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出版者:Addison-Wesley

作者:Beecher, Judith A./ Penna, Judith A./ Bittinger, Marvin L.

出品人:

页数:1072

译者:

出版时间:2007-2

价格:$ 204.90

装帧:HRD

isbn号码:9780321466204

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 三角学
• 数学
• 高等数学
• 函数
• 方程
• 图形
• 三角函数
• 数学分析
• 预微积分

经典数学理论与现代应用：一部通往高等数学殿堂的阶梯 导言：跨越基础的飞跃 本书旨在为有志于深入探索数学奥秘的学习者，提供一个坚实而富有启发性的起点。它并非一本简单的代数或三角函数习题汇编，而是一部精心构建的知识体系，致力于弥合初级数学概念与高等数学（如微积分、线性代数）之间广阔的鸿沟。我们的核心理念是：真正的理解源于对基本原理的深刻洞察，并辅以对这些原理在真实世界中应用的广泛探索。 第一部分：代数世界的精耕细作——重塑核心思维 本部分聚焦于代数概念的精炼与拓展，其深度远超一般预备课程的范畴。我们不满足于仅展示如何求解方程，而是深入探究方程背后的结构与逻辑。 第一章：数系的延伸与结构洞察 我们将从实数系的完备性出发，逐步引入复数系统。不同于通常对复数的肤浅介绍，本章将详细剖析复数的几何意义——在二维平面上的旋转与缩放操作，这为后续的向量分析和复变函数打下了坚实的几何基础。我们将探讨复数的代数形式、三角形式（De Moivre定理的深入应用）以及指数形式（欧拉公式的推导与意义）。重点在于理解复数乘法如何对应于几何旋转，以及$n$次方根在复平面上的均匀分布规律，这对于理解周期性现象至关重要。 第二章：多项式的深层结构分析 本章将多项式视为具有特定结构的函数对象。我们不仅复习了因式定理和余式定理，更侧重于高次多项式的根的性质。我们将深入探讨有理根定理，并引入更高级的方法来分析根的个数与性质，例如利用笛卡尔符号法则（Descartes' Rule of Signs）对正实根和负实根的个数进行预估。此外，我们还将探讨多项式的多重根，以及如何通过导数来识别它们，这与函数的局部极值分析紧密相关。最后，我们将简要介绍伽罗瓦理论的初步思想——即探究五次及以上方程为何不存在一般代数解的深层原因，激发读者对抽象代数领域的兴趣。 第三章：超越一元：矩阵代数的基石 本章是通往线性代数世界的桥梁。我们从线性方程组的求解入手，但迅速将重点转向矩阵运算的几何解释。矩阵不再仅仅是数字的矩形排列，而是描述线性变换（如拉伸、剪切、投影）的工具。我们将详细阐述矩阵加法、乘法（强调非交换性）的运算规则，并深入讲解矩阵的逆、行列式的计算及其性质。行列式的几何意义——表示线性变换的定向面积或体积的缩放因子——将被反复强调。本章的难点与重点在于理解矩阵的秩（Rank）与零空间（Null Space）的概念，这直接关系到方程组解的存在性与唯一性。 第二章：函数与映射的精妙世界 本部分将函数的概念提升到映射的层面，强调其在建模和分析动态系统中的核心地位。 第四章：函数的深入剖析与变换的艺术 本章将函数的定义域、值域的边界分析作为核心。我们将系统地考察几种关键函数族的性质：指数函数、对数函数、有理函数。对于指数函数，我们将探讨其在复指数函数（欧拉公式的直接应用）下的延展，以及其在自然增长与衰减模型中的不可替代性。对于对数函数，我们将关注其作为指数函数的反函数，及其在改变数值尺度方面的巨大威力，例如在描述地震强度（里氏等级）和声音强度（分贝）时的应用。本章的另一核心是函数变换——平移、拉伸、反射——不仅在二维平面上进行可视化，更要分析这些变换如何影响函数表达式的结构。 第五章：反函数、复合函数与函数的分解 我们超越简单的反函数求解，探讨了函数是否可逆的充要条件——单射性（一对一）和满射性（映满）。复合函数（Function Composition）将被视为一种“嵌套”操作，并分析其对函数性质的传递效应。更具挑战性的是，本章引导读者思考如何将一个复杂函数“分解”为一系列简单函数的组合，这是在进行微积分中的链式法则推导前至关重要的概念预备。 第三部分：三角学的几何与周期性 三角学被赋予了超越直角三角形的新生命力，成为分析周期现象的语言。 第六章：从角度到弧度，从平面到空间 本章彻底摆脱“对边比邻边”的狭隘定义。角度的度量将全面转向弧度制，并深入探讨单位圆的概念，将其视为三角函数周期性的物理载体。正弦与余弦函数不再是孤立的函数，而是描述圆周运动或简谐振动的基本工具。我们将详细分析这些函数的周期性、振幅、相位偏移对实际周期现象（如潮汐、交流电）的影响。 第七章：三角恒等式的构建与应用 本章是代数技巧在三角函数领域的高级应用。我们不仅要推导和记忆基本的毕达哥拉斯恒等式，更要系统地推导和运用和差角公式、倍角公式、半角公式。重点在于理解这些公式如何通过代数变形，实现角度的转换与简化。此外，我们将引入和差化积、积化和差公式，这些工具在后续的积分和傅里叶分析中扮演着至关重要的角色。本章还将首次将三角函数扩展到更广泛的角度范围（包括零、负角），确保其作为周期函数模型的完备性。 第八章：向量与坐标：从二维到三维的过渡 本章将平面三角学提升到向量分析的初步阶段。二维向量的加减法、标量乘法、点积（内积）将被引入，并重点解释点积在计算两个向量夹角和判断正交性上的几何意义。这为后续的三维空间几何和物理学中的力、功、功率等概念奠定了基础。我们还将初步探讨正弦定理和余弦定理在非直角三角形中的应用，并演示如何利用向量的分量表示来解决更复杂的实际定位问题。 结论：构建更高楼宇的蓝图 本书的最终目标是培养读者进行精确的数学建模和严谨的逻辑推理能力。我们确保了每一步的代数操作都服务于更宏大的几何或函数概念，每一个三角恒等式的推导都服务于周期现象的解析。掌握了这些内容，读者将以无比坚实的基础，自信地迈入微积分、微分方程、离散数学以及应用数学的广阔天地。每一章节的练习题都被精心设计，要求学生不仅要计算出结果，更要阐述推理过程的合理性与适用范围。

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