Introduction to Group Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:European Mathematical Society

作者:Oleg Bogopolski

出品人:

页数:187

译者:

出版时间:2008-3-15

价格:USD 48.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783037190418

丛书系列:EMS Textbooks in Mathematics

图书标签:

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《群论导引》 本书旨在为读者提供一个关于群论核心概念的全面而严谨的介绍。群论作为抽象代数的一个分支，研究的是“群”这一代数结构的性质。群的概念以其简洁而强大的形式，渗透到数学的各个领域，并在物理学、化学、密码学以及计算机科学等众多学科中扮演着至关重要的角色。 本书的编写遵循循序渐进的原则，从最基础的定义和性质出发，逐步深入到更高级的理论和应用。我们相信，通过清晰的阐述、大量的例子以及精心设计的练习题，读者将能够掌握群论的精髓，并为进一步的学习打下坚实的基础。 第一章 绪论：群的概念 本章将引入群的正式定义，包括集合、二元运算、封闭性、结合律、单位元以及逆元的性质。我们将通过一系列具体的例子来阐释群的概念，例如整数加法群、非零实数乘法群、置换群以及对称群等。这些例子将帮助读者直观地理解抽象的群定义，并体会到群在不同数学对象中所扮演的角色。此外，本章还将介绍子群的概念，并探讨子群的一些基本性质。 第二章 群的同态与同构 在理解了群的基本结构之后，本章将聚焦于群之间的映射关系，即同态和同构。我们将定义群同态，并探讨同态映射所保持的性质。在此基础上，我们将引入群同构的概念，并阐明同构群在本质上是相同的。同态与同构是理解不同群之间联系的关键工具，它们能够帮助我们将复杂的群结构映射到更易于理解的结构上，从而简化问题。本章还将介绍核（Kernel）和像（Image）的概念，并探讨它们与同态映射之间的深刻联系。 第三章 有限群的结构 对于有限群，存在着许多深刻的结构性定理。本章将重点介绍这些定理，包括拉格朗日定理及其推论，例如西罗定理。拉格朗日定理是有限群论的基石，它指出子群的阶一定整除群的阶。西罗定理则为有限群的子群结构提供了更精细的信息，它们在判断有限群是否为简单群以及分类有限群方面具有重要意义。我们将通过大量的例子来展示这些定理的应用，帮助读者理解有限群的丰富结构。 第四章 循环群与模算术 循环群是一类非常特殊的群，它们的每一个元素都可以由一个生成元通过群运算产生。本章将深入研究循环群的性质，包括其子群结构以及与整数环之间的密切关系。我们将详细介绍模算术，并将其作为循环群的一个重要实例进行分析。模算术在密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。本章还将探讨有限阿贝尔群的基本定理，它揭示了有限阿贝尔群的结构与其生成元之间的关系。 第五章 正规子群与商群 本章将进一步深化对子群的理解，引入正规子群的概念。正规子群是其陪集与自身相等的子群，它们在群的分解中扮演着关键角色。我们将证明正规子群的存在性是构造商群的前提。商群（或因子群）的构造能够将一个群“压缩”成一个更小的群，从而揭示原群的某些内在结构。本章将详细阐述商群的定义、运算规则以及与原群同态的关系。 第六章 群的作用 群的作用（Group Action）是研究群如何“作用”于一个集合的强大工具。本章将介绍群作用的定义，并探讨轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的概念。群作用将群论与集合论紧密结合，它能够帮助我们理解群的对称性，并提供解决组合数学和图论问题的有效方法。本章还将介绍凯莱定理，它表明每个有限群都同构于一个置换群，从而提供了一个统一的视角来研究所有有限群。 第七章 直积 本章将介绍直积（Direct Product）的概念，包括内直积和外直积。直积允许我们将一个群分解成若干个更小的群的组合，这为理解复杂群的结构提供了一种有效途径。我们将探讨直积群的性质，并研究如何利用直积来构造新的群。 第八章 可解群与幂零群 可解群（Solvable Group）和幂零群（Nilpotent Group）是群论中对群结构进行进一步分类的两种重要概念。本章将定义可解群，并阐述其与换位子子群（Commutator Subgroup）之间的关系。幂零群是可解群的一个更强的概念，它们的结构更加“集中”。我们将探讨这些群类的性质，并介绍一些相关的判定准则。 第九章 群论的应用简介 在本书的最后，我们将简要介绍群论在各个领域的应用。这包括但不限于： 物理学： 群论在粒子物理学、晶体学和量子力学中至关重要，用于描述对称性及其对物理系统的影响。 化学： 分子对称性可以用群论来分析，这对于理解分子的光谱性质和反应活性至关重要。 密码学： 有限域上的群在公钥密码系统中发挥着核心作用，例如椭圆曲线密码学。 组合学： 群作用为解决计数问题和组合设计问题提供了有力的工具。 计算机科学： 群论在算法分析、编码理论以及模式识别等领域有应用。 通过这些简介，读者可以对群论的实际意义和广泛应用有一个初步的认识，并激发进一步探索的兴趣。 学习目标 通过学习本书，读者将能够： 掌握群、子群、陪集等基本概念。 理解群同态与同构的定义及其重要性。 熟练运用拉格朗日定理、西罗定理等有限群论的基本定理。 深刻理解循环群的结构及其与模算术的联系。 构造和理解正规子群与商群。 掌握群作用的定义及其在解决问题中的应用。 了解直积、可解群、幂零群等高级概念。 初步认识群论在不同学科领域的应用。 本书适合数学、物理、计算机科学等专业的本科生以及对抽象代数感兴趣的初学者。我们鼓励读者积极思考，勤于练习，相信通过本书的学习，您将能够掌握群论的精妙之处，并为其未来的学术研究或职业生涯打下坚实的基础。

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这本书的写作风格简直是教科书中的一股清流，它没有那种高高在上、拒人于千里之外的学院派腔调，反而充满了引导者般的耐心和幽默感。作者似乎非常清楚初学者在面对抽象概念时会产生的困惑点，因此，他们总是在抛出一个新的定义或定理之后，立刻紧随其后地给出几个精心挑选的、由浅入深的例子。这些例子绝非那种套路化的、一眼就能看穿的简单应用，而是巧妙地穿插了生活中的类比和历史背景的介绍，这使得原本冰冷的数学逻辑瞬间鲜活了起来。阅读过程中，我经常会因为某个巧妙的比喻而会心一笑，这种情感上的共鸣，远比死记硬背公式来得有效。作者在阐述复杂证明时，会采用一种“搭积木”的渐进方式，每一步推理都交代得极其详尽，仿佛生怕读者漏掉任何一个微小的逻辑跳跃。读完一章，我总有一种被清晰地、耐心地带着走过迷宫的感觉，而不是被扔进了一个充满陷阱的森林里自生自灭。

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我必须说，这本书在处理不同层次的读者方面展现出了惊人的适应性。对于已经有一定基础的读者，那些在章节末尾精心设置的“拓展阅读”和“高级专题”部分，提供了足够深入和前沿的讨论，让我能够迅速将已学知识与当前的研究热点建立联系。那些挑战性的习题，设计得既富有启发性又不至于令人望而却步，它们往往指向了理论中的关键转折点。然而，对于数学背景相对薄弱的读者，书的前半部分对基础代数和集合论的温和回顾，确保了他们能够顺利跟上主线。我尤其欣赏作者在引入新符号系统时的严谨性，他们总会先用清晰的自然语言解释其背后的直觉意义，然后再给出正式的数学表达，这种双重保险的设计，极大地降低了初学者的心理门槛。这本书的处理方式，像是一个经验丰富的向导，他能同时照顾到那些急于攀登高峰的探险者，以及那些需要稳扎稳打巩固地基的建设者，真正做到了普适性与专业性的完美结合。

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这本书的排版和印刷质量简直是一场视觉盛宴，纸张的触感温润而厚实，即便是长时间阅读也不会让人感到疲劳。装帧设计简洁而不失格调，封面那种略带磨砂质感的处理，每一次翻阅都像是在进行一场仪式。内页的字体选择非常考究，行距和字号的搭配拿捏得恰到好处，使得复杂的数学符号和定理在视觉上得到了极好的平衡，不至于让人在试图理解深奥概念时，又被糟糕的排版分散了注意力。不得不提的是，书中的插图和图示部分，那些几何图形的描绘清晰锐利，色彩运用得非常克制而有效，它们不仅仅是装饰，更是理解抽象概念的有力辅助工具。作者对细节的执着，从每一个章节标题的细微样式到页边距的精确控制，都体现出一种对手工质感的尊重。我甚至会花时间去欣赏那些页码和页眉的处理方式，它们的设计感强烈，与整体的学术氛围完美融合，让这本书不仅仅是一本学习资料，更像是一件可以珍藏的工艺品。这种对物理形态的极致追求，极大地提升了阅读体验，让人愿意放下电子设备，重新享受捧读纸质书的乐趣。

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这本书的结构组织逻辑堪称教科书编排的典范。它的章节安排并非是简单的知识点堆砌，而是一条清晰、有机的知识链条。从最基础的群的定义和基本性质开始，过渡到同态、同构这些核心概念，然后水到渠成地引出了商群和第一同构定理。整个叙事线索非常流畅，每个后续章节的内容都自然而然地建立在前一章的基石之上，阅读时几乎没有出现“我怎么会到这里来的”的迷茫感。作者在过渡段的处理上极为高明，他们擅长用一段精炼的文字总结前一节的核心收获，并预告下一节将要解决的问题，这种前瞻性的引导，有效地保持了读者的专注度和求知欲。这种精心设计的章节脉络，使得学习者能够清晰地看到整个理论体系是如何一步步构建起来的，而不是仅仅掌握了一堆孤立的知识点。这种全局观的建立，对于理解任何数学分支的精髓都是至关重要的。

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这本书的价值远超其作为一本教材的职能，它更像是一份数学思维的训练手册。我发现，即便是那些看似简单的定理证明，作者在呈现时也巧妙地植入了解决问题的通用策略。例如，在证明某个性质时，作者会不经意地展示出如何进行构造性证明，或者如何运用反证法来排除冗余的可能性。这些隐藏在具体案例中的“元知识”——关于如何思考数学问题的范式——才是这本书最宝贵的部分。我做完习题后，常常不是仅仅对比答案对错，而是回顾作者在书中是如何组织类似的论证的。这种对“如何思考”的潜移默化影响，远比记住“什么”更重要。它训练的不是记忆力，而是逻辑的穿透力和结构的洞察力。读完这本书，我感觉自己的思维方式被重新校准过，看待问题时，下意识地开始寻找其内在的对称性和不变性，这才是真正掌握了一门学科的标志。

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