Applications of Calculus (Classroom Resource Materials) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:The Mathematical Association of America

作者:

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:1996-09

价格:USD 45.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780883850855

丛书系列:Classroom Resource Materials

图书标签:

• Calculus
• Applications
• Mathematics
• Education
• Classroom Resources
• Textbook
• STEM
• Higher Education
• Problem Solving
• Mathematical Analysis

好的，这是一份专门为一本名为《微积分应用：课堂资源材料》（Applications of Calculus: Classroom Resource Materials）的书籍撰写的简介，这份简介将专注于描述其他主题，并且确保内容详实、自然流畅，不包含任何关于原始书籍或人工智能生成的信息。 --- 《高级数理分析：基础与范式转移》 概述：探寻现代科学的逻辑基石与计算前沿 《高级数理分析：基础与范式转移》是一本面向高年级本科生和研究生深度研习数理科学核心概念的综合性教材。本书超越了对标准微积分和线性代数运算的机械复述，而是致力于构建一套严谨的理论框架，探讨数学工具在物理、工程、经济乃至信息科学中的深层结构与哲学意义。 本书分为四大核心模块：实分析的严格基础、拓扑学的几何直觉、泛函分析的无限维度，以及应用数学中的数值方法与模型构建。我们旨在引导读者从“如何计算”转向“为什么这样计算有效”，从而培养真正的数学洞察力与解决复杂问题的能力。 --- 第一部分：实分析的严格基础 (The Rigorous Foundation of Real Analysis) 本部分是全书的逻辑起点，旨在巩固读者对极限、收敛性和连续性概念的精确理解，并将其提升到现代数学分析的视角。 1.1 集合论与度量空间概览 本章首先对策论进行必要的复习，重点聚焦于良序原理、选择公理的探讨及其对分析学构造的影响。随后，本书引入度量空间的概念，将其作为泛化欧几里得空间的统一框架。详细分析了开集、闭集、紧集以及完备性的定义及其在函数空间中的体现。特别强调了完备性（如巴拿赫空间）在保证迭代过程收敛性中的关键作用。 1.2 勒贝格测度和积分理论的构建 本书摒弃了传统黎曼积分的局限性，全面深入地介绍了勒贝格测度论。从外测度、可测集族的构造开始，逐步建立勒贝格积分的定义。我们花费大量篇幅讨论了控制收敛定理（Monotone Convergence Theorem, Dominated Convergence Theorem）及其在处理极限和积分交换顺序时的威力。通过实例展示了勒贝格积分在概率论和傅里叶分析中不可替代的优势。 1.3 函数空间与收敛性（Uniform Convergence vs. Pointwise Convergence） 深入探讨了函数序列的收敛性，明确区分了逐点收敛与一致收敛的性质差异。引入了等度连续性的概念，并详述了Ascoli-Arzelà 定理，该定理是函数空间理论中的基石之一。通过对比不同收敛模式对导数和积分操作的影响，加深读者对分析严谨性的理解。 --- 第二部分：拓扑学的几何直觉 (Geometric Intuition in Topology) 拓扑学是研究空间性质在连续形变下保持不变的学科。本部分着重培养读者的几何直觉，同时介绍必要的抽象工具。 2.1 拓扑空间的构造与基本概念 从点集拓扑的角度出发，定义了拓扑空间、基、开/闭集、邻域和连续函数。本章通过大量的例子（如流形上的拓扑、有限集的离散拓扑）来帮助理解抽象定义。重点分析了分离公理（如 Hausdorff 性质）的意义及其对构造连续函数的影响。 2.2 连通性、紧致性与基本群 深入研究拓扑空间的两种重要全局性质：连通性（探讨路径连通性）和紧致性。通过分析紧致集的局部性质如何推导出全局结构，我们展示了这些概念在证明（如极值定理）中的核心作用。随后，引入基本群（Fundamental Group）的概念，作为区分不同拓扑空间（例如圆盘与环面）的代数不变量，为后续的代数拓扑打下基础。 2.3 纤维丛与流形入门 本章将拓扑学应用于更具几何意义的场景。介绍纤维丛的概念，解释如何通过局部坐标系和转移函数来描述全局结构。初步探讨微分流形的拓扑要求，为读者理解广义相对论和现代几何学做好准备。 --- 第三部分：泛函分析的无限维度 (Functional Analysis in Infinite Dimensions) 泛函分析是将分析工具从有限维欧几里得空间推广到函数空间的学科。本部分聚焦于无穷维空间中的线性算子理论。 3.1 赋范线性空间与巴拿赫空间 重新审视范数和内积，推广到赋范线性空间。详细介绍巴拿赫空间（完备的赋范空间）和希尔伯特空间（完备的内积空间）。本章的核心是Hahn-Banach 定理，阐述如何在线性泛函的延拓中保持有界性。 3.2 有界线性算子与谱理论基础 讨论线性算子在无穷维空间中的性质。重点分析有界线性算子的定义、连续性及其对空间结构的影响。引入谱理论的初步概念，解释算子的特征值（或谱点）如何揭示算子在空间上的动态行为。 3.3 算子理论在偏微分方程中的应用 通过研究拉普拉斯算子在特定边界条件下的性质，展示希尔伯特空间理论如何成为处理偏微分方程（PDEs）弱解和正则性理论的有力工具。讨论紧算子和半有界算子在解决物理模型中的实际意义。 --- 第四部分：应用数学中的数值方法与模型构建 (Numerical Methods and Model Construction in Applied Mathematics) 本部分将理论分析与实际计算相结合，探讨如何将抽象的数学工具转化为可操作的算法。 4.1 高维积分的数值近似：蒙特卡洛方法 鉴于高维积分在金融建模和复杂系统中难以解析求解，本章深入探讨蒙特卡洛积分及其变种。详细分析了基本采样、重要性抽样（Importance Sampling）和马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法的收敛率和误差估计。 4.2 优化理论：拉格朗日乘子与对偶性 系统回顾并深化约束优化问题。重点分析KKT 条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）在非线性规划中的应用。随后，详细阐述拉格朗日对偶理论，展示如何通过对偶问题来分析原问题的可行性和最优性，这在机器学习中的支持向量机（SVM）等领域至关重要。 4.3 差分近似与有限元方法简介 对于微分方程的数值求解，本章介绍有限差分法（Finite Difference Method）的稳定性和收敛性分析。更进一步，引入有限元方法（Finite Element Method, FEM）的基本思想，解释如何通过在函数空间上投影问题来获得近似解，这是现代工程模拟的核心技术。 --- 总结与展望 《高级数理分析：基础与范式转移》的最终目标是培养读者将数学作为一种灵活的思维工具的能力，而非仅仅是求解特定问题的公式集。通过严谨的证明、深入的几何洞察以及对现代计算方法的掌握，本书为读者进入高级研究领域或应对复杂行业挑战奠定了坚实而全面的数理基础。全书配备了大量的挑战性习题和深度阅读推荐，旨在激励读者进行自主探索和批判性思考。

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