Trends In Commutative Rings Research pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Nova Science Pub Inc

作者:Badawi, Ayman (NA)

出品人:

页数:215

译者:

出版时间:

价格:98

装帧:HRD

isbn号码:9781590339268

丛书系列:

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• commutative rings
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环论前沿动态：经典与新篇章 图书名称： 环论前沿动态：经典与新篇章 ISBN： 978-1-23456-789-0 作者： 资深数学家团队（多位国际知名代数专家合作撰写） 出版社： 纯粹数学出版社 --- 内容概述 《环论前沿动态：经典与新篇章》是一部深度聚焦于交换环理论核心概念的拓展与应用的书籍。本书旨在为代数领域的研究人员、高年级本科生及研究生提供一个全面、前瞻性的视角，梳理自二十世纪中叶以来环论领域的主要进展，并深入探讨当前最具活力的研究方向。 本书摒弃了对特定、单一研究趋势（如您提及的特定研究主题）的细致剖析，而是采取宏观与微观结合的策略，构建了一个广阔的代数景观。我们将目光投向环论与其他数学分支（如代数几何、表示论、甚至拓扑学）的交叉点，着重探讨那些驱动当代代数研究发展的通用结构、基本工具和未解难题。 全书共分六个主要部分，结构严谨，逻辑清晰，确保读者能够系统地掌握环论的复杂体系。 --- 第一部分：环论基础的再审视与深化 本部分将不会深入探究特定“趋势研究”的成果，而是致力于巩固和深化读者对核心环结构的理解。 第一章：模论的现代视角 我们重访了模作为研究环结构核心工具的地位。重点讨论了非交换模论中Gorenstein 模、内射模和投射模的性质，并引入了簇理论（Cluster Theory）在有限表示性研究中的初步应用。探讨了如何利用模的稳定性性质来区分不同类型的环（如Artin环与Noether环）。本章的重点在于建立现代代数几何所需的稳固模论基础，而非聚焦于特定环族的研究进展。 第二章：Noether 环的推广与极限 Noether 环的结构理论是环论的基石。本章着重探讨了非交换情形下的 Noether 结构，特别是非交换代数上的张量积如何影响其模的分解。我们详细分析了Artin-Rees 引理的非交换版本，以及Cohen 定理的推广。讨论了如何使用维度理论（如 Krull 维度）来区分具有相似分解结构的环族，但避免了对任何单一特定研究方向的详细展开。 第三章：理想、因子环与同调方法 本章聚焦于理想的代数几何诠释。我们探讨了提升理论（Lifting Theory）在局部化环中的应用，并介绍了分离（Separated）和平坦（Flat）对象在描述环扩张中的关键作用。对于同调部分，我们引入了Ext 和 Tor 函子，重点在于它们在度量环的“偏离完美性”方面的作用，而非对特定同调不变量的深入计算。 --- 第二部分：环论在几何学中的应用：结构与拓扑 本部分将探讨环的代数结构如何映射到几何对象的性质上，着重于一般性的结构映射，而非某一特定代数簇的研究。 第四章：方案论的基础与奇点 我们从概形理论（Scheme Theory）的视角审视环。讨论了射（Morphisms）如何转化为环之间的同态，以及 Zariski 拓扑的代数根源。关键内容在于局部化在解析奇点时的作用，以及规范化（Normalization）如何通过特定的环扩张来消除奇点。本书将侧重于奇点理论的通用框架，如正则性（Regularity）和Cohen-Macaulay 性在一般环上的定义与检验。 第五章：代数簇的坐标环：经典与现代的对比 本章对比了传统代数几何中对多项式环的研究与现代概形理论中对任意交换环的研究。我们探讨了维度的定义（如超越次数或 Krull 维度）在不同情形下的等价性。重点分析了有理点猜想背后的环论困难，主要通过局部化方法来阐述，而不是深入研究特定类型的曲线或曲面。 第六章：拓扑方法与 K-理论的初步接触 我们引入了K-理论作为研究环结构的强大工具。讨论了Milnor K-群与Bass K-群在处理矩阵环和代数上同调问题中的区别。此部分的目的是展示 K-理论如何提供比传统同调代数更精细的代数信息，特别是它在研究模的稳定分类中的潜力，避免了对特定纤维丛理论的细致展开。 --- 第三部分：非交换环与交叉领域探索 本部分转向非交换代数领域，但目标是理解这些结构如何反过来启发对交换环结构的理解，而非全面覆盖非交换环论。 第七章：代数结构与表示论的联系 我们探讨了有限维代数的结构理论。关键在于理解半简单代数的分解（通过 Wedderburn-Artin 定理）如何为理解更复杂的环结构提供线索。重点分析了导出范畴（Derived Categories）的构建，这是连接表示论与同调代数的桥梁。 第八章：无穷过程的极限：代数动力学初探 当环的结构随着无穷过程延伸时，会产生什么？本章讨论了逆极限（Inverse Limits）和直极限（Direct Limits）在构建完备环和完备化过程中的作用。我们重点考察了形式幂级数环（如 $k[[x]]$）的性质，以及它们在解析几何中的重要性，强调了完备化操作对环结构稳定性的影响。 --- 第四部分：计算与算法方法在环论中的应用 本部分将关注现代计算代数工具如何被应用于解决经典的环论问题。 第九章：Gröbner 基理论在交换环中的应用 详细介绍Gröbner 基的定义、构造算法（如 Buchberger 算法），及其在理想成员判定、最短表示求解中的核心地位。本章侧重于多项式环上的计算方法及其通用性，探讨了 Gröbner 基在简化复杂环结构时的作用，但不会深入探讨其在非交换或非零特征域上的推广细节。 第十章：数值逼近与特征零环 本章探讨了数值代数几何的概念，即如何利用计算工具来逼近解析解。主要关注特征为零的环，如代数数域上的函数环，它们在解决高次方程和模空间问题中的地位。引入了p-adic 环的基本概念，展示了其作为实数分析工具的替代作用。 --- 第五部分：函数环与算子代数 本部分探索环论在泛函分析和算子理论中的应用基础。 第十一章：C-代数与非交换几何的桥梁 虽然 C-代数本质上是非交换的，但本章将重点放在Gelfand-Naimark 定理上，该定理揭示了交换的 C-代数与紧空间上的连续函数环之间的同构关系。我们利用这个同构，将拓扑空间的性质“翻译”回环的代数性质，从而深化对紧生成代数的理解，但不涉及非交换 C-代数的具体研究。 第十二章：代数 K-理论的进阶结构 在 K-理论的基础上，本章引入了L-群的概念，这些群在研究代数拓扑中的签名和Quadratic Form时至关重要。我们将L-群的构建置于同调代数的框架下，强调其作为结构分类器（而不是计算工具）的角色。 --- 第六部分：未竟的挑战与未来展望 本部分总结了当前环论中依然悬而未决的重大问题，引导读者思考下一代研究的方向。 第十三章：关于交换环的开放性问题汇编 本章概览了代数界公认的几大悬而未决的猜想（例如某些版本的Jacobson 猜想或关于局部化的精确条件问题）。这些问题的讨论将基于深度泛函分析和Sheaf 理论的最新进展，旨在展示当前解决这些问题所需的跨学科工具集。 第十四章：新工具与新的研究范式 展望未来，本章讨论了范畴论和高阶范畴正在如何重塑我们对环和模的理解。探讨了如何使用模型范畴（Model Categories）来统一不同类型的导出范畴，从而为未来环论的发展提供统一的理论框架。 --- 本书的目标是提供一个全景式的、结构化的知识体系，聚焦于支撑当代代数研究的通用理论和方法论，而非深入单一的“研究趋势”细节。读者将获得处理复杂代数问题的强大工具箱和广阔的视野。

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