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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Garling, D. J. H.

出品人:

页数:346

译者:

出版时间:2007-7

价格:$ 66.67

装帧:Pap

isbn号码:9780521699730

丛书系列:

图书标签:

数学
不等式
数学分析
高等数学
竞赛数学
数学建模
优化
实分析
函数
数学方法

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具体描述

Contains a wealth of inequalities used in linear analysis, and explains in detail how they are used. The book begins with Cauchy's inequality and ends with Grothendieck's inequality, in between one finds the Loomis-Whitney inequality, maximal inequalities, inequalities of Hardy and of Hilbert, hypercontractive and logarithmic Sobolev inequalities, Beckner's inequality, and many, many more. The inequalities are used to obtain properties of function spaces, linear operators between them, and of special classes of operators such as absolutely summing operators. This textbook complements and fills out standard treatments, providing many diverse applications: for example, the Lebesgue decomposition theorem and the Lebesgue density theorem, the Hilbert transform and other singular integral operators, the martingale convergence theorem, eigenvalue distributions, Lidskii's trace formula, Mercer's theorem and Littlewood's 4/3 theorem. It will broaden the knowledge of postgraduate and research students, and should also appeal to their teachers, and all who work in linear analysis.

《几何的交响：从欧几里得到黎曼的维度探索》图书简介本书旨在带领读者进行一场跨越数千年的数学之旅，深入探究几何学这一古老而又充满活力的学科的演进脉络及其在现代科学中的核心地位。我们不关注任何特定的不等式理论，而是着重描绘几何思想如何从朴素的欧几里得公理体系中萌芽，逐步发展，并最终催生出我们今天所依赖的复杂多维空间理论。第一部分：古典几何的基石与危机（约 300 字）章节聚焦：欧几里得的永恒遗产与非欧几何的曙光我们的旅程始于公元前 300 年左右的亚历山大港，聚焦于欧几里得的《几何原本》。这本书不仅仅是关于点、线、面的操作手册，它确立了演绎推理和公理化方法的典范。我们将详细考察欧几里得的五条公设，特别是那条著名的第五公设——平行公设。本书将深入剖析历史上对平行公设的长期质疑。这些质疑并非简单的质疑，而是对“空间本质”这一根本问题的第一次深刻反思。我们将追溯加斯帕罗（Saccheri）和朗伯特（Lambert）等人为证明平行公设的必然性所做的艰苦尝试，这些“失败的尝试”却意外地为非欧几何的诞生铺平了道路。我们探索的是结构的构建，而非约束的量化。第二部分：代数的赋能与解析几何的革命（约 400 字）章节聚焦：笛卡尔的透视与曲面分析几何学要想突破平面和三维空间的直观限制，必须借助代数的精确性。本书的第二部分将重点探讨笛卡尔和费马如何将代数方程引入几何领域，从而诞生了解析几何。我们将详细分析笛卡尔坐标系如何将复杂的几何形状转化为易于操作的代数表达式。这一革命性的转变，使得研究曲线和曲面的方法发生了质的飞跃。我们不再需要依赖直尺和圆规进行繁琐的作图，而是可以通过求解方程来描述和分析几何对象。接着，我们将探讨微积分如何被引入几何分析。牛顿和莱布尼茨所发展的微分和积分工具，使得我们能够精确计算曲线的切线、面积和曲率。这一时期的核心在于函数与形态的对应关系，以及如何使用导数来揭示空间局部结构的性质。我们关注的是如何用代数语言来捕捉形状的变化率，而非比较不同形状的度量关系。第三部分：微分几何的兴起：空间结构本身的几何学（约 500 字）章节聚焦：高斯对曲面论的奠基与黎曼对抽象空间的构建如果说解析几何是将代数应用于“已有”的几何对象，那么微分几何则致力于研究空间自身的内在属性。高斯对曲面的研究是这一转变的里程碑。我们将细致梳理高斯“绝妙定理”（Theorema Egregium）的深刻意义——它揭示了曲率可以在不离开曲面本身的情况下被度量。这标志着几何学开始关注对象的内在几何，而非其在外部空间中的嵌入方式。随后，我们将进入本书的核心高潮——黎曼的贡献。黎曼的思想极大地扩展了对“距离”和“空间”的定义。他引入了更一般化的度量概念，使得研究任意维度的流形成为可能。我们将详细解读黎曼几何的基本框架，包括黎曼度量张量和测地线的概念。本书将强调，黎曼几何的核心在于定义局部如何被度量，以及如何通过张量场来描述这种度量在整个空间中的变化。这是一种关于如何测量的几何，它为物理学的时空概念提供了必要的数学工具。我们探索的是抽象空间内部的结构一致性，而非特定量值之间的比较。第四部分：从纯粹几何到应用边界（约 300 字）章节聚焦：拓扑学的分离与现代物理的框架几何学的叙事并未止步于黎曼。我们将简要概述拓扑学的诞生，它关注的是在连续形变下保持不变的性质，即几何对象的“弹性”属性。拓扑学关注的是连接性、孔洞的数量，这些都是对空间定性的描述，与精确的度量无关。最后，本书将展望几何学在现代科学中的应用，例如广义相对论中，时空被描述为一个四维的、弯曲的黎曼流形。爱因斯坦的场方程便是关于物质如何影响时空几何的描述。我们将看到，几何学已经演变成理解宇宙基本规律的通用语言。本书的叙事线索清晰：从欧几里得的公理化直觉，到笛卡尔的代数化工具，再到高斯和黎曼对空间内在结构的深度挖掘。我们聚焦于几何学如何构建和描述空间本身的理论框架，而非在既定框架内进行特定数值关系的限定或推导。这是一部关于数学思想如何演化、拓展人类对空间认知边界的史诗。