Schaum's Outline of Beginning Finite Mathematics (Schaum's Outline Series) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:McGraw-Hill

作者:Seymour Lipschutz

出品人:

页数:349

译者:

出版时间:2004-09-22

价格:USD 21.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780071388979

丛书系列:Schaum's Outlines

图书标签:

• 数学
• 离散数学
• 有限数学
• 入门
• Schaum's Outline
• 学习指南
• 教材
• 概率
• 统计
• 集合论

离散数学基础：理论与应用导论 （一本不包含《Schaum's Outline of Beginning Finite Mathematics》内容的、侧重于理论深度与实际应用的离散数学教材） --- 第一部分：集合论与逻辑的坚实基石 本书旨在为读者构建一个严谨而富有洞察力的离散数学知识体系，其核心在于对数学结构和计算思维的深刻理解。我们避开了初级有限数学中可能出现的过度侧重于线性规划或简单概率的浅尝辄止，转而将重点放在集合论的公理化基础和形式逻辑的演绎推理之上。 第1章：集合论的公理化视角 本章从集合论的公理体系（如ZFC的简化版本）出发，而非仅仅停留在朴素集合论的范畴。我们将深入探讨选择公理的意义及其在构建无限集时的关键作用，分析基数理论的精妙之处，包括可数无穷（$aleph_0$）与不可数无穷（$mathfrak{c}$）的区分。通过对比不同的集合论模型，读者将体会到数学基础的复杂性和深度。内容将详细阐述序数与基数的运算，以及良序定理的等价性证明，为后续的递归定义和归纳法奠定坚实的理论基础。 第2章：命题与一阶逻辑 本章对逻辑推理的结构进行严格的考察。我们不仅仅停留在真值表和逻辑等价式的代数运算，而是深入到自然演绎系统和序列演算（Sequent Calculus）的构建。读者将学习如何使用这些形式系统来证明逻辑公式的有效性。重点内容包括：一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）的语法和语义，可满足性问题的介绍，以及哥德尔完备性定理的直观阐述。本章强调将逻辑推理应用于程序规范和知识表示的实际困难，而非仅作为一种形式游戏。 --- 第二部分：代数结构与抽象化思维 离散数学的强大力量源于其对系统内部结构的抽象能力。本部分将引导读者从基础的代数结构中提炼出通用模式。 第3章：群论初步：对称性与变换 本章将群论视为理解离散系统对称性的核心工具。我们从代数结构（封闭性、结合律、单位元、逆元）的定义入手，但迅速过渡到循环群、二面体群（$D_n$）和对称群（$S_n$）的详细分析。我们将使用拉格朗日定理来推导群的性质，并引入陪集和正规子群的概念。重点将放在同态与同构的分类上，以及群论在密码学基础（如有限域上的运算）中的初步应用，强调其作为一种强大的结构描述工具的作用。 第4章：环与域：代数运算的扩展 在本章中，我们将离散结构从只含一种运算（群）扩展到包含两种运算（环）。我们将详细研究整环和域的定义，特别关注多项式环$mathbb{Z}[x]$和$mathbb{F}[x]$（其中$mathbb{F}$是有限域）。与初级教材不同，我们将着重于欧几里得整环的性质，并展示如何利用带余除法来定义最大公约数（GCD）和中国剩余定理的代数推导。有限域（Galois Fields）的构造将被深入探讨，为现代编码理论提供必要的数学背景。 --- 第三部分：图论的深度探索与应用 图论是离散数学中与计算机科学联系最紧密的领域，本部分将超越简单的连通性判断，进入图论的高级算法和拓扑性质。 第5章：图的拓扑性质与连通性 本章从图的代数表示（邻接矩阵、关联矩阵）入手，分析这些矩阵如何反映图的结构特性。我们将深入研究图的连通性，引入割点（Articulation Points）和桥（Bridges）的概念，并讨论如何高效地使用深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）来识别这些关键元素。欧拉回路与哈密顿回路的存在性判断，将从经典的必要条件扩展到更复杂的图着色定理及其NP完全性的背景讨论。 第6章：图的优化问题与流网络 本章专注于图论在优化问题中的应用。我们将详细分析最短路径问题，不仅复习Dijkstra和Bellman-Ford算法，更重要的是对这些算法的时间复杂度分析和迭代收敛性证明进行深入探讨。随后，我们将引入最大流-最小割定理，并详细讲解Ford-Fulkerson方法和Edmonds-Karp算法的实现细节。重点在于证明这些算法的正确性，并理解流网络的对偶性原理。 --- 第四部分：计数、递归与可计算性 本部分关注如何精确地量化组合对象，以及如何处理序列和计算过程的本质。 第7章：高级组合计数与生成函数 本章超越基础的排列组合，侧重于指数型生成函数（EGF）和普通生成函数（OGF）的应用。我们将利用生成函数来解决复杂的递推关系，特别是那些涉及非齐次项或需要区分元素的计数问题。重点内容包括二项式定理、多项式定理的推广应用，以及使用部分分式分解从生成函数中提取序列的闭合形式。鸽巢原理将以其更强大的推广形式出现，用于证明存在性而非仅仅是计数。 第8章：递推关系与离散分析 本章专门处理序列的动态定义。我们将系统地解决线性常系数齐次与非齐次递推关系，使用特征方程法和特征多项式来导出解析解。同时，本章将探讨离散微分与积分的概念，将微积分的某些思想移植到离散域中，这对于分析算法的性能至关重要。对于不可解的复杂递推，我们将引入离散傅立叶变换在分析周期性或特定模式序列中的潜力。 --- 总结与展望 本书的结构旨在培养读者从具体问题中抽象出数学模型，并运用严谨的理论工具解决问题的能力。它假定读者具备扎实的微积分背景，但着重于构建一套独立于连续数学的、强大的离散推理体系。本书的深度和广度使得它成为数学、计算机科学、工程学高年级本科生或研究生入门的理想选择，专注于理论的完善和方法论的精进。

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