： 详细推导了在圆形区域上的拉普拉斯方程解，自然引出贝塞尔函数（Bessel Functions）。通过分析贝塞尔函数的零点，确定了圆形鼓膜振动的特征频率。 球坐标系（球壳与实心球）： 在球对称问题中，解的结构涉及勒让德多项式（Legendre Polynomials）。通过求解球壳上的静电势问题，系统地构建了球谐函数（Spherical Harmonics）的理论框架。 第五章：格林函数方法——通用响应函数 格林函数方法是处理非齐次线性偏微分方程的终极解析工具，代表了对系统响应的深刻理解。 定义与构建： 本章从物理意义出发，定义了格林函数（或称基本解）作为单位脉冲源在系统中的响应。 PDEs中的应用： 详细展示了如何利用已知的基本解（例如，拉普拉斯方程在 $mathbb{R}^n$ 中的基本解）来积分求解任意源项（如泊松方程）的特定解。对边界条件的正确嵌入进行了严格的讨论，包括使用反射法处理齐次边界条件。 第三部分：现代分析工具与非解析方法导论 解析方法虽然优雅，但在处理复杂几何或高度非线性问题时会失效。本部分引导读者了解现代泛函分析和数值方法的思想基础。 第六章：无穷维空间中的特征值问题 将PDEs的边值问题提升到函数空间（如希尔伯特空间）的视角。 斯蒂尔切斯-利乌维尔（Sturm-Liouville）理论： 深入研究了与分离变量法中得到的特征值问题。讨论了算子的自伴随性、特征函数的正交完备性，并证明了在适当的函数空间中，任意函数都可以被特征函数序列“完美”展开。这为傅里叶分析的严格性提供了坚实的理论支撑。 变分原理： 引入了能量最小化原理，展示了如何从能量泛函的角度来推导拉普拉斯方程，为理解有限元方法的数学基础做好铺垫。 第七章：初值问题的稳定性与适定性 在分析PDEs时，理解解的存在性、唯一性和稳定性至关重要。 哈达玛（Hadamard）的适定性标准： 明确区分了良定、不适定问题。例如，分析了反问题的物理困难。 能量方法与最大值原理： 使用能量泛函（如黎曼积分）来证明热传导方程和波动方程解的唯一性和稳定性。最大值原理提供了一种强大的、不依赖于具体解的工具，用于理解物理量的边界约束。 总结与展望 本书通过对经典偏微分方程的系统性、多角度的解析，旨在培养读者对数学物理问题的深刻洞察力。我们避免了对单一解题模板的机械重复，而是强调了坐标选择、算子理论和函数空间理论的相互作用。本书的结构不仅涵盖了求解基础PDE的全部标准解析技巧，更重要的是，它为进一步学习更高级的主题，如分布理论、非线性PDE（如纳维-斯托克斯方程）以及现代数值方法的原理，打下了坚实、严谨的数学基础。 本书的读者将能够自信地驾驭从基础工程应用到前沿理论物理建模中的关键数学挑战。

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