Glencoe Mathematics Course 2 California Edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co

作者:Barker, Dave (EDT)

出品人:

页数:675

译者:

出版时间:2005-2

价格:$ 104.81

装帧:HRD

isbn号码:9780078703454

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 初中数学
• 加州版
• Glencoe
• Course 2
• 教材
• 练习册
• 美国数学
• 教育
• 学习
• California Edition

深入探索高等数学的奥秘：一本面向未来的数学专著 图书名称： 宏图大展：现代数学原理与应用前沿 作者： [此处留空，或填写虚构的资深数学家姓名] 出版年份： [虚构年份，例如：2024年] --- 内容提要： 《宏图大展：现代数学原理与应用前沿》并非一本旨在重复基础代数或初级微积分概念的教材，而是一部深刻剖析当代数学核心理论及其在尖端科学、工程和数据科学领域中应用的前沿专著。本书的撰写目的，是为已掌握扎实微积分和线性代数基础的读者（包括高年级本科生、研究生及专业研究人员）提供一个全面、深入且富有洞察力的视角，理解支撑现代科技进步的那些复杂而优雅的数学结构。 本书结构宏大，内容涵盖了代数拓扑的直观入门、泛函分析的严谨推导、高维概率论的复杂建模，以及计算代数几何的实用工具箱。我们致力于揭示不同数学分支间的内在联系，强调抽象概念如何转化为解决现实世界难题的强大工具。 第一部分：抽象结构的深化与统一 第一章：范畴论的视角：结构间的桥梁 本章将超越集合论的限制，引入范畴论的基本概念——对象、态射、自然变换。我们将探讨函子如何作为不同数学领域（如拓扑空间到代数结构）之间的“翻译器”。重点讨论了阿贝尔范畴及其在同调代数中的基础作用，并详细分析了Yoneda引理的深刻意义，揭示了对象由其态射完全确定的奇妙性质。本章旨在培养读者用更抽象、更统一的语言来思考数学问题的能力。 第二章：代数拓扑入门：空间的形貌学 不同于传统拓扑学关注连续变化的性质，本章聚焦于通过代数工具来“计算”空间的拓扑不变量。我们将从基本群（Fundamental Group）的计算入手，详细讲解覆盖空间理论，特别是Serre谱序列在计算纤维丛上的同调群时的应用。深入探讨了奇异同调理论的构造，并展示了Mayer-Vietoris序列如何成为分解复杂空间并求解其代数特性的有力工具。我们将通过对Möbius带和实心环的实例分析，阐明代数拓扑如何精确地描述“洞”的数量和类型。 第三章：群论的高级应用：表示论 本章探讨了群作用于向量空间——表示论。我们将侧重于有限群和紧致群的表示。详细介绍了Maschke定理及其在半单性上的推论，并系统阐述了群特征标理论（Character Theory），这是理解复杂对称结构的关键。最后，引入了由Weil构造出发的表示论在量子场论中的初步应用探讨。 第二部分：分析学的深度与广度 第四章：泛函分析的基石：希尔伯特空间与Banach空间 本章是理解无限维空间的关键。我们首先严谨定义了赋范线性空间，并深入分析了希尔伯特空间（完备的内积空间）的结构，重点讲解了Riesz表示定理。随后，转向更一般的Banach空间，探讨了开映射定理、闭图像定理和Hahn-Banach扩张定理这三大支撑定理。本章的难点部分将处理弱收敛和紧算子的性质，这些概念是微分方程理论中不可或缺的工具。 第五章：测度论与勒贝格积分的精炼 本书不满足于黎曼积分的局限性。本章将提供勒贝格测度构造的完整论证，并详细区分可测函数、可积函数的空间$L^p$的性质。重点在于Fubini定理的严谨应用，它在多重积分和概率论中的地位至关重要。此外，本章会讨论Radon-Nikodym定理，这是现代概率论和统计推断的理论核心。 第六章：调和分析：从傅里叶到小波 超越简单的傅里叶级数展开，本章探讨了局部紧阿贝尔群上的调和分析。我们将深入研究傅里叶变换在$mathbb{R}^n$上的性质，并引入了Hardy空间和BMO空间（有界平均振动空间）的概念，它们在偏微分方程的解的正则性研究中发挥作用。最后，本章将对小波分析进行概述，解释其在信号处理中超越傅里叶方法的优势，特别是多分辨分析的框架。 第三部分：现代应用与计算 第七章：高维概率论与随机过程的复杂建模 本章基于测度论基础，构建了概率空间的严谨框架。我们将重点分析马尔可夫链的遍历性理论，并深入研究鞅（Martingales）的概念及其收敛定理，这是金融数学和随机控制理论的核心。通过分析布朗运动的二次变差和伊藤积分的构造，为读者理解随机微分方程（SDEs）打下坚实基础。 第八章：微分几何与张量分析 本章将流形的概念从欧几里得空间推广到更抽象的拓扑空间。我们定义了光滑流形、切空间和张量场。详细讲解了外微分的形式体系，并推导了著名的Stokes定理在微分形式上的推广，该定理统一了微积分中的基本定理。本章的最终目标是为理解广义相对论和现代几何物理提供必要的数学语言。 第九章：计算代数几何导论 面向实际应用，本章介绍了代数簇（Algebraic Varieties）的概念，并通过Gröbner基理论来求解多项式方程组。我们将探讨Buchberger算法的构造，并解释如何利用Gröbner基来判断理想的成员性、计算零维理想的维度。本章还将简要介绍该技术在密码学和机器人运动规划中的应用。 结语：数学的未来方向 本书最后将对数学研究的前沿领域进行展望，包括数论的未解难题（如黎曼猜想的现代研究进展）、复杂系统中的非线性动力学建模，以及新兴的量子信息理论中的数学结构。 本书特色： 1. 深度与广度并重： 涵盖了从代数到分析，再到几何和计算的多个高阶领域，构建了一个完整的现代数学知识图谱。 2. 严谨的逻辑链条： 每一章都建立在前一章的理论基础之上，确保了数学推导的连贯性和一致性。 3. 面向研究的视角： 书中包含了大量被认为是高级研究工具的核心定理和概念，而非仅限于标准课程的内容。 本书适合渴望超越基础数学框架，希望在理论研究或高新技术领域实现突破的读者。它要求读者具备坚韧的思维和对抽象概念的强烈求知欲。

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