Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, and Polymer Physics, and Financial Markets pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Kleinert, Hagen

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:533.00 元

装帧:Pap

isbn号码:9789812381071

丛书系列:

图书标签:

• Path Integrals
• Quantum Mechanics
• Statistical Mechanics
• Polymer Physics
• Financial Markets
• Quantum Field Theory
• Stochastic Processes
• Mathematical Physics
• Finance
• Calculus of Variations

深入探索理论物理、统计学与金融市场交叉领域的现代方法论 本书旨在为读者提供一个跨越理论物理、统计力学、高分子物理以及现代金融数学等多个前沿领域的核心数学工具——路径积分方法的全面且深入的阐述。 这本专著不仅仅是对经典理论的简单回顾，更是着重于展示如何将路径积分这一强大的、基于泛函积分的表述，应用于解决当前科学与工程领域中最具挑战性的问题。 本书的结构设计旨在引导读者从基础概念出发，逐步深入到高度复杂的应用层面，确保读者能够构建起坚实的理论框架，并掌握实际操作的技能。我们相信，理解路径积分不仅需要掌握微积分和线性代数的知识，更需要对量子力学和统计物理的基本原理有深刻的洞察。 第一部分：路径积分的量子力学基础与严谨推导 本部分聚焦于路径积分方法的起源及其在量子力学中的基本构建。我们将从薛定谔绘景与海森堡绘景的视角出发，阐述为什么路径积分提供了一种与传统算符方法截然不同的、更直观的微观世界描述方式。 1. 量子力学的时空表述与传播子 (Propagator): 我们首先定义了量子力学中系统从初始态演化到末态的时间演化算符（传播子）。通过将时间演化分解为无穷多个微小时间步长的乘积，本书详尽地推导了费曼（Feynman）的路径积分公式。重点在于对“经典作用量”在路径空间上的泛函积分的精确定义，以及如何处理无穷维积分的正则化问题。我们讨论了量子力学中的“微扰论”如何自然地转化为路径积分中的“微扰展开”，并探讨了时间排序操作在路径积分框架下的具体体现。 2. 自由粒子与谐振子：基础案例的路径积分求解: 为建立读者的直观理解，本书详细解析了两个最基本的物理系统：自由粒子和量子谐振子。对于自由粒子，我们将路径积分结果与基于波函数的薛定谔方程解进行对比，展示了路径积分如何直接提供振幅。对于量子谐振子，我们展示了如何利用完成平方技巧，将路径积分简化为高斯积分，从而精确地求出能级结构，并与海森堡绘景中的对易关系结果进行验证。这部分内容强调了路径积分在处理二次形式拉格朗日量时的强大能力。 3. 势能项的处理与WKB近似: 我们将讨论更一般形式势能 $V(mathbf{x})$ 引入路径积分后，如何通过对指数项进行泰勒展开来构建微扰级数。随后，我们深入探讨了半经典极限（$hbar o 0$），即WKB近似。路径积分的优势在于，它清晰地揭示了经典路径在量子效应中扮演的核心角色，即路径积分主要由围绕经典作用量极小值的路径贡献主导。 第二部分：统计物理与热力学的路径积分表征 路径积分方法在统计力学中表现出惊人的优越性，尤其是在处理统计力学中的配分函数（Partition Function）时。本部分的核心是将量子统计力学中的配分函数 $Z = ext{Tr}(e^{-eta hat{H}})$ 与路径积分联系起来。 4. 统计力学中的虚时间演化与欧几里得场论: 我们引入了“虚时间” $ au = it$ 的概念，这将时间演化算符转化为热力学上的玻尔兹曼因子。在虚时间下，路径积分的核变成了收敛的高斯泛函积分，这使得许多在实时间中难以处理的发散问题变得易于处理。本书详细讨论了欧几里得（Euclidean）路径积分的性质，包括其与经典统计力学中配分函数的直接对应关系。 5. 玻色子与费米子的路径积分：统计的区分: 本书专门辟出一章来解决玻色子和费米子统计的路径积分差异。对于玻色子，路径积分的核是标准指数形式。然而，对于费米子，必须引入反交换的Grassmann变量来实现类费米子的行为（如泡利不相容原理），这需要读者掌握基本的反交换代数。我们将展示如何利用Grassmann积分来表示费米子的传播子，并探讨其在求解电子系统时的重要性。 6. 关联函数与格林函数: 在统计物理中，物理可观测量的期望值通常由关联函数（Correlation Functions）给出。本书展示了路径积分如何自然地生成时间（或虚时间）有序的格林函数。我们详细阐述了如何在有限温度下计算两点或多点关联函数，这些函数是理解相变和临界现象的基础。我们还将讨论1PI（单圈不可约）图与生成泛函（Generating Functional）之间的联系，为后续的场论应用打下基础。 第三部分：高分子物理与非平衡态统计的路径积分应用 高分子链的构象统计和非平衡态动力学是路径积分方法应用的一个重要且独特的领域，它桥接了统计物理与凝聚态物理。 7. 高分子链的统计构象与欧拉-朗之万方程: 高分子链的统计构象问题可以被建模为粒子在势能场中的随机行走。本书将高分子链的配分函数（描述构象熵）重构为在欧几里得空间中传播子的积分。通过将连续高分子链的长度视为“虚时间”，我们可以利用统计力学的工具来分析其平衡态性质，例如均方末端距和特征维度。 8. 动力学：从朗之万方程到路径积分: 对于高分子链的动力学过程（如扩散、折叠），我们需要考虑非平衡态的演化。本书将详细推导如何将经典的随机过程（如朗之万方程）转化为相应的路径积分形式。这涉及到对噪声项的处理以及对自由能耗散过程的积分，为研究聚合物的弛豫时间提供了强大的数学框架。 9. 拓扑效应与回缠 (Entanglement): 在处理复杂高分子系统或生物大分子时，拓扑结构变得至关重要。我们将讨论路径积分如何自然地编码链的拓扑结构，并探讨著名的“圈积分”问题，这在理解DNA的超螺旋结构和拓扑绝缘体中具有重要意义。 第四部分：前沿探索——路径积分在金融市场中的映射 本书最后一部分大胆地将路径积分的数学结构应用于看似无关的金融领域，展示了其作为一种通用的随机过程建模工具的强大潜力。 10. 随机演化与布朗运动的路径积分: 金融市场的价格波动通常由随机微分方程（SDEs），特别是几何布朗运动（Geometric Brownian Motion）来描述。我们将展示如何将这些SDE的解（如股票价格）的概率密度函数，通过与统计物理中扩散方程的相似性，映射到欧几里得路径积分的形式。重点在于，从SDE到路径积分的转换，是通过将随机项视为“噪声”并对其进行积分来实现的。 11. 期权定价与风险中性测度: 在金融工程中，Black-Scholes模型是期权定价的基石。本书将展示路径积分如何提供一种更具普适性的方法来推导期权定价公式，特别是当模型偏离标准的布朗运动假设时（例如，引入跳跃过程或随机波动率）。我们将解释风险中性测度（Risk-Neutral Measure）在路径积分框架下的意义，即它对应于某种特定的“有效拉格朗日量”或“有效作用量”。 12. 波动率的随机性与马尔可夫过程: 现代金融模型越来越倾向于引入随机波动率（Stochastic Volatility）。路径积分是处理这种随机参数系统（如Heston模型）的理想工具。通过引入额外的“波动率场”的路径积分，我们可以有效地对整个系统的概率空间进行积分，从而得出更准确的期权定价和风险度量。 结论： 本书的最终目标是培养读者运用统一的数学语言——路径积分——来解决跨学科问题的能力。通过对量子力学、统计物理和金融数学中核心问题的系统性分析，读者将掌握一种超越传统方法论限制的强大分析工具。本书的深度和广度，使其成为物理学、应用数学以及量化金融领域研究人员和高阶学生的必备参考资料。

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