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出版者:OUP Oxford

作者:Terry Lawson

出品人:

页数:404

译者:

出版时间:2003-4-10

价格:GBP 100.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780198515975

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 点集拓扑
• 代数拓扑
• 微分拓扑
• 拓扑空间
• 连续函数
• 同伦
• 同调论
• 纤维丛
• 拓扑群

《拓扑学》 一份严谨而深刻的数学探险之旅 《拓扑学》并非一本寻常的书籍，它引领读者深入探索数学中最抽象、最核心的概念之一：空间本身的性质，不依赖于距离、角度等度量概念。这本书，是对“形状”与“连接性”的本质的深入剖析，是一次对事物在连续变形下保持不变的特性的细致观察。 本书的开篇，我们将从集合论的基础概念切入，为后续的拓扑空间定义奠定坚实的基础。读者会接触到点集拓扑学的基石：开集、闭集、邻域、开核、闭包等基本元素。这些概念看似抽象，却是构建整个拓扑学大厦的砖石。通过严谨的定义和丰富的示例，我们将理解它们如何刻画空间中的“局部”性质，以及它们之间微妙而重要的联系。 接着，我们将深入探讨拓扑空间的关键性质。连续性，这一我们熟悉的概念，在拓扑学中被赋予了更普适的意义。一本连续函数，不仅仅意味着“不跳跃”，更意味着它能够保持空间的结构。我们将学习如何定义和识别连续映射，理解它如何在一个拓扑空间到另一个拓扑空间之间建立起结构上的联系。 紧随其后的是一系列重要的拓扑性质，它们如同一个个独特的“指纹”，帮助我们区分不同的拓扑空间。同胚性，这是拓扑学中最核心的等价关系。两张纸，无论如何揉捏、拉伸，只要不撕裂、不粘连，它们在拓扑学上就是等价的。我们将学习如何证明两个空间是同胚的，以及如何利用同胚性来简化复杂问题的研究。 本书将详细介绍度量空间的概念。虽然拓扑学本身不依赖于度量，但许多重要的拓扑空间都可以通过度量来定义。度量空间为我们提供了一个直观的框架来理解拓扑概念，也为我们研究更复杂的拓扑结构提供了便利。从欧几里得空间到巴拿赫空间，我们将看到度量如何自然地引出拓扑。 连通性是本书探讨的另一个重要主题。一个空间是连通的，意味着它不能被分解成两个不相交的开集。我们将学习不同的连通性概念，例如路径连通性，并理解它们在刻画空间的“整体性”方面的作用。 紧致性，则是拓扑学中最强大的工具之一。一个紧致空间，在许多方面都表现出“有限性”的特点，例如在紧致空间上的连续函数必定有界且达到最大最小值。本书将深入探讨紧致性的定义、等价刻画以及它在分析和几何中的广泛应用。 本书还将引入一些更高级的拓扑概念，例如可分性、可数性公理等。这些性质虽然听起来技术性较强，但它们对于理解不同拓扑空间的结构和性质至关重要，并且在构造性数学和理论计算机科学等领域有着深远的影响。 此外，我们还将探讨一些具体的拓扑空间，例如流形。流形是一种在局部与欧几里得空间相似的空间，它是研究几何和物理现象的重要工具。从一维的曲线到高维的曲面，我们将领略流形的丰富多彩的世界。 本书并非一本浅尝辄止的介绍，而是力求为读者提供一个严谨而全面的学习路径。每一章都包含精心设计的例题和习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并培养独立解决问题的能力。通过循序渐进的讲解和深入的分析，读者将能够逐步建立起对拓扑学的深刻理解，并为进一步探索代数拓扑学、微分拓扑学等更广阔的领域打下坚实的基础。 《拓扑学》是一次思维的拓展，一次对数学美的深刻体悟。它将帮助你超越对具体形状的认知，去理解事物背后更为本质和普遍的规律。无论你是数学专业的学生，还是对抽象数学充满好奇的探索者，这本书都将为你开启一扇通往全新数学世界的大门。

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这本书的魅力在于其深厚的历史感和对基本概念的忠诚度。它没有过多地卷入现代拓扑学中那些过于繁复的工具（比如大量的范畴论语言），而是扎根于点集拓扑的经典体系，并优雅地过渡到流形的讨论。作者的语言风格简洁而有力，很少有冗余的词藻，每个句子都承载着实质性的数学信息。我特别欣赏它在引入同调理论时所采取的路径，它没有直接跳到奇异同调的复杂定义，而是先通过对链复形和边界算子的巧妙构造，让你体会到“洞”和“缺口”在代数框架下是如何被量化的。这使得后来的计算变得有迹可循，而不是纯粹的公式套用。唯一的遗憾是，对于流形理论的讨论，相较于点集部分，显得略微仓促了一些，感觉像是作者在篇幅限制下不得不匆匆收尾。如果能在微分拓扑的前沿部分再增加一些篇幅，对那些希望将拓扑学应用于物理或工程领域的读者来说，会更加友好。

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这本《拓扑学》实在让人又爱又恨，我花了整整一个暑假才啃完第一遍，感觉自己的脑子被重新塑形了一遍。初次翻开时，那些抽象的概念，比如“同胚”、“连通性”，简直像天书一样。我记得第一次尝试理解为什么一个甜甜圈和一个咖啡杯可以被认为是“相同”的，那种感觉就像是试图用尺子去测量一个梦境的长度。书中的论证严密得令人窒息，每一步推理都像是在走钢丝，稍不留神就会滑入谬误的深渊。作者的笔触非常老练，他擅长构建极其精妙的反例，每一次当你自以为“搞懂了”某个概念时，一个巧妙的例子就会把你拉回现实，让你意识到自己理解得多么肤浅。我尤其欣赏它对代数拓扑的引入，虽然那部分内容着实令人头疼，但当那些复杂的群论结构开始为几何问题提供洞察时，那种豁然开朗的体验是其他任何数学分支都无法比拟的。不过，对于初学者来说，这本书的门槛可能确实高了一些，它对读者的背景知识要求近乎苛刻，很多时候需要读者自己去查阅大量的预备知识才能跟上作者的思路，这使得阅读体验时常被打断，像是一场漫长而又时不时需要暂停的电影。

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这是一本需要被“对待”而非“阅读”的书。我尝试过用咖啡陪伴着它，也尝试过在深夜的台灯下与它搏斗，但最有效的方式竟然是带着纸笔，像对待一位严厉的导师那样，在书页空白处写满了自己的疑问和推导草稿。它对“开集”和“闭集”的讨论，细致到令人发指，但正是这种细致，让我终于明白了为什么在非欧空间中，我们不能再依赖于直觉画出的圆圈。书中的习题设置非常巧妙，它们不是简单的计算，而是对理论深度的有效检验。很多看起来不起眼的练习题，背后都隐藏着一个小型定理的证明。完成这些习题的过程，比阅读正文更耗费心神，但也收获更大。这本书的价值在于，它迫使你从一个“使用者”变成一个“构建者”，去思考数学家们是如何一步步搭建起这个抽象世界的。它不适合零散时间阅读，它要求你全身心的投入，像进行一场严肃的智力探险。

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这本书给我的感觉是，它试图建立一个极其坚固的、几乎无法被攻破的逻辑城堡。每一章都是一块打磨得光滑无比的砖石，精确地契合在下一章的结构之中。我发现自己常常需要回溯好几页，去确认某个看似微不足道的引理是否真的被完全消化，因为作者的叙述风格是如此的线性且不可逆转。读这本书需要极大的耐心和一种近乎冥想的状态。我记得有一次，我为了理解勒维特定理的证明过程，整整花了两天时间，不断地在“直觉”和“严谨”之间拉扯。这种深入骨髓的钻研，虽然过程痛苦，但一旦理解，那种智力上的满足感是无与伦比的。它真正教给我的不是知识本身，而是一种思考数学问题的范式——如何将感性的几何直觉，彻底地、无懈可击地转化为符号化的逻辑演绎。对于那些仅仅希望快速了解拓扑学应用的学生来说，这本书可能过于“学术”和“基础”，它更像是为未来的研究者准备的基石，而非快速通关的捷径。

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说实话，我本来是冲着这本书在现代几何学中的“经典”地位才买的，没想到它读起来的体验如此“古典”。它更像是一份详尽的、近乎手把手的导览图，带领你穿梭于那些由欧几里得几何的直觉逐渐崩塌的领域。我最喜欢的一点是，作者在处理紧致性这类基础概念时，那种近乎偏执的细致。他不是简单地抛出一个定义然后继续推进，而是会花大量的篇幅去解释为什么需要这个概念，它解决了什么旧有的矛盾，以及它在不同空间中的微妙差异。这使得我对“收敛”这个看似简单的操作有了全新的理解——原来在度量空间之外，收敛可以如此丰富多彩！然而，本书的排版和图示略显保守，可能是受限于出版年代，很多关键的几何直观需要读者自己在大脑中大力“绘制”。有些复杂的纤维丛结构，如果能配上更现代、更生动的插图，理解起来或许会事半功倍。但反过来说，这种克制也迫使我必须依靠纯粹的逻辑去构建图像，这无疑是对思维韧性的一次极好锻炼。

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