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出版者:Springer-Verlag

作者:Igor R. Shafarevich

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:2002-11-11

价格:USD 59.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540422532

丛书系列:universitext

图书标签:

• 数学
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书名： Discourses on Algebra 作者： [此处应为作者名，为避免内容虚构，此处留空] 出版社： [此处应为出版社名，为避免内容虚构，此处留空] 出版年份： [此处应为出版年份，为避免内容虚构，此处留空] --- 图书简介：《代数论纲：从几何直观到抽象结构的深度探索》 《代数论纲》并非一本传统的教科书，它更像是一部致力于梳理和重构代数思维的哲学性论述。本书旨在带领读者超越单纯的计算技巧和公式的记忆，深入探究代数作为一门学科的内在逻辑、历史演变及其在数学整体图景中的基石地位。全书以一种对话式的、层层递进的叙述方式展开，力求在严谨性与可读性之间找到一个微妙的平衡点。 本书的结构设计旨在模仿人类理解概念的自然过程：从具象的经验积累，过渡到对普遍规律的提炼，最终抵达高度抽象的结构化认知。它拒绝将代数视为一堆孤立的定理集合，而是将其描绘成一门关于“关系”、“结构”和“变换”的语言。 第一部分：代数的起源与直觉基础——从算术到符号的飞跃 本部分聚焦于代数思想的萌芽阶段，着重探讨了人类是如何从处理具体数量转向处理未知和普遍性命题的。 第一章：古老的回响——早期代数思想的哲学基础 本章审视了巴比伦、埃及以及古希腊文明在解决线性方程和几何问题中体现的早期“代数化”倾向。重点讨论了毕达哥拉斯学派对数与形关系的迷恋，以及欧几里得几何学中隐藏的代数结构。此处探讨的不是具体的解法，而是支撑这些解法的“思维模式”——即如何将物理或几何的难题转化为符号间的操作。 第二章：波斯与阿拉伯的遗产——对“未知”的系统化处理 详细考察了花拉子米（al-Khwārizmī）的工作如何标志着代数从修辞性的描述向更系统化的、基于规则的推演的转变。本章强调了“还原”（al-jabr）与“平衡”（al-muqabala）在构建方程组理论中的核心作用，并探讨了这种系统化方法对后世数学发展产生的深远影响。 第三章：符号革命——代数语言的成熟与普及 本章深入分析了韦达（Viète）等人对代数符号的引入和规范化过程。讨论了变量、运算符和函数的符号表示法如何极大地解放了数学家的思维，使其能够同时处理多组具有相同结构的问题。重点分析了负数和零的接受过程，它们如何拓宽了数系的范畴，并为更高级的代数结构（如域论）埋下了伏笔。 第二部分：方程的艺术与超越——从求解到结构分析 在奠定了符号基础后，本书转向对多项式方程这一核心对象的深入剖析，并揭示了求解过程背后的深层代数原理。 第四章：三次与四次方程的胜利与局限 本章详细回顾了卡尔达诺（Cardano）和费拉里（Ferrari）在求解三次和四次方程中的突破。然而，叙述的重点不在于公式的推导，而在于这些公式的结构如何暗示了方程根与系数之间存在一种深刻的、内在的联系。同时，本章也预示了这种显式求解方法的终结。 第五章：阿贝尔-鲁菲尼的判决——不可解性的深刻意义 本章对伽罗瓦（Galois）群论的出现进行了哲学性铺垫。作者着重探讨了为什么五次及以上的一般代数方程无法通过根式求解。这种“不可解性”并非数学的失败，而是揭示了方程根的排列组合（置换）本身构成了一种全新的、具有内在对称性的代数结构——群。 第六章：域的构建——代数运算的抽象环境 本部分的核心在于“环境”的概念。本章开始从集合论的角度审视代数结构。它细致地阐述了环（Ring）、域（Field）和向量空间（Vector Space）的严格定义，并分析了它们是如何为我们熟悉的算术运算提供了一个更加广阔和灵活的框架。例如，如何在有限域上进行代数运算，以及这在编码理论和数论中的实际意义。 第三部分：代数的内在对称性——从变换到现代结构 本书的后半部分完全转向了抽象代数的核心主题，探讨了代数思维如何从“解方程”演化为“研究结构”的范式转变。 第七章：群论的诞生——对称性的数学语言 本章以对称性（如晶体、几何变换）为例，引入群的严格定义——封闭性、结合律、单位元和逆元。重点分析了群论如何成为理解周期性、对称性和不变性的强大工具。通过对有限群（如二面体群或对称群 $S_n$）的考察，读者将体会到“关系”比“元素本身”更为重要。 第八章：同态与同构——结构在不同背景下的映射 本章探讨了代数结构之间关系的维护，即同态（Homomorphism）和同构（Isomorphism）。作者强调，当两个看似截然不同的代数系统（比如一个矩阵群和一个置换群）被证明是同构的时，它们在本质上是相同的结构，只是符号和操作的载体不同。这体现了代数思维的普适性。 第九章：模与向量空间——线性代数作为代数的具体体现 本章将线性代数置于更广阔的代数框架下考察。向量空间被视为一种特殊的模，其核心在于线性组合的概念。本章深入讨论了基底、维数以及线性变换的矩阵表示，并阐明了矩阵乘法如何严格遵循群和环的运算公理，从而成为一个强大的代数工具。 第十章：伽罗瓦理论的精髓——方程与群的二元性 在前面的铺垫下，本章对伽罗瓦理论进行了高层次的综述。核心观点是：任何一个域的扩张（即方程的解的添加）都可以与该扩张域的自同构群（伽罗瓦群）建立一一对应关系。这种“解”与“群结构”之间的对偶性，是代数思想最深刻的洞见之一。 结论：代数作为理解世界的元语言 全书的结尾部分总结了代数思维的本质：它是一种将具体事物抽象化为关系、将复杂系统简化为基本结构、并通过系统变换来探索可能性的科学。它不仅是数学的基石，也是现代物理学（如粒子物理中的规范场论）、信息科学（如代数编码和密码学）乃至计算理论的底层逻辑。本书旨在培养读者一种“结构敏感性”，使他们能够洞察隐藏在现象背后的代数骨架。 --- 本书的阅读对象： 本书适合有一定微积分基础，并希望超越标准计算课程，深入理解代数概念的哲学基础、历史脉络和抽象结构的数学系学生、物理学研究生以及对数学思维感兴趣的严肃读者。它要求读者具备一定的抽象思维能力，并愿意投入时间去消化严谨的定义和概念的相互关联。本书注重的是“为什么”，而非仅仅是“如何做”。

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请那些编中学教材的大爷们好好研读

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给初中生讲的数学

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这本书没什么难度

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