群论习题精解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:马中骐

出品人:

页数:368

译者:

出版时间:2005-4

价格:35.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030103901

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《代数结构探索：从群到环的旅程》 本书旨在带领读者深入理解抽象代数的核心概念，特别是群论及其向更广阔代数结构的自然延伸。我们将从基础出发，逐步构建严谨的理论体系，并辅以大量的实例和练习，帮助读者建立直观的理解和扎实的解题能力。 第一部分：群的奥秘——对称性的基石 本部分将全面阐述群的定义、基本性质以及与之相关的各种重要概念。 群的定义与基本性质： 我们将严格定义什么是群，即一个集合加上一个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元存在性以及逆元存在性。通过分析这些性质，读者将初步体会到群作为一种抽象代数结构的严谨性。我们将探讨单位元和逆元的唯一性，并介绍子群的概念，理解如何在较大的群中发现较小的、自身也构成群的结构。 子群与生成元： 子群是群论中的一个基础但至关重要的概念。本书将深入探讨子群的性质，以及如何判断一个子群是否为给定群的子群。我们将重点介绍生成元，理解一个群可以由少数组元素生成，以及生成元的最小性对于刻画群结构的重要性。 循环群： 循环群是群论中最简单也最重要的一类群。我们将详细介绍循环群的定义、结构特点，以及有限循环群和无限循环群的性质。通过对循环群的深入分析，读者将为理解更复杂的群结构打下坚实基础。 陪集与拉格朗日定理： 陪集是研究有限群结构的重要工具。我们将清晰地定义左陪集和右陪集，并探讨它们的性质。拉格朗日定理是有限群论中的一个基石性定理，它揭示了子群阶与群阶之间的深刻联系。本书将详细证明这一定理，并通过丰富的例子展示其在解决群论问题中的强大应用。 正规子群与商群： 正规子群是定义商群的前提。我们将深入理解正规子群的定义及其等价刻画，并分析如何判断一个子群是否为正规子群。在此基础上，我们将构造商群，理解商群如何通过“同一个”元素构成等价类来“简化”原群的结构。商群的引入是理解群同态定理的关键。 群同态与群同构： 同态是保持代数结构的映射，它允许我们在不同群之间建立联系。本书将详细定义群同态，并探讨其基本性质，例如同态像和同态核。同构则是一种特殊的同态，它意味着两个群在代数结构上是完全等价的。我们将通过大量例子来辨析同态与同构的区别与联系。 群同态定理（第一、第二、第三同构定理）： 这些定理是抽象代数中最精妙、最有力的工具之一，它们精确地描述了群同态、子群、正规子群以及商群之间的内在关系。本书将清晰地阐述每一个同构定理，并提供多种解题思路和技巧，帮助读者熟练运用这些定理解决各类抽象代数问题。 置换群与对称群： 置换群是研究排列的群，在组合数学和计算机科学中有广泛应用。我们将介绍置换的定义、运算规则，以及置换群的性质。对称群是描述几何图形对称性的重要工具，我们将通过实例展示对称群的构造及其在几何学中的应用。 有限生成阿贝尔群的基本定理： 阿贝尔群是交换律成立的特殊群。本书将引入有限生成阿贝尔群的基本定理，该定理揭示了这类群的结构具有一种“分解”性质，可以唯一地表示为循环群的直积。这将帮助读者理解更复杂阿贝尔群的内在结构。 第二部分：超越群——环与域的初步探索 在掌握了群论的精髓之后，我们将视野扩展到更丰富的代数结构。 环的定义与基本性质： 环是比群更复杂的代数结构，它包含两个二元运算（通常是加法和乘法），并满足一系列特定的公理。本书将严格定义环，并介绍其基本性质，如零因子、整环、域等概念。 理想与商环： 理想是环中与正规子群在群论中地位相类似的结构，是构造商环的关键。我们将定义左理想、右理想和双边理想，并探讨它们的性质。在此基础上，我们将学习如何构造商环，理解商环如何在“模去”一个理想后展现出新的代数特性。 环同态与环同构： 类似于群同态，环同态保持环的两个运算结构。我们将定义环同态，并探讨其性质。环同构则意味着两个环在代数结构上是等价的。 域的定义与性质： 域是特殊的环，其非零元素在乘法下构成一个阿贝尔群。域是线性代数和伽罗瓦理论的基础。本书将定义域，并介绍其关键性质，如域的子域、域的扩张等。 多项式环： 多项式环是代数中一个非常重要且常见的环。我们将学习多项式的定义、运算规则，以及多项式环的性质，例如多项式环的唯一因子分解性质（在一定条件下）。 贯穿全书的特色： 精选典型例题： 我们将选取大量来自不同领域的经典例题，这些例题不仅覆盖了各个知识点，更体现了理论知识在实际问题中的应用。 详细的解题步骤与思路： 对于每一道例题，我们都将提供清晰、详尽的解题步骤，并分析解决该问题所运用的核心思想和技巧，帮助读者掌握解决问题的“方法论”。 概念辨析与易错点提醒： 在讲解过程中，我们会特别注意辨析易混淆的概念，并指出常见的解题误区，帮助读者规避不必要的错误，建立更牢固的知识体系。 循序渐进的学习路径： 本书的设计遵循从易到难、由浅入深的原则，确保读者能够逐步建立起对抽象代数知识的完整理解。 无论您是数学专业的学生，还是对抽象数学充满好奇的探索者，本书都将是您深入理解代数结构，特别是群论的理想读物。通过本书的学习，您将能够更好地理解数学的严谨性与美妙性，并为进一步学习更高级的数学分支打下坚实的基础。

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这本《代数几何导论》绝对是初学者入门的宝典。我拿着它摸索了很久，终于对抽象的代数结构有了一个更直观的认识。作者的叙述方式非常清晰，把那些看似深奥的概念，比如簇、向量丛，都用深入浅出的例子串联起来。尤其值得称赞的是，书中对经典代数几何和现代代数几何的桥接处理得非常巧妙。它不像有些教材那样上来就堆砌复杂的定义和定理，而是循序渐进，每一步推导都留有足够的思考空间。读完第一章，我就感觉自己的数学视野被拓宽了，那种“原来如此”的顿悟感贯穿了整个阅读过程。对于那些想转入更高深领域学习的同学来说，这本书无疑是打地基的最佳选择，它不仅教会你怎么计算，更重要的是教会你如何去“思考”几何问题，那种逻辑的严谨性和几何的直观性结合得天衣无缝。

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关于《矩阵分析与应用》这本书，我想说的是，它彻底颠覆了我对矩阵运算的刻板印象。我过去总觉得矩阵就是解线性方程组的工具，但这本书展示了矩阵背后隐藏的丰富几何结构和强大的分析潜力。作者对特征值、特征向量、奇异值分解（SVD）的阐述达到了前所未有的深度。特别是关于矩阵的摄动理论那部分，写得极其透彻，清晰地解释了为什么在数值计算中微小的输入误差会导致巨大的输出偏差。书中穿插的大量实际应用案例，比如主成分分析（PCA）在数据降维中的应用，以及矩阵函数的计算方法，都极大地增强了我的学习兴趣。它不仅仅是一本关于计算技巧的书，更是一本关于如何从不同的角度去“理解”矩阵的思维导引。这本书的排版和图示也非常精美，有助于复杂概念的可视化理解。

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《偏微分方程的变分法》这本书，简直是工程和物理背景的同学的救星。我之前在处理一些复杂的物理模型时，常常因为理论基础不够扎实而卡壳，这本书彻底解决了我的困扰。它没有像纯粹的分析类书籍那样把重点放在无穷维空间上的泛函分析的艰深理论，而是紧密围绕着泊松方程、波动方程这些实际问题展开。书中对能量泛函的构造、黎宾泛函的极值点的求解，每一步都配有详尽的物理背景解释，让人知道为什么要在数学上做这样的操作。我尤其欣赏作者在处理Sobolev空间时的那种务实态度，直接给出需要的性质，然后立刻投入到实际的正则性估计中去。对于想快速将理论应用于数值模拟或实际控制的读者来说，这本书的效率是无与伦比的，它是一座连接纯数学与应用科学的坚实桥梁。

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我最近在研读《概率论与随机过程》这本巨著，发现它在处理随机现象的严谨性上达到了一个新的高度。这本书的起点非常高，直接从测度论的基础开始构建概率空间，对于希望深入理解大数定律和中心极限定理背后的真正数学原理的读者来说，是无可替代的资源。作者对鞅论的介绍尤其精彩，它将条件期望的概念提升到了一个全新的高度，并成功地将其应用于金融数学中的定价模型分析。书中大量的例子，如布朗运动的性质、马尔可夫链的遍历性，都经过了精心的挑选和严密的论证，既保证了数学的纯粹性，又兼顾了应用的前沿性。我花了很大精力去理解随机积分的定义，这本书的讲解是目前我见过最接近专业研究水平的入门教材之一，它要求读者具备扎实的实分析功底，但一旦掌握，你对随机世界的洞察力将得到质的飞跃。

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翻开《拓扑学基础》这本书，我立刻被它那严谨而优美的数学语言所吸引。这本书对于点集拓扑的讨论达到了教科书级别的深度，每一个定义、每一个引理都经过了千锤百炼。我特别喜欢它在引入同伦群和基本群时所采用的对比分析方法。作者没有急于展示复杂的计算，而是先用直观的例子（比如圆盘和圆环）来建立读者的直觉，然后再用严格的范畴论语言来形式化这些概念。这本书的习题设计也极其用心，不同于那些纯粹考计算的练习，这里的很多问题更侧重于对概念的深刻理解和证明技巧的掌握。我花了近一个月的时间才啃完第三章关于紧致性和连通性的部分，收获之大，难以言表。它对后续学习微分几何和代数拓扑的支撑作用是无可替代的，绝对是数学系高年级学生案头必备的经典之作。

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