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出版者:Springer Verlag

作者:Min-Oo, Maung

出品人:

页数:87

译者:

出版时间:

价格:$ 39.49

装帧:Pap

isbn号码:9783764321703

丛书系列:

图书标签:

• Riemannian geometry
• Differential geometry
• Manifolds
• Curvature
• Topology
• Geometry
• Mathematics
• Calculus
• Analysis
• Global analysis

黎曼几何前沿：从基础理论到现代应用 本书旨在为读者提供一个深入且全面的黎曼几何知识体系，重点关注其在现代数学物理、微分拓扑以及几何分析中的前沿应用与核心概念。我们力求构建一座坚实的理论桥梁，连接经典的微分几何框架与当代研究热点，使读者能够在新兴的研究领域中游刃有余。 第一部分：拓扑与光滑流形的坚实基础 本部分将回顾和深化读者对光滑流形理论的理解，为进入黎曼几何的深层结构打下不可或缺的基础。我们不会仅仅停留在标准的定义层面，而是着重探讨流形上微分结构与拓扑结构之间微妙的相互作用。 1.1 流形基础的再审视与推广： 介绍奇异点理论在流形研究中的作用，特别是对非光滑（如普利姆几何）对象的初步探讨。我们将详细分析切丛、上切空间以及向量场的概念，并引入由向量场生成的局部流的稳定性分析。流形上的微分形式系统，包括外微分、楔积和外微分算子 $mathrm{d}$ 的性质，将以更具计算性的视角呈现。 1.2 纤维丛与主丛结构： 这是理解黎曼几何中联络概念的关键。本书将超越基础的向量丛，深入探讨主丛（Principal Bundles）的结构，特别是庞加莱群和洛伦兹群作用下的相关结构。对联络形式的定义，如爱因斯坦-卡坦（Einstein-Cartan）理论中的扭率和曲率，将在这一部分得到严格的几何解释。我们将详细推导提升（Lifting）映射的性质，以及从主丛联络导出向量丛联络的方法。 1.3 拓扑不变量的几何视角： 重新审视德拉姆上同调（de Rham Cohomology）。本书将重点讨论德拉姆上同调群与拓扑 $K$ 理论之间的联系，特别是通过霍普夫-费弗尔（Hopf-Fibration）等例子展示如何利用微分形式的积分来捕捉流形的拓扑信息。斯托克斯定理（Stokes' Theorem）将被推广到边界不为零的任意光滑流形上，强调其在边界值问题中的地位。 第二部分：黎曼度量、联络与曲率的张量分析 本部分是本书的核心，旨在系统地构建黎曼几何的解析框架，重点放在黎曼度量的引入及其对几何特性的决定作用。我们强调张量分析在描述度量空间几何行为中的不可替代性。 2.1 黎曼度量与共变导数： 黎曼度量的定义将与度量张量 $g_{ij}$ 的局部坐标表示紧密结合。重点放在 Levi-Civita 联络的唯一性证明，基于度量相容性和无挠性条件。我们将详述 Christoffel 符号的物理意义，并引导读者理解共变导数 $ abla$ 如何在曲面上“平行移动”向量和张量。 2.2 曲率的层次结构： 曲率是衡量黎曼流形非平坦性的关键。我们将分层解析曲率概念： 里奇张量 ($R_{ij}$): 讨论里奇曲率在物质能量分布（如爱因斯坦方程）中的作用。引入里奇流（Ricci Flow）的初始概念，强调其在“熨平”流形几何中的重要性。 截面曲率 ($K$): 详细分析截面曲率如何描述二维切平面的几何特性。通过高斯绝妙定理（Gauss' Theorema Egregium），阐明曲率如何成为内蕴量。 黎曼曲率张量 ($R^k_{ijk}$): 对其 Bianchi 恒等式（特别是第一和第二恒等式）进行深入的代数和几何推导，这些恒等式是所有几何分析的基础。 2.3 测地线与黎曼积分几何： 测地线作为黎曼流形上“最短路径”的推广，其运动方程将被详尽推导。我们探讨测地线完备性（Geodesic Completeness）的概念，以及它与流形拓扑的关联。引入指数映射（Exponential Map）及其在局部坐标系构建中的作用，并讨论 Jacobi 场的概念，用于分析测地线的汇聚和发散行为。 第三部分：黎曼流形上的分析与拓扑联系 几何分析是现代黎曼几何最活跃的分支之一。本部分将介绍分析工具如何在黎曼流形上运作，并探索几何与拓扑之间深刻的相互作用。 3.1 拉普拉斯-贝特拉密算子 ($Delta_g$): 黎曼度量诱导的拉普拉斯算子是研究黎曼流形谱性质的核心工具。本书将详细分析 $Delta_g$ 的定义、格林函数以及其谱（本征值）的几何意义（如 Weyl 定律）。重点分析调和函数（Harmonic Functions）在紧致与非紧致流形上的性质差异。 3.2 几何不等式与优化： 介绍重要的几何不等式，例如对流形体积、面积和曲率的限制。重点讨论： Myers 奇点定理： 证明在里奇曲率有正下界时，紧致黎曼流形必然是拓扑有限的。 Schoen-Yau 证明： 探讨关于双曲度量（Hyperbolic Metrics）的几何约束，这在共形场论中具有重要地位。 3.3 辛几何与凯勒流形： 在更高维空间，黎曼几何与辛几何（Symplectic Geometry）交汇于凯勒流形（Kähler Manifolds）。我们将介绍几乎复结构 $J$ 与黎曼度量 $g$ 的相容性条件。深入分析怀尔（Weil）上同调，并探讨庞加莱对偶性在凯勒几何中的应用，特别是其在弦理论中的结构意义。 第四部分：前沿课题与现代应用概览 本部分将简要介绍当前研究热点中黎曼几何扮演的角色，为有志于继续深造的读者提供方向。 4.1 广义相对论中的几何化： 阐述爱因斯坦场方程 $mathbf{R}_{mu u} - frac{1}{2}Rg_{mu u} = frac{8pi G}{c^4}T_{mu u}$ 的黎曼几何本质。重点讨论黑洞周围的史瓦西和克尔度量，以及彭罗斯–霍金奇点定理的几何基础。 4.2 共形几何与规范场论： 讨论 Weyl 曲率在重力理论中的角色，特别是当度量仅受共形变换影响时的几何不变性。介绍规范联络（Gauge Connections）在纤维丛上对杨-米尔斯理论的描述，以及这些理论中 Yang-Mills 泛函的黎曼几何结构。 4.3 拓扑场论与代数几何的交叉： 简要介绍极小曲面理论（Minimal Surface Theory）在弦理论中的应用，以及高斯-邦尼定理（Gauss-Bonnet Theorem）在经典和量子引力中的推广形式，例如 Cher-Simons 理论中的拓扑性质。 本书的编写风格注重逻辑的严密性和推导的清晰性，旨在培养读者将抽象概念转化为具体计算的能力。全书辅以丰富的例题和几何直觉的阐释，确保读者不仅掌握公式，更能理解其背后的深刻几何含义。

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