Tauberian Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Jacob Korevaar

出品人:

页数:501

译者:

出版时间:2004-07-27

价格:USD 109.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540210580

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 调和分析
• 傅里叶分析
• Tauberian定理
• 逼近论
• 实分析
• 函数空间
• 级数
• 积分变换
• 渐近分析

《数学分析中的奇异点与收敛性研究》 作者： [此处留空，或填写一个虚构的作者姓名] 出版社： [此处留空，或填写一个虚构的出版社名称] 出版年份： [此处留空，或填写一个虚构的年份] --- 内容提要： 本书深入探讨了现代数学分析中一个至关重要且极具挑战性的领域——奇异点理论在非线性积分方程和高阶微分方程解的渐近行为分析中的应用。全书共分八章，以严谨的数学论证和丰富的案例分析为特色，旨在为高等院校的数学专业学生、研究生以及相关领域的研究人员提供一本全面而深入的参考专著。 本书的核心聚焦于如何利用函数空间理论、复分析工具以及特解的构建方法，来精确刻画那些在传统解析方法下难以处理的数学模型中，解的局部性质及其整体收敛性。 --- 第一章：奇异点背景与分析基础回顾 本章首先对数学分析中的“奇异性”概念进行了系统性的梳理，区别于初等微积分中常见的函数不连续点或导数不存在点，本书所关注的奇异点主要指在算子理论框架下，由边界条件、系数函数的退化或方程本身的非线性特性所导致的解的不规则行为点。 回顾了勒贝格积分、测度论在无穷维空间中的初步应用，并引入了Banach空间和Hilbert空间中线性算子谱理论的基础知识，为后续章节处理偏微分方程的特征值问题和积分方程的稳定性分析奠定必要的理论基石。特别强调了Sobolev空间中嵌入定理的局限性，以及在处理微分算子高阶奇异性时，标准光滑性假设为何失效。 第二章：积分方程中的退化核与奇异解 本章专门针对Fredholm积分方程和Volterra积分方程中的特殊情况进行剖析。重点研究了当积分算子的核函数（Kernel）自身包含某种形式的弱奇性（如$frac{1}{|x-y|^{alpha}}$型）时，方程解的性质。 探讨了由Hadamard型奇异积分方程所引发的边界值问题。通过引入Mellin变换和分数阶微积分的视角，推导了方程解在奇异点附近的局部渐近展开式。引入了“重整化”技巧，用于处理积分中的发散项，并给出了在特定条件下解存在的充分必要条件。 第三章：非线性微分方程的爆破解与有限时间奇性 本书将研究重心转向常微分方程（ODE）和部分偏微分方程（PDE）中的时间依赖性。特别关注了具有“正反馈”机制的非线性方程，例如某些反应扩散系统或非线性对流项占主导地位的方程。 详细分析了爆破现象（Blow-up Phenomena）的类型——包括一次爆破、二次爆破以及更复杂的非整次爆破。通过构造上/下解和使用能量泛函方法，确定了爆破发生的时间$T^$。更重要的是，本章首次引入了“拟一致收敛性”的概念，用以描述解在接近$T^$时，其梯度或高阶导数如何趋于无穷，以及如何通过高阶微分算子来“平滑”或“正则化”这些临界行为。 第四章：高阶椭圆型算子的特征值与渐近展开 本章转向空间依赖性，研究涉及高阶导数的椭圆型方程，如双调和方程（Biharmonic Equation）在复杂几何域上的边界值问题。 核心在于处理由于区域边界的尖锐角落或系数不连续性导致的解的角奇性（Corner Singularities）。通过引入应力强度因子（Stress Intensity Factors）的类比概念，利用复变函数中的映射定理，将具有尖角的区域等价映射到扇形区域。随后，应用分离变量法，但重点分析了由特征值问题产生的特解的渐近展开式，特别是当特征值趋于无穷大时，对应特征函数在奇异点附近的局部形态变化。 第五章：数值方法的收敛性分析与奇异点处理 理论分析必须与计算实践相结合。本章专门讨论了在数值求解过程中，如何处理由奇异点引起的误差放大问题。 重点分析了有限元方法（FEM）和有限差分方法（FDM）在网格细化不足以捕获奇异点附近高梯度区域时的失真收敛性。提出了“奇异适应性网格细化（Singularity-Adapted Mesh Refinement, SAMR）”的理论框架，并证明了当网格细化率与奇异指数精确匹配时，算法的全局误差可以从次优（如$O(h)$）提升到最优（如$O(h^2)$）。 第六章：半群理论与奇异扰动 本章利用半群理论（Semigroup Theory）处理演化方程（Evolution Equations）中的奇异扰动问题。考虑形如$epsilon frac{partial u}{partial t} + L_0 u = f$的方程，其中$L_0$是主导算子，而$epsilon$是一个小参数。 重点区分了边界层（Boundary Layer）和内部层（Internal Layer）的形成机制。通过引入快尺度变量（Fast Scale Variables），并利用拉普拉斯算子的谱分解，本章推导出当$epsilon o 0$时，解的多尺度渐近展开式。证明了在特定条件下，解的收敛性可以被分解为“慢变部分”和“快速衰减层”的和，其中层函数的结构直接由零阶算子$L_0$的零空间决定。 第七章：概率方法在奇异随机微分方程中的应用 将分析工具扩展到随机过程领域。研究了在状态空间边界处具有吸收态或无限漂移的随机微分方程（SDEs）。 利用伊藤微积分和鞅论，分析了粒子在遇到特定势垒（即奇异点）时的逃逸概率和停留时间。本章的核心贡献是推导了与奇异性相关的“平均第一通过时间”的精确公式，该公式依赖于扩散算子的梯度在奇异点附近的局部行为。通过连接到具有Dirichlet边界条件的偏微分方程（Fokker-Planck方程），验证了解的局部光滑性如何被随机性引入的噪音所影响。 第八章：高维空间中的奇异性与几何测度论 最后，本书探讨了奇异性理论在更高维度空间（$N ge 3$）中的推广。重点是具有不规则（非光滑）边界的PDE，如Navier-Stokes方程在具有尖锐边缘的容器中的流动问题。 利用几何测度论（Geometric Measure Theory），特别是关于曲率的测量，来量化边界的“非光滑程度”。引入了“积分平均”（Volume Average）的概念来代替传统的逐点极限，并以此为工具，证明了在强湍流模型中，能量耗散率的局部估计依赖于域边界的黎曼曲率张量在奇点处的积分平均值，从而提供了一种在宏观尺度下处理微观奇异性的新视角。 --- 总结： 本书构建了一个从一维到高维、从确定性到随机性的，围绕数学分析中“奇异点”这一核心难题的完整研究框架。它不仅回顾了经典的分析技巧，更重要的是，整合了算子理论、几何分析和数值方法的最新进展，旨在为读者提供应对现代复杂数学模型中解析困难的工具箱。本书对技术细节的深度和广度，使其成为该领域内不可或缺的参考资料。

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