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出版者:Springer

作者:J.L. Doob

出品人:

页数:228

译者:

出版时间:1993-12-17

价格:USD 79.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387940557

丛书系列:

图书标签:

• Mathematics
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• 理论基础

《测度论》 引言 数学的宏伟殿堂中，抽象与严谨并存，概念的深度与广度交织。在这片知识的沃土上，《测度论》如同一位沉默而深邃的向导，引领我们探索集合、函数以及度量它们大小的本质。《测度论》并非一本易于掌握的教材，它对数学基础有着较高的要求，深入理解其内容需要耐心、毅力和对抽象概念的深刻洞察。然而，一旦掌握了它所揭示的原理，我们将打开一扇通往更广阔数学领域的大门，深刻理解现代分析学、概率论、拓扑学乃至物理学等诸多分支的基石。 本书旨在系统地介绍测度论的核心概念、基本理论和重要工具。我们将从最基础的集合论概念出发，逐步引入可测集合、可测函数以及最重要的测度概念。理解了这些基本元素，我们便能进入更深层次的理论探讨，包括积分理论的革新、收敛定理的强大应用，以及勒贝格积分的精妙之处。此外，本书还将触及一些更高级的主题，如 Radon-Nikodym定理，它在概率论和统计推断中扮演着至关重要的角色，以及 $L^p$ 空间，这些空间是函数分析的核心研究对象，在微分方程、傅里叶分析等领域有着广泛的应用。 《测度论》的价值在于它为我们提供了一种全新的、更普适的“测量”世界的方式。传统的长度、面积、体积等概念在低维欧几里得空间中直观易懂，但当我们将目光投向更复杂的集合，或者在抽象的空间中进行研究时，这些直观的度量方法便显得捉襟见肘。测度论提供了一个统一的框架，使得我们可以严谨地定义和计算各种集合的“大小”，无论这些集合多么复杂，无论它们存在于何种空间。 本书的章节安排遵循逻辑递进的原则，力求从浅入深，循序渐进。我们不会回避抽象的定义和严谨的证明，因为正是这些构成了数学的坚实基础。然而，我们也会穿插大量的例子和应用，以期帮助读者更好地理解抽象概念背后的直观意义，并体会测度论在解决实际问题中的强大力量。 第一章：集合论基础与可测集 在踏上测度论的旅程之前，我们必须回顾并巩固一些基本的集合论概念。集合是数学中最基本的研究对象，而我们对集合的理解，将直接影响到我们后续对测度概念的把握。《测度论》的起点，便是对集合的代数运算，如并集、交集、差集、补集等进行梳理。在此基础上，我们将引入可数集与不可数集的概念，这是理解测度概念的先决条件。特别是对可数集的理解，将贯穿本书始终。 接下来，我们将引入“可测集”这一核心概念。这并非一个简单的集合，而是在特定“σ-代数”下定义的集合。σ-代数是一族特殊的集合，它对集合的运算具有一定的封闭性，并且满足特定的公理。σ-代数的引入，是为了确保我们能够为我们感兴趣的集合赋予一个确定的“大小”或“度量”。例如，在实数轴上，我们可能只关心区间这样的“好”集合，而 σ-代数则提供了一种精确定义“可测集”的方式，使得我们可以在此基础上定义测度。我们将详细探讨 Borel σ-代数，它是实数空间中一个非常重要的可测集族，涵盖了我们日常遇到的绝大多数集合。 第二章：测度及其性质 测度，顾名思义，就是度量一个集合“大小”的工具。它是一种函数，将可测集映射到一个非负实数，并满足一系列严格的公理。这些公理包括非负性、可数可加性以及零集的度量为零。可数可加性是测度的核心特征，它意味着对于一列互不相交的可测集，它们的并集的测度等于它们各自测度之和。这一性质与我们直观理解的“大小”概念高度一致，但其严谨的数学定义使得它能够适用于更广泛的情境。 本书将介绍几种重要的测度。最经典的莫过于 Lebesgue 测度，它是实数轴上长度、平面上面积、三维空间中体积的自然推广。理解 Lebesgue 测度的构造和性质，是掌握测度论的关键一步。此外，我们还将探讨一些其他的测度，例如概率测度，它在概率论中扮演着核心角色，以及离散测度等。 测度本身具有许多重要的性质，例如单调性、次可加性、连续性等。这些性质在证明各种定理时会发挥重要作用。例如，测度的连续性性质，允许我们在考虑无穷序列的集合时，通过极限的方式来计算它们的测度。 第三章：可测函数 测度论不仅仅是关于集合的，更是关于在这些集合上定义的函数的。可测函数是测度论中的“桥梁”，它将我们从集合的度量引入到函数的度量。一个函数被称为可测函数，意味着对于它的值域中的每一个“可测集”，其原像也是一个可测集。这个定义看起来有些抽象，但其直观意义在于，它保证了我们可以对可测函数的“大小”进行度量，并且能够以某种意义上“良好”的方式处理这些函数。 我们将从最简单的函数类型开始，例如阶梯函数和简单函数，它们是定义更复杂可测函数的基石。在此基础上，我们将介绍勒贝格积分的定义。勒贝格积分是对黎曼积分的重大发展，它能够处理更广泛的函数，并且具有更优越的收敛性质。勒贝格积分的引入，是测度论最激动人心的应用之一，它深刻地改变了数学分析的面貌。 第四章：勒贝格积分 勒贝格积分是测度论的核心应用之一，也是现代数学分析的基石。与传统的黎曼积分不同，勒贝格积分是通过将函数的“值域”进行分割，然后累加每个值域上的“测度”来实现的。这种视角上的转变，使得勒贝格积分能够克服黎曼积分的局限性，处理不连续函数、甚至“病态”函数的积分。 本书将详细阐述勒贝格积分的构造过程，从简单函数的积分出发，逐步推广到非负可测函数的积分，最终推广到一般的可测函数的积分。我们将深入探讨勒贝格积分的线性性质、保号性以及积分的各种收敛定理。 第五章：收敛定理 收敛定理是勒贝格积分的“发动机”。它们描述了函数序列何时以及如何收敛到其积分的极限。这些定理的强大之处在于，它们允许我们在不直接计算积分的情况下，推断出积分的性质。 我们将重点介绍几个至关重要的收敛定理： 单调收敛定理 (Monotone Convergence Theorem): 当一个单调递增的可测函数序列收敛时，其积分的极限等于积分的极限。 Fatou 引理 (Fatou's Lemma): 对于一个非负可测函数序列，其积分的下极限小于或等于其极限的积分。 控制收敛定理 (Dominated Convergence Theorem): 当一个可测函数序列被一个可积函数“控制”时，它的积分的极限等于极限的积分。 这些收敛定理在数学分析、概率论以及其他许多领域都有着极其广泛和深刻的应用。它们是证明许多重要结果的有力工具。 第六章：Lp 空间 $L^p$ 空间是函数分析中一个极其重要的概念，它们是满足一定积分条件的函数的集合。对于一个给定的 $p ge 1$， $L^p$ 空间中的函数 $f$ 满足 $int |f|^p dmu < infty$，其中 $mu$ 是一个测度。当 $p = infty$ 时，$L^infty$ 空间中的函数 $f$ 满足其本质上界有限。 $L^p$ 空间具有良好的代数和拓扑性质，它们是许多数学理论的“研究场所”。例如，在泛函分析中，$L^p$ 空间是典型的巴拿赫空间（Banach space），它们为研究算子理论、逼近理论等提供了基础。本书将介绍 $L^p$ 空间的范数定义、完备性以及它们之间的关系。 第七章： Radon-Nikodym 定理 Radon-Nikodym 定理是测度论中一个具有里程碑意义的定理。它提供了一种将一个测度分解为另一个测度的“密度”的方式。具体来说，如果测度 $ u$ 在测度 $mu$ 下是“绝对连续”的（即 $mu(A) = 0$ 时必有 $ u(A) = 0$），那么存在一个非负的可测函数 $f$，使得 $ u(A) = int_A f dmu$ 对于所有可测集 $A$ 成立。这个函数 $f$ 被称为 $ u$ 相对于 $mu$ 的 Radon-Nikodym 导数。 Radon-Nikodym 定理在概率论中有着至关重要的应用。例如，它可以用来定义条件期望，这是统计推断和随机过程理论中的核心概念。此外，它在微分几何、物理学等领域也有着重要的理论意义。 结论 《测度论》是一门既抽象又充满力量的学科。它为我们提供了理解和量化“无限”和“复杂”的工具，打开了通往现代数学深刻洞察的大门。通过对集合、测度、可测函数和积分的深入研究，我们不仅能够解决数学分析中的许多难题，更能为概率论、泛函分析、微分方程等领域奠定坚实的基础。掌握测度论，意味着掌握了一种全新的、更强大的数学思维方式，一种能够精确描述和分析各种复杂现象的语言。本书希望能够成为读者在这段探索旅程中的可靠伙伴，引导大家领略测度论的精妙与博大。

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作为一本侧重于概率论与随机过程的书籍，它最大的特点在于其对“不确定性”的深刻哲学思考。很多概率论书籍仅仅将随机性视为一个计算工具，但在本书中，作者将随机性提升到了一个本体论的层面进行探讨。从马尔可夫过程的遍历性到布朗运动的路径积分，作者都保持着一种对随机现象内在规律的敬畏感。我特别喜欢它在处理信息论与统计推断交叉领域时的论述，那种将信息熵与概率分布的形态紧密联系起来的方式，极具启发性。书中的证明过程清晰且富有美感，作者似乎总能在最复杂的情况下找到那条最简洁的逻辑路径。它不像一本纯粹的数学教材，更像是一部关于“变化与无常”的数学史诗。对于任何想要在金融工程、复杂系统建模或现代统计学中寻求突破的人来说，这本书提供了一套坚实且富有洞察力的基础，远超出了普通“应用”的范畴。

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这本关于代数拓扑的书籍，彻底颠覆了我对“连接性”这一概念的传统认知。在我以往的学习中，代数工具的应用往往显得有些机械和刻板，更多地是将拓扑空间硬生生地“翻译”成群或环，而忽略了中间过程的美感。然而，这本书的叙事方式完全不同。它仿佛是一位经验丰富的向导，带领我们穿梭于各种抽象结构之间，每一步的映射和同态都伴随着深刻的几何直觉解释。作者对奇异同调理论的阐述尤为精彩，那种将代数复杂性转化为可操作的几何工具的能力，令人叹服。我花了大量时间去钻研其中关于纤维丛的部分，那些章节简直是数学思维的盛宴，不仅展示了如何用代数方法解决拓扑问题，更揭示了两者之间内在的、深刻的统一性。对于希望跨越代数与几何鸿沟的读者，这本书无疑是一座坚实的桥梁，它要求读者保持开放的心态，去拥抱那种略带“陌生感”的数学美学。

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我必须承认，初次翻开这本关于泛函分析的专著时，我感到了不小的压力。它对基础知识的要求极高，几乎没有为“初学者”预留缓冲地带。然而，一旦你坚持度过了最初的几章，你会发现自己进入了一个极为高效的学习环境。作者的行文风格极其精炼，每一个定理的陈述都直击核心，没有一丝多余的修饰。尤其是在讨论希尔伯特空间上的算子理论时，其深度和广度令人咋舌。许多教科书中只能点到为止的半定性结论，在这里都通过严谨的分析被彻底量化和证明。我尤其欣赏作者在选择例子上的独到眼光，那些精心挑选的例子，总能在最关键的时刻点亮之前混沌的理解。这本书更像是一本“工程师手册”，它提供的是解决实际问题的利器，而不是纯粹的理论冥想。对于那些在应用数学或理论物理领域深耕的人来说，这本书的价值，难以用寻常标准衡量。

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这本书在数论领域的贡献，在于它提供了一个极其严谨且富有洞察力的框架来理解自守形式。以往我对这一领域的研究多停留在古典的分析手法上，对于更现代、更抽象的代数几何视角感到力不从心。然而，这本书的作者成功地将深刻的代数几何思想无缝地融入到对数论问题的探讨中。它的叙事节奏非常稳定，从模空间的基本性质开始，逐步引入伽罗瓦表示和L函数，每一步都像是精心校准的机械装置，精确而有力。最让我震撼的是关于韦伊猜想的某些新近进展的阐述，作者不仅复述了经典证明的脉络，更重要的是，他清晰地指出了其中蕴含的更深层次的代数结构。阅读这本书，就像是获得了一套全新的“解码器”，能够以前所未有的清晰度去解读那些看似晦涩难懂的数论现象。它需要耐心，但回报是巨大的智识飞跃。

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这本书的出版，对于几何学领域无疑是一次振奋人心的事件。我是在一个偶然的机会中接触到它的，当时正在为一个复杂的拓扑学问题寻找新的视角。这本书的切入点非常新颖，它没有过多纠缠于传统的欧几里得空间定义，而是直接深入到更抽象、更具普适性的结构中去探讨空间的本质。作者在构建理论框架时展现出了惊人的洞察力，每一步推导都像是精心编织的艺术品，逻辑严密却又充满了灵动。我特别欣赏它在处理非线性现象时的表现，许多在其他教材中被简单化或忽略的细节，在这里都被挖掘了出来，并给予了详尽的解释。对于那些真正想要深入理解几何学底层逻辑的研究者来说，这本书提供的工具箱是无价的。它不仅仅是知识的堆砌，更像是一场思维的引导，让人能够以全新的方式去审视和构建数学世界。阅读过程中，我常常需要停下来，回味作者是如何将看似不相关的概念巧妙地联系起来的，这种智力上的挑战感，正是阅读一本优秀学术著作所能带来的最大乐趣。

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Very basic. I recommend Conway or Folland's book, since their books also cover something about measure theory and not too much.

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也是经典，粗略扫了下，没有读完

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Very basic. I recommend Conway or Folland's book, since their books also cover something about measure theory and not too much.