A Friendly Introduction to Numerical Analysis. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Prentice Hall

作者:Brian Bradie

出品人:

页数:976

译者:

出版时间:2005-5-6

价格:USD 88.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780130130549

丛书系列:

图书标签:

• 教材
• Mathematics
• 数值分析
• 计算方法
• 科学计算
• 数学
• 算法
• 工程数学
• 高等教育
• 友好的介绍
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• 数值方法

现代计算科学的基石：数值分析导论 本书聚焦于支撑现代科学、工程学乃至金融领域的核心数学工具——数值分析。它旨在为读者提供一个严谨且直观的框架，用以理解和实践如何通过计算机对连续数学问题进行有效、精确的近似求解。这不是一本孤立的理论汇编，而是一座连接纯数学理论与实际计算应用的桥梁。 我们生活在一个充斥着微分方程、积分和复杂函数的世界中。无论是模拟天气模式、设计新药的分子结构、分析电路的动态响应，还是为航天器计算轨道，这些现实世界的问题往往无法通过简单的解析方法一步到位求解。数值分析便在此刻登场，它提供了一套系统的方法论，将这些看似无解的难题转化为计算机可以高效处理的代数或离散问题。 第一部分：误差的本质与基础工具 本书的开篇深入探讨了数值计算的内在挑战——误差。我们首先区分了截断误差（源于使用近似方法取代精确数学过程）和舍入误差（源于计算机有限的存储能力和浮点数表示）。对误差的精确理解和控制是成为一名优秀数值分析师的首要前提。我们详细剖析了浮点数运算的机制，包括它们在不同精度（单精度与双精度）下的表现，以及如何量化和管理这些不确定性，确保计算结果的可靠性。 在此基础上，我们转向基础的代数工具。线性代数是数值分析的骨架。本书用大量篇幅讲解了如何高效地求解线性方程组 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$。从经典的高斯消元法及其细致的步奏分析，到理解其背后的矩阵分解，如LU分解，我们不仅展示了如何执行这些运算，更深入探究了矩阵的条件数——衡量系统对输入微小变化的敏感度，这直接关系到解的稳定性。对于大型、稀疏系统，我们引入了迭代法，例如雅可比法和高斯-赛德尔法，探讨它们在收敛性上的理论保证和实际应用中的优势。 第二部分：函数逼近与插值 自然界和工程中的许多函数是未知的或难以处理的。本部分的核心目标是：如何用计算机已知的、易于操作的函数（通常是多项式）来“模仿”这些复杂函数。 我们从插值的概念入手。首先介绍拉格朗日插值和牛顿有限差分法，它们提供了通过一组离散数据点精确构造拟合多项式的途径。然而，高次插值多项式往往会出现灾难性的龙格现象。为了克服这一点，本书重点介绍了分段插值，特别是三次样条插值。样条函数通过在数据点处保证光滑性（连续的一阶和二阶导数），提供了一种鲁棒且视觉上令人愉悦的函数近似方案，这在计算机图形学和数据平滑中至关重要。 接下来，我们超越了“精确穿过”所有数据点的插值，转向了更具实用性的最小二乘拟合。当数据带有噪声时，我们追求的是“最佳拟合”而非“精确拟合”。本书详细阐述了如何利用线性代数原理（正规方程组）构建一元和多元最小二乘模型，用于趋势分析和回归建模。 第三部分：求解微分方程的数值方法 微分方程是描述动态系统的核心语言。从流体力学到电路分析，我们遇到的几乎都是无法解析求解的常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）。 对于常微分方程，本书系统地介绍了求解初值问题的数值方法。我们从最基础的欧拉方法开始，揭示其一阶精度和局限性。随后，我们深入研究了更精确、更稳定的龙格-库塔（Runge-Kutta）方法族，特别是经典的四阶RK4方法，展示了它们如何在保持计算效率的同时大幅提高精度。一个重要的讨论点在于稳定性和绝对稳定性区域，这决定了在求解“刚性”（Stiff）问题时，我们必须选择合适的隐式方法，如向后欧拉法。 对于偏微分方程，本书侧重于有限差分法（FDM）。我们推导了如何将连续的偏导数转化为基于网格点的差分近似，并将其应用于经典问题，例如热传导方程（抛物型）和泊松方程（椭圆型）。我们讨论了如何将PDE离散化为一个大型线性代数系统，并探讨了显式和隐式时间积分方案在稳定性和计算成本上的权衡。 第四部分：优化与非线性方程求解 许多工程设计和系统校准问题最终归结为找到使某个函数最小化或最大化的变量集合，或者求解一组非线性方程 $f(mathbf{x}) = mathbf{0}$。 在非线性方程求解方面，本书详细分析了牛顿法的迭代过程，并探讨了它在多维空间中的扩展（牛顿-拉夫逊法）。我们也介绍了更鲁棒但收敛速度稍慢的割线法和不动点迭代，并讨论了如何选择合适的初始猜测值以确保全局收敛。 对于最优化问题，我们从一维无约束优化开始，介绍二分法和黄金分割法进行区间搜索。随后，我们将焦点扩展到多维无约束优化，深入讲解了梯度下降法的原理、步长选择策略，以及更先进的方法如共轭梯度法和拟牛顿法（如BFGS），这些方法在机器学习和复杂系统参数估计中扮演着核心角色。 结论 本书的结构经过精心设计，旨在培养读者从“如何计算”到“为何如此计算”的思维转变。每章后的习题都鼓励读者动手实现算法，并使用高级语言环境（如MATLAB或Python的科学计算库）来验证理论预测。通过对误差分析、稳定性、收敛性以及计算效率的全面考察，本书为有志于从事计算科学、数据分析、工程仿真或量化金融领域的学生和专业人士，奠定了坚实而实用的数值基础。学习本书，意味着掌握了将抽象数学模型转化为可操作、可验证的计算解决方案的能力。

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