Pre-Algebra, California Ediiton pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co

作者:Malloy, Carol

出品人:

页数:796

译者:

出版时间:2005-3

价格:$ 115.26

装帧:HRD

isbn号码:9780078704246

丛书系列:

图书标签:

• Pre-Algebra
• Mathematics
• California
• Education
• Middle School
• Textbook
• Arithmetic
• Algebra
• Foundations
• Study Guide

《高等代数精要与应用》 内容提要 本书旨在为有志于深入理解和应用高等数学概念的学习者提供一个扎实而全面的基础。内容涵盖了传统高等代数的核心领域，侧重于理论的严谨性与实际应用之间的平衡。全书结构清晰，逻辑递进，从集合论与逻辑基础出发，逐步过渡到线性代数、抽象代数（群、环、域）以及初等数论的现代视角。 第一部分：基础与预备知识 本部分着重于建立坚实的数学思维框架。首先，我们对集合论的基本概念进行回顾与深化，包括集合的运算、笛卡尔积以及函数与映射的严格定义。随后，引入逻辑推理的基础，如命题演算、谓词逻辑以及数学归纳法，确保读者能够理解并构建严谨的数学证明。 我们详细讨论了数系的扩展过程，从自然数到整数、有理数，最终到达实数系统。实数的完备性（如最小上界原理）被视为构建后续分析工具的关键，本章对此进行了深入的探讨和必要的论证。复数的引入不仅限于代数形式，更深入探讨了其几何意义和极坐标表示，为傅里叶分析和控制论等高级主题打下基础。 第二部分：线性代数核心 这是全书的重点之一。我们从向量空间的抽象定义开始，严格界定基、维数和线性变换。矩阵代数不再仅仅是计算工具，而是被视为线性映射在不同基下的表示。 矩阵与行列式： 矩阵的运算、逆矩阵的求解，以及行列式的定义、性质及其在体积和方向性中的几何解释。高斯消元法被提升到行空间、列空间和零空间分析的高度。 特征值与特征向量： 这一主题被赋予了深刻的动态系统和稳定性分析的背景。我们详细讨论了相似变换、对角化，并引入了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）以处理非对角化情况，这对于理解微分方程组的解至关重要。 内积空间与正交性： 内积的引入将代数结构与几何直观相结合。施密特（Gram-Schmidt）正交化过程不仅是构造正交基的算法，更是理解最小二乘法和投影的基础。对称矩阵的正交对角化被应用于主成分分析（PCA）的理论基础。 第三部分：抽象代数导论 本部分将读者的视野从线性结构扩展到更一般的代数结构。 群论基础： 群的公理化定义后，紧接着是子群、陪集和同构的概念。拉格朗日定理被作为群结构分析的里程碑。我们深入探讨了正规子群、商群，并详尽阐述了同态基本定理，这是连接不同群结构的桥梁。循环群、二面体群（Dihedral Groups）和置换群（Symmetric Groups）作为实例，帮助读者理解抽象定义的实际体现。 环与域： 环的引入扩展了加法和乘法的代数结构。我们关注于整环、理想（Ideals）的性质，以及同态定理在环上的应用。域（Fields）的概念，特别是有限域（Galois Fields）的性质，被适度介绍，为密码学和编码理论埋下伏笔。积分域上的多项式环，包括欧几里得整环的性质，为后续的代数数论打下基础。 第四部分：数论与代数几何的交汇点 本部分内容旨在展示高等代数在数论中的强大工具。 初等数论的重构： 欧几里得算法、最大公约数、模算术（Modular Arithmetic）被置于群论和环论的框架下重新审视。费马小定理和欧拉定理被严格证明，并应用于大数因式分解的背景讨论。 同余关系与中国剩余定理： 详细解析了中国剩余定理（CRT）的构造性证明及其在构造特定模数下的数域中的应用。 代数数论的初步概念： 引入了代数整数（Algebraic Integers）的概念，探讨了高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$，展示了代数工具如何解决传统的数论问题，如费马平方和定理。 教学方法与特点 本书的编排注重启发性。每个章节后都附有大量分层的练习题：计算性练习、概念验证题和难度较高的证明题。特别强调“理论与实践的结合”，在关键章节穿插了应用案例分析，例如： 1. 线性代数在数据降维中的应用（主成分分析的几何解释）。 2. 群论在晶体对称性分类中的作用。 3. 环论在错误检测码（如BCH码）中的代数基础。 本书的语言力求精确而流畅，避免使用过于晦涩的行话，旨在帮助读者从对初等代数的直观理解，平稳过渡到对现代数学结构的高度抽象认知。它不仅为攻读纯数学、应用数学、理论物理、计算机科学（尤其是在密码学和算法设计方向）的学生准备，也是对数学结构美感有追求的自学者理想的参考书。掌握本书内容，即意味着具备了进入更深层次的泛函分析、拓扑学或高级抽象代数学习的必备能力。

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