Introduction to Stochastic Calculus with Applications pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Publishing Company

作者:Fima C. Klebaner

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1999-09-01

价格:USD 53.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781860941290

丛书系列:

图书标签:

数学
英文
教材
Stochastic Calculus
Probability Theory
Mathematical Finance
Brownian Motion
Martingales
Stochastic Differential Equations
Ito Calculus
Financial Modeling
Quantitative Finance
Stochastic Processes

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具体描述

This book provides a concise introduction to stochastic calculus with some of its applications in mathematical finance, engineering and the sciences. Applications in finance include pricing of financial derivatives, such as options on stocks, exotic options and interest rate options. The filtering problem and its solution is presented as an application in engineering. Population models and randomly perturbed equations of physics are given as examples of applications in biology and physics.

Only a basic knowledge of calculus and probability is required for reading the book. The text takes the reader from a fairly low technical level to a sophisticated one gradually. Heuristic arguments are often given before precise results are stated, and many ideas are illustrated by worked-out examples. Exercises are provided at the end of chapters to help to test readers' understanding. This book is suitable for advanced undergraduate students, graduate students as well as research workers and practitioners.

随机过程理论的基石：从基础到高级应用的全面探索本书旨在为读者提供一个深入且全面的随机过程理论的介绍，涵盖了从经典概率论基础到现代随机微积分及其在金融、工程和物理学等多个领域的广泛应用。我们专注于建立坚实的理论框架，并辅以大量的实际案例和计算示例，以确保读者不仅理解概念，更能熟练运用这些工具解决复杂问题。第一部分：概率论与测度论基础的重温与深化本书的起点是为后续的随机过程学习打下坚实的数学基础。我们首先回顾了经典概率论的核心概念，如概率空间、随机变量及其分布，但重点在于向更严格的测度论视角过渡。 1. 概率论的测度论视角：详细阐述了$sigma$-代数、测度（尤其是勒贝格测度）和概率测度的定义。重点分析了可测函数和积分的概念，特别是勒贝格积分的构造及其优越性，这对于理解鞅论中的条件期望至关重要。 2. 随机变量与收敛性：深入探讨了随机变量的各种收敛概念，包括依概率收敛、几乎必然收敛、依分布收敛和 $L^p$ 收敛。通过严格的证明，阐明了这些收敛模式之间的关系，并通过具体的概率模型（如大数定律的各种形式）展示其实际意义。 3. 条件期望与鞅基础：这一部分是通往随机过程理论的桥梁。我们引入了条件期望的测度论定义，并详细讨论了其关键性质，如迭代性、线性性和单调性。基于此，我们构建了鞅 (Martingale) 的定义，包括次鞅和超鞅。通过一系列例子，如随机游走和条件概率的演化，直观地展示了鞅的“公平性”特征。第二部分：经典随机过程的构建与分析在奠定了理论基础后，本书转向分析最核心和最常用的随机过程模型。 4. 泊松过程：泊松过程被视为计数过程的黄金标准。我们从定义出发，探讨了其无记忆性（或称作独立增量和定常增量）的性质。详细分析了泊松过程的性质，包括其与指数分布的关系（通过生存函数和间隔时间的分析），以及复合泊松过程在保险和排队论中的应用。对复合泊松过程的特性和概率分布进行了详尽的推导。 5. 维纳过程（布朗运动）：作为连续时间随机过程的典范，布朗运动的分析占据了重要篇幅。我们严格定义了标准布朗运动，并着重分析了其关键路径性质：连续性、独立增量性、平稳增量性以及二次变差。我们引入了反射原理和辛钦-莱维分解，用以理解布朗运动的极值行为。此外，还讨论了如何构造多维布朗运动和 Ornstein-Uhlenbeck 过程等相关过程。 6. 随机游走与离散时间鞅：离散时间随机过程，特别是随机游走，是理解随机性的入门模型。我们分析了简单对称随机游走，并将其与鞅的概念紧密联系起来。通过Doob 上下限定理和鞅收敛定理，我们推导出随机游走在特定条件下的长期行为和吸收概率。第三部分：随机分析工具箱——随机积分与随机微分方程本书的重点和难点集中在随机分析领域，这是处理连续时间金融和物理模型的关键技术。 7. 伊藤积分的构造：随机微积分的核心在于如何定义一个随机积分，使得积分过程（如 Ito 过程）保持鞅的性质。本书详细解释了为什么传统的黎曼-斯蒂尔切斯积分在处理布朗运动时失效，并系统地构造了伊藤积分 (Itô Integral)。我们从简单函数开始，逐步扩展到一般可测过程，严格证明了伊藤等距性质，并利用它证明了伊藤积分的鞅性。 8. 伊藤引理：伊藤引理是随机微积分中的“微积分基本定理”。我们详细推导了对于不同函数（包括多项式和光滑函数）应用伊藤公式的表达式，并用其计算了诸如 $B_t^2$ 和 $exp(c B_t - frac{1}{2} c^2 t)$ 等过程的微分形式。 9. 随机微分方程 (SDEs)：随机微分方程是描述随机动态系统的主要语言。本书涵盖了 SDE 的基本形式，如几何布朗运动 (GBM) 和 Ornstein-Uhlenbeck 过程。我们不仅展示了这些方程的解析解法（如果存在），还侧重于讨论解的存在性和唯一性定理，特别是 Picard 迭代法在随机环境下的推广。 10. 随机积分的应用：应用随机分析于扩散过程我们将随机分析工具直接应用于重要的物理和工程模型：扩散过程的性质：分析 SDEs 的解作为扩散过程的性质，包括其生成元、转移概率密度函数和无穷小生成元。到达时间与停止时间：深入探讨了停止时间 (Stopping Time) 的概念，并应用任停定理 (Optional Stopping Theorem) 来计算鞅在特定停止时间下的期望值，这在最优控制和交易策略中至关重要。第四部分：随机过程的高级应用本部分将理论与现代应用领域相结合。 11. 随机过程在金融数学中的应用：详细介绍了随机过程在衍生品定价中的核心作用。我们利用 Black-Scholes 模型作为案例，展示了如何利用伊藤公式推导出偏微分方程（Black-Scholes PDE），并讨论了风险中性定价原理在无套利框架下的应用。此外，还涉及了利率模型的随机建模，如 Vasicek 和 CIR 模型。 12. 随机逼近与蒙特卡洛方法：鉴于许多复杂 SDEs 缺乏封闭形式的解，本书介绍了使用随机方法求解的必要性。我们详细阐述了欧拉-玛雅方案 (Euler-Maruyama Scheme) 等数值方法，分析了这些离散化方案的收敛速度和误差估计，为实际模拟提供了严格的理论基础。通过这四个部分，本书旨在培养读者严谨的分析能力和强大的建模直觉，使他们能够自信地应对现代概率论和随机分析领域的挑战。本书的结构平衡了理论的深度和应用的广度，适合作为高等概率论、随机分析或定量金融课程的教材或参考书。

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读后感

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我的随机微积分入门，每一节都很简洁，但是保持了较高的数学逻辑严密性，内容很丰富，包括了最一般的半鞅积分。但是对半鞅积分的论述好像有些逻辑跳跃，而且证明基本只给出个大概思路，我补不上，所以还是选择继续读Protter的《Stochastic Integration and Differential Equati...

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