Algebra and Trigonometry With Make the Grade and Infotrac pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Thomson Learning

作者:Stewart, James/ Redlin, Lothar/ Watson, Saleem

出品人:

页数:950

译者:

出版时间:

价格:123.95

装帧:HRD

isbn号码:9780534434120

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 三角学
• 数学
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• 方程

深入解析高等代数与三角函数：构建严谨的数学思维基石 书名： 深入解析高等代数与三角函数：构建严谨的数学思维基石 作者： [请在此处填写一位虚拟的资深数学教育家姓名，例如：张 伟 教授] 出版年份： 2024年 [此为示例年份] --- 内容提要 本书旨在为学习高等代数（Algebra）和三角函数（Trigonometry）的读者提供一个全面、深入且逻辑严谨的学习指南。我们深知，代数和三角函数是通往微积分、线性代数乃至更深奥数学领域的核心门户。因此，本书的设计理念并非仅仅罗列公式和解题步骤，而是着重于概念的内在联系、理论的推导过程以及数学思想的培养。 全书结构经过精心编排，力求在介绍基础知识的同时，不断深化读者的理解，将零散的知识点系统地整合为一个有机整体。我们采用了一种“从具体到抽象，再从抽象回归具体”的教学路径，确保学习者不仅“知其然”，更能“知其所以然”。 本书的特色在于其对证明的强调和对几何直观的结合。在代数部分，我们将细致探讨多项式理论的根基，深入分析方程的解的存在性与唯一性；在三角函数部分，我们将超越简单的角度换算，重点剖析三角函数的周期性、对称性及其在物理和工程中的应用模型。 对于那些希望打下坚实基础，未来在科学、工程、经济学或计算机科学等领域有所建树的读者而言，本书无疑是不可或缺的参考资料和学习伴侣。 --- 第一部分：高等代数基础与结构（The Foundations of Advanced Algebra） 第一章：复习与深化——数系的拓展与结构 本章首先回顾了有理数和实数的完备性，随后系统地引入了复数域 $mathbb{C}$。我们不仅仅停留在代数形式 $a+bi$，而是深入探讨复平面的几何表示（阿氏平面），并介绍德莫弗定理（De Moivre's Theorem）的几何推导。 关键内容： 复数的代数运算、共轭复数、复数的极坐标表示、欧拉公式 ($e^{i heta} = cos heta + isin heta$) 的重要性及其与三角函数的桥接作用。 深度探讨： 引入群（Group）的初步概念，用复数乘法群 $C^$ 作为实例，为后续的抽象代数学习埋下伏笔。 第二章：多项式理论的深度剖析 多项式是代数的核心研究对象。本章将彻底解析一元多项式的结构、根的性质和因式分解。 核心定理： 详细阐述代数基本定理 (The Fundamental Theorem of Algebra) 的意义和几种经典证明思路（不涉及复分析的严谨证明，但会提供直观理解）。 余数定理与因子定理： 不仅用于求解，更深入探讨其在多项式长除法中的优化应用。 有理根定理与重根： 系统讲解如何利用这些定理来寻找和判断根的重数，这对于函数的求导分析至关重要。 Vieta's Formulas (韦达定理)： 深入探讨根与系数之间的关系，并展示如何利用对称多项式处理高次方程。 第三章：方程组与线性思维的萌芽 本章将线性代数的概念融入到高次方程组的求解过程中，强调矩阵视角对问题的简化作用。 线性方程组： 采用高斯消元法，清晰展示其几何意义（直线、平面的交点问题）。 行列式的引入： 讲解行列式的定义、性质（如交错性、线性齐次性），并用其判定方程组的唯一解（Cramer’s Rule的理论基础）。 向量空间概念的初步接触： 将方程组的解集视为特定空间中的向量，理解“解空间”的概念。 第四章：不等式与函数分析 本章关注不等式的严谨解法及其在优化问题中的应用，并开始为函数图像的绘制打下基础。 代数不等式： 讨论绝对值不等式、有理不等式的严格解法。 均值不等式 (AM-GM, Cauchy-Schwarz)： 详细推导算术-几何平均不等式，并展示其在极值问题中的优雅应用。 函数与图像： 讨论多项式函数的零点、奇偶性、单调性，为后续三角函数的周期性做铺垫。 --- 第二部分：三角函数的解析几何与应用（Analytical Trigonometry and Applications） 第五章：角的度量与三角函数的定义 本章从几何定义出发，严格过渡到弧度制的必要性，并系统定义六大基本三角函数。 弧度制与单位圆： 强调单位圆是理解三角函数周期性和奇偶性的物理模型。 三角函数的定义域、值域与周期性： 详细分析 $sin(x), cos(x), an(x)$ 的图像特征，重点解释为什么 $pi$ 和 $2pi$ 是它们的周期。 反三角函数： 严格定义反三角函数的限制区间，解释限制的必要性，并推导其基本性质。 第六章：三角恒等式的推导与应用 本章是三角函数的核心，强调公式的推导而非死记硬背。 和差角公式的几何推导： 以欧拉公式的实部和虚部为启发点，进行几何证明，体现代数与几何的统一。 倍角与半角公式： 展示如何从和角公式简化得到，并讨论其在解三角方程中的实际用途。 积化和差与和差化积： 讲解这些公式在简化复杂三角表达式中的策略性应用。 万能代换 (Weierstrass Substitution)： 介绍 $t = an(x/2)$ 替换在降次求解复杂三角方程中的威力。 第七章：解三角形——从欧氏几何到向量空间 本章将三角函数应用于实际的几何测量问题，并自然引入向量的概念。 正弦定理与余弦定理： 详细推导，并分析在何种情况下使用哪一定理更为高效。 三角形的面积公式： 结合正弦定理，建立多种面积计算方法。 向量的初步介绍： 利用向量的点积（内积）来重新诠释余弦定理，展示数学概念的普适性。 第八章：三角函数在周期性现象中的建模 本章是本书的升华部分，连接数学理论与物理世界。 振动与波的数学描述： 如何利用正弦和余弦函数来精确描述简谐运动（如弹簧振子、单摆）。 相位角与平移： 解释振动方程中的初始相位 ($phi$) 和频率 ($omega$) 的物理意义。 傅里叶级数初探（概念性）： 简要介绍任何周期函数都可以被分解为正弦和余弦函数的叠加，为信号处理和微分方程打下直观基础。 --- 学习特色与教学方法 本书在内容组织上遵循以下原则： 1. 严谨性与可读性的平衡： 每一个重要的定理都提供详细的、可追踪的推导步骤，避免使用未证实的结论。同时，语言力求清晰流畅，避免过度晦涩的术语堆砌。 2. “为什么要学”的明确导向： 每章开头都会阐明该部分知识点在后续数学或科学分支中的核心地位，增强学习动机。 3. 强调类比与统一性： 贯穿全书，引导读者发现代数结构（如多项式环）与三角函数的周期性之间的深层数学结构上的相似之处。 4. 精选习题集： 习题分为三类：A类（概念巩固）、B类（技巧训练）和C类（综合应用与拓展证明），C类习题往往需要结合代数与三角函数的知识才能解决。 目标读者： 本科一年级或高中高阶数学课程学生、需要复习巩固基础的理工科在读生、以及对数学基础有严谨要求的自学者。 --- 本书承诺： 学习完本书，读者将不仅掌握代数和三角函数的运算技巧，更能建立起严密的数学逻辑框架，为未来更高阶的数学学习做好充分的思维准备。

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