Analytic Trigonometry With Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Safier, Fred/ Barnett, Raymond A./ Ziegler, Michae R./ Byleen, Karl E.

出品人:

页数:376

译者:

出版时间:

价格:54

装帧:Pap

isbn号码:9780471746560

丛书系列:

图书标签:

• 三角学
• 解析三角学
• 数学
• 高等数学
• 应用数学
• 函数
• 三角函数
• 恒等变换
• 解三角形
• 数学分析

精准解析与实践：现代数学工具箱的基石 本书旨在为读者提供一个深入且全面的高等数学基础，着重于集合论、数理逻辑、实数系统以及微积分的严谨构建。我们致力于将抽象的数学概念与实际应用场景紧密结合，培养读者严谨的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。本书内容结构清晰，由基础理论稳步推进至高级主题，确保读者在扎实掌握核心概念的同时，能领略数学的内在美感与强大力量。 第一部分：数学的基石——集合论与逻辑（Foundations of Mathematics: Set Theory and Logic） 本部分是理解所有现代数学分支的逻辑起点。我们从最基本的构件——集合开始，详细阐述集合的定义、运算及其在数学中的核心作用。 第一章：集合论导论 本章首先介绍了集合的直观概念，随后深入探讨了基于公理化的集合论基础。内容涵盖了集合的表示法（外延式和内涵式）、子集、幂集、集合的并、交、差、补集等基本运算。我们特别强调了笛卡尔积及其在定义二元关系中的关键地位。为了提升读者的严谨性，我们引入了序对的严格定义，并探讨了集合论中的悖论（如罗素悖论的初步讨论），为后续的公理化体系打下基础。 第二章：数理逻辑与证明方法 逻辑是数学推理的骨架。本章详细解析了命题逻辑和一阶谓词逻辑的基础。我们界定了命题、联结词（$ eg, land, lor, o, leftrightarrow$）、真值表以及逻辑等价。重点在于讲解如何构建有效的论证结构，例如蕴含式、重言式和矛盾式。 更关键的是，本章系统介绍了数学证明的五大核心技术： 1. 直接证明 (Direct Proof)：基于已知前提的线性推导。 2. 反证法 (Proof by Contradiction)：通过假设结论不成立而导出矛盾，从而证明原结论的必然性。 3. 逆否命题证明 (Proof by Contrapositive)：利用 $P o Q equiv eg Q o eg P$ 的等价关系进行证明。 4. 构造性证明 (Constructive Proof)：直接给出结论存在的实例或算法。 5. 数学归纳法 (Mathematical Induction)：这是对自然数集上命题进行证明的基石，我们将通过大量的例子，包括证明不等式、求和公式以及递归定义，来巩固这一方法。 第二部分：实数系统与序列（The Real Number System and Sequences） 本部分聚焦于构建我们进行微积分分析的精确环境——实数系统，并引入了描述动态变化过程的基本工具——序列。 第三章：自然数与整数的构造 我们采用皮亚诺公理（Peano Axioms）作为起点，严格定义自然数集 $mathbb{N}$。在此基础上，通过集合论的方法（如使用序对和等价关系），构造出整数集 $mathbb{Z}$。本章详细论述了整数的加法和乘法的结合律、分配律等代数性质的严格证明。 第四章：有理数与实数的完备性 本章是本书的理论核心之一。首先，我们通过整数构造有理数集 $mathbb{Q}$，并定义其上的有序关系。随后，我们探讨了有理数集的“缺口”——无理性。 实数集的完备性是本章的重中之重。我们引入了戴德金截割 (Dedekind Cuts) 或 柯西序列 的构造方法来定义实数集 $mathbb{R}$。随后，我们将严格证明实数的完备性公理 (Completeness Axiom)，该公理是微积分理论得以建立的根本保障。基于完备性，我们将证明： 1. 轴上有界集的上确界原理 (Supremum Principle)：任何非空有上界的实数子集必存在上确界。 2. 区间套定理 (Nested Interval Theorem)：闭区间序列的交集非空。 3. 阿基米德性质 (Archimedean Property)：对于任意正实数，总能找到一个自然数大于该实数。 第五章：序列与极限 极限是微积分的灵魂。本章从序列 $langle a_n angle$ 的定义出发，精确定义了序列收敛的 $epsilon-N$ 定义。我们将通过严格的逻辑推导，证明基本的极限法则，例如和、差、积、商的极限运算规则。此外，本章还探讨了单调有界序列的收敛性（利用完备性），以及子序列的概念，引入了Bolzano-Weierstrass 定理（实数集有界序列必存在收敛子序列的更强版本）。 第三部分：函数、连续性与微分学（Functions, Continuity, and Differential Calculus） 本部分将理论应用于动态变化的研究，构建了微分学的基础框架。 第六章：函数的严格定义与分析 本章重新审视函数，将其视为集合论中的特定二元关系。我们讨论了函数的性质：单射（一对一）、满射（映 onto）和双射（一一对应）。随后，介绍函数的复合运算，并探讨了反函数的构造与性质。我们将分析初等函数族的性质，包括多项式函数、有理函数、指数函数和对数函数，强调其定义域、值域及严格的函数图像分析。 第七章：连续性与极限 本章将序列极限的概念扩展到函数极限，并引入 函数在某点连续的 $epsilon-delta$ 定义。我们将严格证明复合函数和基本初等函数的连续性。随后，我们将基于连续性，证明两个至关重要的定理，它们是后续分析的基石： 1. 介值定理 (Intermediate Value Theorem, IVT)：连续函数在闭区间上的值域的完整性保证。 2. 闭区间上的最大值与最小值定理 (Extreme Value Theorem, EVT)：连续函数在闭区间上必取得最大值和最小值。 第八章：导数的概念与计算 导数被定义为特定极限的形式，体现了瞬时变化率的概念。本章严格界定导数的定义，并探讨了导数存在的充要条件（与单侧极限和连续性的关系）。 我们系统推导并证明了微分法则： 常数法则、幂法则、常数倍数法则。 和、差、积、商的微分法则（需要使用序列极限或 $epsilon-delta$ 过程来验证）。 链式法则 (The Chain Rule)：这是进行复杂函数微分的核心工具，我们将对其给出严格的、基于极限的证明。 随后，我们将导数推广到三角函数、指数函数和对数函数的求导，并引入洛必达法则 (L'Hôpital's Rule) 的严格证明（基于导数的定义和柯西中值定理的初步思想）。 第九章：导数的应用 本章将微分工具应用于实际问题的解决和理论的深化。 1. 函数分析：利用一阶导数（$f'(x)$）分析函数的增减性、局部极值点。利用二阶导数（$f''(x)$）分析函数的凹凸性、拐点和曲线的形状。 2. 中值定理：严格证明Rolle 定理和均值定理 (Mean Value Theorem, MVT)，并阐释 MVT 在证明函数性质中的核心地位。 3. 优化问题：利用导数解决实际生活中的最大值和最小值问题，包括物理学中的速度、加速度计算，以及工程学中的效率优化。 第四部分：积分学基础（Introduction to Integral Calculus） 本部分构建了描述累积和面积的数学工具——定积分。 第十章：黎曼积分的构建 本章从“求面积”的几何直观出发，系统引入定积分的概念。我们严格定义了黎曼和 (Riemann Sums)，并将其作为定义定积分的基础。 可积性的讨论是本章的关键。我们分析了哪些函数是黎曼可积的，并证明了连续函数在闭区间上必可积。随后，我们将严格证明定积分的基本性质，例如积分的线性性和比较性质。 第十一章：微积分基本定理 本章是连接微分与积分的桥梁。我们将分两部分严格证明微积分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus, FTC)： 1. FTC 第一部分：证明积分的上限函数是可导的，且其导数等于被积函数（这是反导数的严格体现）。 2. FTC 第二部分：证明定积分可以通过求原函数（反导数）的特定值之差来计算。 基于 FTC，本章介绍了微积分基本公式，并详细讲解了换元法 (Substitution Rule) 和分部积分法 (Integration by Parts) 的严格推导和应用，重点在于识别何时需要对变量进行替换，以及如何巧妙运用两次分部积分来解决复杂的积分问题。 全书结构严谨，每一步推导都基于前一章节建立的严格定义和已证的定理，旨在培养读者具备独立构建和验证数学论证的能力。

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