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出版者:Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co

作者:Glencoe/McGraw-Hill/ Jamestown Education

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:70.72

装帧:HRD

isbn号码:9780078731945

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深入探索数学思维的边界：一本关于高等代数与拓扑学的专著 书籍名称： 《群论、环与流形：现代数学的结构与应用》 作者： 艾伦·斯图尔特 (Alan Stewart) 出版社： 剑桥大学出版社 (Cambridge University Press) 出版年份： 2023年 --- 内容简介 《群论、环与流形：现代数学的结构与应用》是一部面向高年级本科生、研究生以及专业数学研究人员的权威性著作，旨在系统而深入地探讨抽象代数和微分拓扑学的核心概念及其相互关联。本书的核心目标在于构建一个坚实的理论框架，使读者能够从统一的视角理解数学结构在不同领域中的表现形式和深层联系。 全书共分为四个主要部分，涵盖了从基础的代数结构到复杂的几何拓扑空间的一系列重要主题，力求在严谨性与可读性之间取得完美的平衡。 --- 第一部分：抽象代数的基石——群论的深度剖析 本部分着重于对群论的全面梳理与拓展，为后续章节中更高级的代数结构奠定坚实的基础。我们超越了基本的群运算和子群概念，深入探讨了群的内在结构及其在分析和几何中的具体实现。 1. 群的结构与表示： 置换群与伽罗瓦群： 详细分析对称群 $S_n$ 和交错群 $A_n$ 的性质，特别是它们在多项式根式求解问题中的关键作用。伽罗瓦群的构造被细致阐述，并附有当代密码学（如椭圆曲线加密的底层理论）中有限域扩张与群作用的实例。 自由群与群的生成元： 探讨了自由群的构造及其在图论（特别是图的覆盖空间）中的应用。引入了自由积的概念，并论证了其在分解复杂群结构时的重要性。 群的上同调与同调： 首次引入了群的上同调群 $H^n(G, A)$，解释了其在衡量群的“非交换性”以及在代数K理论中的地位。我们详细分析了群扩张问题，并展示了如何利用上同调群来分类所有可能的中介群。 2. 环、模与域的深化： 本章将抽象代数从群扩展到环和模的范畴，强调了现代代数在代数几何中的基础作用。 Noether 环与交换代数： 重点讨论了Noether环的定义、性质及其在代数几何中作为“函数环”的角色。引入了理想的结构理论，特别是主理想、唯一分解整环（UFD）以及Artin环的性质。 张量积与嘉尔达尔积： 对张量积 $otimes$ 进行了详尽的构造性解释，强调了其作为“自由对象”的普遍性。随后，深入研究了嘉尔达尔积在研究域扩张时的构造优势。 同调代数的初步： 介绍了平坦模、内射模和投射模的概念，并构建了链复形，为理解更高级的代数拓扑工具（如Tor和Ext函子）做好了理论铺垫。 --- 第二部分：拓扑学的几何化——从度量到同伦 本部分将焦点转向拓扑学，从最直观的度量空间概念出发，逐步过渡到更具抽象性的同伦理论，强调几何直觉在纯数学中的指导作用。 3. 拓扑空间的分类与构造： 连续映射与紧致性： 对紧致性、连通性和分离公理（如Hausdorff、正则性）进行了严格的定义和相互关系的探讨。特别关注了紧化（如Stone-Čech 紧化）在分析函数空间中的应用。 度量空间与完备性： 详细阐述了巴拿赫空间的概念，并利用Baire范畴定理分析了函数空间中病态函数的分布。这部分内容为泛函分析的后续学习打下了坚实的基础。 CW复形与纤维丛： 引入了CW复形作为研究拓扑空间的有效工具，重点分析了其在简化同伦计算中的优势。随后，本书首次引入了纤维丛的概念，特别是主丛，并将其与微分几何中的联络联系起来。 4. 同伦群与基本群的深入研究： 本章是拓扑部分的核心，旨在用代数工具来区分拓扑空间。 基本群 $pi_1(X)$ 的计算： 利用Seifert-van Kampen定理，详细计算了球面、环面以及复合曲面的基本群，展示了其在判断空间“洞”的数量上的直接效用。 高阶同伦群： 探讨了更高阶同伦群 $pi_n(X)$ 的定义及其性质。重点分析了Hurewicz同态，该同态将拓扑空间的拓扑不变量（同伦群）映射到代数结构的同调群上。 同伦的代数化： 引入了Eilenberg-MacLane空间 $K(G, n)$，解释了它们如何作为“纯粹的”代数空间，其所有的同伦群都集中在第 $n$ 维，为构造谱序列提供了基础。 --- 第三部分：微分几何的结构——流形上的张量分析 本书的第三部分实现了代数与几何的完美交汇，将抽象的微分概念应用于光滑流形上，这是现代数学物理和几何学的基础。 5. 光滑流形与张量分析： 切空间与向量场： 严格定义了光滑流形、图册和过渡函数。重点分析了切空间 $T_pM$ 作为实线性空间对流形上局部行为的线性化描述。 微分形式与外微分： 引入了微分 $k$ 形式 $Omega^k(M)$，并详细阐述了外微分 $d$ 的性质，特别是 $d^2 = 0$ 这一核心代数拓扑结果在微分几何中的体现。 德拉姆上同调： 结合外微分的性质，系统性地构造了德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$。本书通过详细的计算实例，展示了德拉姆上同调与奇异上同调之间的同构关系（De Rham Theorem），这是本书理论体系的支柱之一。 6. 黎曼几何的几何代数： 黎曼度量与联络： 在流形上引入黎曼度量 $g$，并由此定义了Levi-Civita联络。重点分析了测地线的概念，并使用指数映射将局部几何问题转化为局部线性问题。 曲率的代数表示： 深入分析了黎曼曲率张量 $R$ 的代数性质，包括Ricci恒等式和Bianchi恒等式。本书使用张量微积分的语言，清晰地展示了曲率如何衡量空间弯曲的程度。 --- 第四部分：结构间的联系——拓扑与代数的桥梁 最后一部分旨在整合前三部分的内容，展示现代数学中理论是如何相互渗透和统一的。 7. 代数拓扑的统一视角： 谱序列简介： 以Serre谱序列为例，展示了如何利用代数工具（如张量积和Ext函子）来计算复杂空间的同调群（如纤维丛的同调）。这部分内容为读者打开了研究复杂拓扑结构计算的大门。 K-理论的萌芽： 简要介绍了代数K-理论，将其定位为比拓扑K-理论更基础的代数结构，它通过环上的投射模来衡量一个环的“几何”特性。 应用实例：规范场论的数学基础： 在结语部分，本书展示了以上所有工具（群论、纤维丛、德拉姆上同调）是如何在Yang-Mills理论和Chern-Simons理论中统一应用的，揭示了纯数学结构在描述自然规律中的深刻力量。 目标读者与学习目标： 本书要求读者具备扎实的线性代数和微积分基础，并对近世代数有初步了解。完成本书的学习后，读者将能够：熟练运用群表示理论解决代数问题；独立计算和区分多种拓扑空间的同伦不变量；理解微分几何中曲率的代数表达；并能构建和分析高等代数拓扑中的谱序列。 《群论、环与流形》不仅是一本教材，更是一部旨在引领读者进入现代数学研究前沿的指南。其严谨的论证和丰富的交叉实例，确保了读者能够真正掌握现代数学结构的核心精髓。

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