Geometric Properties of Natural Operators Defined by the Riemann Curvature Tensor pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Gilkey, Peter B.

出品人:

页数:250

译者:

出版时间:

价格:58

装帧:HRD

isbn号码:9789810247522

丛书系列:

图书标签:

Riemann curvature tensor
Geometric properties
Natural operators
Differential geometry
Tensor analysis
Mathematical physics
General relativity
Manifolds
Curvature
Topology

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具体描述

《黎曼曲率张量在自然算子定义中的几何性质》是一本专注于几何分析、微分几何以及理论物理学交叉领域的深入论著。本书旨在系统地探索和解析由黎曼曲率张量所驱动的自然算子（Natural Operators）的内在几何结构、性质及其在不同几何空间中的表现。本书的结构严谨，内容组织围绕几个核心主题展开：首先，它为读者奠定了必要的数学基础，详细回顾了黎曼几何的关键概念，特别是黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的定义、代数性质（如第一和第二黎曼恒等式）以及其在度量结构中的核心作用。随后，本书引入了“自然算子”的概念，明确其在微分几何中的严格定义——即那些不依赖于具体坐标系选择、只依赖于流形及其度量结构本身定义的映射。全书的核心部分深入剖析了如何利用黎曼曲率张量 $R$ 来构造和研究各类自然算子。其中一个重要章节致力于研究基于 $R$ 的多重线性映射和张量场，例如黎曼曲率张量的各种收缩和对称化形式，如里奇张量（Ricci Tensor）$Ric$ 和里奇标量（Ricci Scalar）$S$。本书不仅讨论了这些基本张量作为算子的性质，还探讨了更高阶的曲率不变量，例如魏尔张量（Weyl Tensor）$W$。魏尔张量在描述流形局域可展性方面至关重要，本书详尽分析了由 $W$ 及其各种组合定义的自然算子，例如黎曼曲率张量与共变导数作用的组合。一个关键的探讨领域是拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator）与曲率的关系。虽然拉普拉斯算子本身通常不被视为直接由 $R$ 定义的算子，但本书通过研究与曲率相关的特定二次微分算子，如拉普拉斯-贝尔特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）在曲率背景下的行为，来连接分析与几何。特别是，书中详细讨论了与黎曼曲率张量耦合的算子，例如由黎曼曲率张量作为系数的二阶偏微分算子。本书的另一个重要贡献在于对“维尔斯特拉斯函数”（Weitzenböck Type Inequalities）的深入研究，这些不等式将黎曼曲率的几何信息与函数空间的能量泛函联系起来。书中分析了基于曲率张量构造的特定恒等式，这些恒等式在证明微分几何中的存在性或唯一性定理时起着决定性作用。例如，对爱因斯坦流（Einstein Flow）的分析，其中爱因斯坦度量本身就是由曲率张量满足特定条件（$Ric = lambda g$）定义的，本书将此视为一种特殊的自然算子约束。在方法论上，本书高度依赖于外微分代数、李导数以及无穷小对称性理论。它详尽阐述了如何利用李导数来测试一个算子是否是“自然”的，即在坐标变换下保持不变性的能力。通过运用这些代数工具，本书为理解哪些几何量可以被一致地定义在任何黎曼流形上提供了坚实的理论框架。针对高维几何和特定黎曼空间，本书还包含了关于特定曲率模型的分析。例如，对正曲率空间（如球面）和负曲率空间（如双曲空间）中，由 $R$ 驱动的算子行为差异的比较研究。书中讨论了黎曼曲率张量如何影响测地线的汇聚和发散，以及这些效应如何通过自然算子体现在能量或势能的局部变化中。此外，书中对某些特定的“几何驱动算子”进行了专题讨论，例如与耶恩森-福克空间（Jensen-Fulk Space）或与规范场论中场强度张量（Field Strength Tensor）相关的类比构造，展示了黎曼几何工具在更广阔的数学物理背景下的应用潜力。这些算子往往涉及曲率张量与共变导数的更高阶组合，以捕捉流形在小尺度上的精细结构。本书的读者对象主要面向微分几何、数学物理、几何分析领域的研究人员、博士后及高年级研究生。它要求读者具备扎实的微分几何基础和张量分析知识。全书以严谨的数学语言组织，提供了大量的定理、引理和证明，旨在成为该特定研究方向的参考手册和深入学习的教材。书中避免了对任何非几何算子的冗余讨论，专注于那些纯粹、必然地由黎曼曲率张量本身所衍生的几何操作。