Synthetic Differential Geometry pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Kock, Anders

出品人:

页数:246

译者:

出版时间:2006-6

价格:$ 96.05

装帧:Pap

isbn号码:9780521687386

丛书系列:

图书标签:

微分几何
合成微分几何
范畴论
数学基础
代数拓扑
光滑流形
无穷小分析
模型论
类型理论
计算机科学

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具体描述

Synthetic Differential Geometry is a method of reasoning in differential geometry and differential calculus, based on the assumption of sufficiently many nilpotent elements on the number line, in particular numbers d such that d2=0. The use of nilpotent elements allows one to replace the limit processes of calculus by purely algebraic calculations and notions. For the first half of the book familiarity with differential calculus and abstract algebra is presupposed during the development of results in calculus and differential geometry on a purely axiomatic/synthetic basis. In the second half basic notions of category theory are presumed in the construction of suitable Cartesian closed categories and the interpretation of logical formulae within them. This is a second edition of Kock's classical text from 1981. Many notes have been included, with comments on developments in the field from the intermediate years, and almost 100 new bibliographic entries have been added.

好的，这是一本关于“应用拓扑学在离散系统中的新方法”的图书简介。 --- 图书名称：《离散拓扑动力学：网络结构与信息流的几何化解析》内容简介本书深入探索了拓扑学原理在复杂离散系统分析与建模中的前沿应用。在当代科学与工程领域，从大型互联网结构到生物分子网络，我们面对的系统大多呈现出离散化的特征，这些系统的行为往往由其底层连接结构和信息流的路径决定。本书旨在提供一套严谨的数学框架，利用代数拓扑、组合拓扑以及网络几何学的工具，对这些离散系统的动态演化进行精确的描述与预测。全书分为六个主要部分，层层递进，从基础概念构建到高级模型的实际应用。第一部分：离散拓扑基础与网络表示本部分首先回顾了现代拓扑学中与离散结构紧密相关的核心概念，包括单纯复形（Simplicial Complexes）、持久同调（Persistent Homology）的离散化实现，以及上同调理论在网络流分析中的潜在用途。我们重点讨论如何将任意的离散数据集合，例如传感器网络、社交图谱或分子相互作用网络，有效地转化为具有拓扑意义的数学对象。不同于传统的图论视角，本书强调几何结构的内在属性——孔洞、连通性、以及更高维度的填充结构——如何影响系统的全局行为。我们引入了“离散曲率”的概念，用于量化网络结构的局部扭曲和信息传输的效率边界。第二部分：组合动力学与旗域分析深入到系统的演化过程，本部分聚焦于组合动力学。我们研究那些基于状态转移和离散反馈机制的系统。特别地，本书详细阐述了“旗域”（Flag Complexes）在描述多层次、多尺度相互作用中的优势。通过分析这些高维组合结构上的流形运动，我们能揭示系统在状态空间中的“拓扑吸引子”和“临界点”。书中通过严谨的定理论证，展示了持久同调如何用于识别系统演化过程中的拓扑不变性，这些不变性往往对应于系统抵抗扰动的核心鲁棒性。我们对离散微分方程在组合流形上的离散化误差进行了深入分析，并提出了基于对偶复形的修正方法。第三部分：信息流的几何与同伦结构信息传播、病毒扩散或信号传输本质上是路径依赖的过程。本部分将拓扑路径积分的概念引入离散系统。我们探讨了网络中的“循环”和“桥接”如何影响信息的有效传输。利用基本群（Fundamental Groups）和更高阶的同伦群，本书分析了信息流的“回路依赖性”，即信息在网络中绕行特定结构（如一个“环”）时可能经历的相移或失真。我们提出了“拓扑熵”的度量标准，它量化了信息在网络中探索未知区域的能力，并与系统的复杂性密切相关。对于具有反馈和延迟的系统，我们通过研究其状态空间映射的拓扑性质，推导了系统稳定性的必要条件。第四部分：拓扑数据分析（TDA）在离散系统中的实证应用本部分转向实际应用，重点展示如何利用TDA工具来解析实际采集到的离散数据。我们详细介绍了如何使用核密度估计和邻域图构建高维点的拓扑特征。特别关注于“拓扑特征向量”的提取，这些向量能有效地捕捉数据中的“形状”信息，而这些信息往往被传统的主成分分析（PCA）或线性模型所忽略。本书包含针对时间序列离散化数据的案例研究，例如金融市场的高频交易数据和气候模型中的离散网格数据，用以识别模式的“生成轨迹”和“演化分支点”。第五部分：离散几何结构与优化在系统设计和控制领域，优化目标往往依赖于对几何约束的理解。本部分探讨了如何将离散拓扑结构视为一个“地形”，并在此地形上定义优化问题。我们引入了基于扩张图（Expander Graphs）的拓扑松弛技术，用于在保证连通性的前提下，优化网络的边权重或节点分配。对于传感器网络中的覆盖问题和路由优化，本书提出了基于“拓扑测地线”的新算法，这些算法旨在找到信息传输的最短“几何”路径，而非仅仅基于欧氏距离的最短代数路径。我们还讨论了如何在有限元方法（FEM）的离散框架下，保持拓扑结构的精确性，特别是在模拟材料微观结构演化时。第六部分：前沿展望与开放性问题最后一部分展望了离散拓扑动力学领域的前沿方向。我们探讨了量子信息系统中的拓扑编码（Topological Quantum Computing）如何利用离散结构来抵抗退相干，以及在人工智能中，如何利用拓扑神经网络（Topological Neural Networks）来增强模型的解释性和鲁棒性。本书以一系列未解决的数学难题收尾，鼓励研究者利用本书提供的工具箱，探索更高维离散空间中的动力学本质。本书面向具有扎实数学背景的研究人员、工程师和高级研究生，尤其适合于从事网络科学、复杂系统理论、计算几何以及理论物理学交叉领域的研究人员。全书配有大量的数学推导、图示解释和可复现的计算案例。