Lax-phillips Scattering And Conservative Linear Systems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Ball, Joseph A./ Vinnikov, Victor

出品人:

页数:101

译者:

出版时间:

价格:$56.00

装帧:Pap

isbn号码:9780821837689

丛书系列:

图书标签:

• 散射理论
• 守恒线性系统
• Lax-Phillips猜想
• 动力系统
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 数学物理
• 非线性波动
• 稳定性分析
• 常微分方程

经典力学与分析方法：从牛顿定律到变分原理的深度探索 导言：物理学的基石与数学的严谨性 本书旨在为读者提供一个关于经典力学及其数学基础的全面而深入的介绍。我们着眼于物理学的核心原理，并将其与现代数学分析工具紧密结合，构建一个既富有物理直觉又具备数学严谨性的知识体系。本书的叙事结构将遵循从宏观现象到微观描述的逻辑递进，重点强调系统演化背后的守恒定律与对称性。 第一部分：牛顿力学——运动学的几何视角 我们从牛顿运动定律开始，但这不仅仅是回顾基础知识。第一章深入探讨了惯性系与非惯性系的概念，特别是引入了约束力对系统运动的影响。通过对刚体运动的分析，我们展现了向量代数在描述瞬时旋转和角动量的关键作用。 接下来的章节专注于二体问题的精确解。开普勒定律不再仅仅是经验公式，而是通过求解拉格朗日方程的直接推论得以证明。我们详细讨论了轨道动力学，包括椭圆、抛物线和双曲线轨道的几何特性及其对应的能量特征。特别关注了引力势能的性质，并利用中心力场的概念，将复杂的三维运动简化为二维平面运动。 在这一部分，我们将空间和时间视为绝对背景，但通过对相空间（Phase Space）的引入，为后续更高级的理论做铺垫。我们分析了保守系统在相空间中的轨迹，展示了相图如何直观地揭示系统的长期行为，例如周期性运动和稳定性分析的初步概念。 第二部分：变分原理与拉格朗日力学——优雅的数学结构 本书的核心内容之一在于对变分原理的阐述。我们认为，欧拉-拉格朗日方程不仅是描述运动的另一种形式，更是物理定律内在结构的一种表达。本部分首先详细回顾了泛函微分学的基本概念，包括变分、泛函的求导以及德尔塔函数在变分问题中的应用。 随后，我们严格推导了最小作用量原理（哈密顿原理）。重点在于“路径积分”的思想，尽管我们尚未深入量子力学，但这种积分表述为理解物理选择特定历史路径的本质提供了深刻洞察。 拉格朗日量 $L = T - V$ 的构建是理解守恒量和对称性的关键。我们系统地探讨了系统的广义坐标和广义动量，并详细分析了如何利用拉格朗日方程来处理复杂的约束系统，例如复摆、滚动的圆盘以及在非惯性系中运动的物体。 守恒定律的导出：诺特定理的初步展现 在拉格朗日框架下，我们对诺特定理进行了详尽的讨论。我们不仅陈述了该定理的内容，更重要的是，我们展示了如何从拉格朗日量对时空参数（如时间和平移）的对称性中，系统地导出能量、动量和角动量守恒定律。这种对称性与守恒量之间的深刻联系，是理解自然界深层规律的桥梁。 第三部分：哈密顿力学——相空间的高级视角 哈密顿力学被视为经典力学的最完备形式，它将焦点从构型空间（Configuration Space）转移到相空间。我们通过勒让德变换（Legendre Transform）从拉格朗日量严格推导出哈密顿量 $H = sum p_i dot{q}_i - L$。 本部分深入分析了哈密顿方程的结构，它们是连接一阶微分方程组的系统，相较于拉格朗日方程的二阶性质，更便于进行相空间分析。我们着重探讨了哈密顿量在保守系统中的物理意义——即系统的总能量。 泊松括号（Poisson Brackets）的引入是理解相空间动力学和可积性的关键。我们详细定义了泊松括号，并展示了它如何编码了动力学演化关系：任何物理量 $A$ 的时间演化都由 $dA/dt = {A, H} + partial A / partial t$ 决定。我们还论证了守恒量等价于与哈密顿量泊松括号为零的量。 第四部分：经典场论的萌芽与可积性 为了将点力学扩展到连续介质，我们引入了场论的初步概念。我们讨论了如何将拉格朗日形式推广到场论（Lagrangian Density），并导出欧拉-拉格朗日偏微分方程。这使得我们可以讨论连续系统的运动，例如弹性波或电磁场的基础描述。 在分析系统的可积性时，我们探讨了正则变换（Canonical Transformations）。这些变换保持了泊松括号的结构，允许我们系统地选择更简化的坐标系来求解哈密顿方程。我们运用这些变换来寻找“作用量-角度”变量，从而揭示系统的周期性特征。 第五部分：稳定性和微扰论基础 在系统的精确解难以获得时，微扰论成为必需的工具。我们首先介绍了一阶微扰的计算方法，重点是计算系统在小扰动下的能量修正和频率漂移。对于非保守或包含周期性扰动的系统，我们讨论了平均场近似的概念，旨在分离系统的固有频率与外部驱动频率的影响。 最后，本书以对周期轨道稳定性的定性分析作结，探讨了庞加莱截面（Poincaré Sections）如何帮助我们识别混沌行为的早期迹象，即使在完全确定性的系统中，长期行为也可能表现出极端的敏感性。 结论 本书提供了一条从基本运动定律到先进的分析力学方法的完整路径。通过强调对称性、守恒量和变分原理，读者将建立起一个坚实的理论框架，为进一步探索量子力学、统计物理学或更广义的动力学系统打下坚实的基础。本书的重点在于方法的普适性和理论结构的优雅性。

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