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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Hillamn, Jonathan

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2002-12

价格:389.00元

装帧:HRD

isbn号码:9789812381545

丛书系列:Series on Knots and Everything

图书标签:

• 纽结
• 代数拓扑
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• 数学
• 代数
• 低维拓扑
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• 表示论

好的，这是一份关于一本名为《代数不变量与拓扑结构》的图书的详细简介，该书内容与《代数不变量与链环》无关。 --- 图书名称：代数不变量与拓扑结构 (Algebraic Invariants and Topology) 作者：[此处可填写虚构作者姓名] 页数：约 600 页 出版年份：[此处可填写虚构年份] 内容简介： 《代数不变量与拓扑结构》是一本深入探讨现代拓扑学基础，特别是代数拓扑学核心概念的专著。本书旨在为读者构建一个坚实的理论框架，理解如何运用代数工具来研究和区分拓扑空间。全书结构严谨，内容翔实，涵盖了从基础概念到前沿研究领域的多个重要分支。 第一部分：拓扑学基础与基本不变量 (Foundations of Topology and Basic Invariants) 本部分首先回顾了点集拓扑学的基本概念，包括拓扑空间、连续映射、紧致性、连通性以及同胚的概念。随后，本书引入了早期代数拓扑学的核心工具：同伦群。 第1章：拓扑空间与连续性 详细阐述了拓扑空间的定义、开闭集、基、分离公理（如 $T_1, T_2$ 等）以及连续映射的性质。重点讨论了紧致性和连通性的拓扑意义及其在构建基本不变量中的作用。 第2章：同伦与基本群 深入介绍了路径、路径连通性以及同伦的概念。核心内容是关于基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的构造、性质、同构性质以及计算方法，特别是针对圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$ 和环面 $T^2$ 等基础空间的计算。书中详细讨论了万有覆盖空间和布劳维尔定理在理解基本群中的关键作用。 第3章：同调理论的引入 (Introduction to Homology Theory) 本章侧重于链复形、边界算子以及同调群的构造。重点讨论了单纯同调（Simplicial Homology）的建立过程，并证明了其对拓扑结构的依赖性仅限于同胚。此外，书中还介绍了奇异同调（Singular Homology）的定义及其与单纯同调的同构关系，为后续的代数方法奠定基础。 第二部分：链复形与高阶不变量 (Chain Complexes and Higher-Order Invariants) 在第一部分建立基础后，第二部分将视角转向更强大的代数工具——同调群，并探究如何利用这些工具来区分更为复杂的拓扑空间。 第4章：链复形与上同调 (Chain Complexes and Cohomology) 本章详述了链复形的具体结构，并引出了同调群的计算。随后，本书转向对上同调理论（Cohomology Theory）的介绍，特别是上链复形、上边界算子以及奇异上同调群 $H^k(X; R)$ 的定义。通过讲解万有系数定理（Universal Coefficient Theorem），阐明了同调群与上同调群之间的深刻联系。 第5章：特定空间的同调与上同调计算 本章通过大量实例演示如何计算关键拓扑空间的同调群。详细分析了球面 $S^n$ 的同调群、球面丛（Sphere Bundles）的性质，以及关于流形（Manifolds）的欧拉示性数（Euler Characteristic）的计算方法及其在不同维度上的意义。书中也探讨了嵌入式同调（Eilenberg-MacLane spaces）的构造。 第6章：拓扑空间间的映射与同调诱导 讨论了连续映射如何诱导出同调群之间的线性映射（即同调映射）。重点分析了这些诱导映射的性质，特别是映射的同伦不变性，以及如何利用其性质来证明两个空间之间不存在连续映射（例如，证明存在非平凡的拉回结构）。 第三部分：同伦与同调的交织 (The Interplay of Homotopy and Homology) 第三部分的核心在于建立同伦理论与同调理论之间的桥梁，并介绍更高级的工具。 第7章：塞尔-黑尔维定理与同调的局域性质 (Serre Spectral Sequence and Local Properties) 本章深入探讨了纤维丛（Fiber Bundles）的同调理论。重点阐述了塞尔-黑尔维谱序列（Serre Spectral Sequence）的构造及其在计算纤维丛同调群中的强大应用。通过分析这些谱序列，读者可以掌握如何处理由较简单空间构建的复杂空间结构。 第8章：对偶性与庞加莱引理 (Duality and Poincaré Duality) 本章是关于流形拓扑中对偶性理论的关键章节。详细介绍了庞加莱对偶定理（Poincaré Duality），它揭示了 $n$ 维流形上 $k$ 维同调群与其 $(n-k)$ 维上同调群之间的对偶关系。书中也简要讨论了库尼思-辛格尔（Künneth Formula）及其在笛卡尔积空间同调计算中的应用。 第9章：微分拓扑的初步接触 (Preliminaries to Differential Topology) 虽然本书主要聚焦于代数工具，本章提供了通往微分拓扑的桥梁。介绍了微分流形、向量场以及流形上的微分形式。通过德拉姆上同调（de Rham Cohomology），展示了代数拓扑不变量与微分几何工具之间的深刻联系，并简要介绍了德拉姆定理。 结论与展望 (Conclusion and Outlook) 全书的最后部分总结了代数不变量在区分、构造和理解拓扑空间中的不可替代的作用。同时，本书也对当前代数拓扑学的前沿研究方向，如稳定同伦理论、高维代数K理论以及非交换几何的初步概念进行了简要的展望，鼓励读者在此基础上进一步探索。 目标读者： 本书适合于数学系高年级本科生、研究生，以及需要深入理解拓扑空间代数结构的数学研究人员。读者应具备扎实的抽象代数（群论、环论）和基础点集拓扑学的知识。本书的深度和广度使其成为代数拓扑学领域的重要参考教材。

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初读这本书的导论部分，我立刻感受到作者在试图构建一个非常宏大且严谨的知识体系。他没有急于抛出那些令人望而生畏的定理，而是花了大量篇幅来铺陈拓扑学中“链环不变量”这一概念的历史演变和核心思想，这对于像我这样并非专业几何拓扑出身的读者来说，提供了极佳的“软着陆”区域。作者的叙事逻辑如同一个技艺精湛的工匠，他先用最基础的元素（比如琼斯多项式、亚历山大不变量的初级解释）搭建起框架，然后逐步引入更复杂的代数结构，比如群论和环论在解析链环等价性问题中的应用。行文风格非常克制，充满了精确的数学语言，但又不失学者应有的洞察力，让人感觉不是在阅读一份枯燥的教科书，而是在跟随一位大师的思路，一步步揭示隐藏在三维空间扭曲背后的深刻代数规律。

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这本书的配图和案例分析，相对于同类专业著作而言，显得略微保守，但也更显实在。它没有采用过多花哨的动态图形或三维建模来辅助理解，而是主要依赖于手绘的、简洁的链环投影图和清晰的代数运算过程。这迫使读者必须依靠自己的空间想象力去重构那些复杂的扭结结构，并通过严格的符号演算来验证不变量的计算。例如，在讲解某个特定链环族的同痕类判别时，作者给出的例题详细到每一步矩阵变换都清晰可见，这种“手把手”的演算示范，对于希望真正掌握计算技巧的学习者而言，价值无可估量。当然，对于初学者来说，可能需要额外寻找一些可视化工具来辅助理解这些抽象的几何形变。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，封面的抽象几何图案与书名传递出的数学美感完美融合，触感上也是那种略带粗粝感的精装，拿在手里沉甸甸的，很有分量。内页的纸张选择也十分考究，米白色的纸张有效减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳，印刷的清晰度毋庸置疑，复杂的公式和图表线条都锐利分明，这对于一本涉及高深拓扑和代数概念的书籍来说至关重要。装订非常扎实，即便是频繁翻阅到特定章节进行对照，书脊也没有丝毫松动的迹象。不过，我个人认为，如果能在扉页增加一个精美的烫金作者简介或者一句引人深思的数学名言，整体的仪式感会更强一些，现在的设计虽然专业，但略显内敛。整体来说，从物理层面上看，这是一件值得收藏的学术精品，摆在书架上本身就是一种对数学艺术的致敬。

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对于一个希望将链环不变量理论应用于低维拓扑或相关物理学领域的研究者来说，这本书无疑是一座坚实的知识堡垒。它不像一些前沿综述那样追逐最新的热点，而是专注于奠定核心理论的基石，其价值在于对经典理论体系的梳理和深化。我尤其欣赏作者在每一部分末尾留下的“展望与开放问题”小节，这不仅是对现有研究成果的总结，更是对后来者的邀请函，清晰地指明了该领域尚未完全攻克的难关和可能的探索方向。这本书的阅读过程本身就是一种对严谨数学思维的熏陶，它教会你如何去“看穿”复杂表象背后的不变结构，这种思维方式的提升，远超出了单纯掌握几个不变量公式本身的意义。

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阅读体验中，最令我感到挑战和兴奋的，莫过于第三章关于高阶不变量构造的部分。作者在这里展示了深厚的数学功底，他频繁地在不同的数学领域间进行穿梭，比如从传统的纽结理论跳跃到量子群的表示论，再到特定的代数结构（例如环面代数）的构造。章节之间的衔接处理得异常精妙，即便是跨越了看似不相关的数学分支，作者总能找到那条清晰的逻辑红线将其串联起来，确保读者不会迷失在繁复的定义和证明之中。然而，也正因为其内容的深度和广度，这本书要求读者必须具备扎实的代数基础，任何一个环节的疏忽都可能导致后续内容的理解出现断裂。我不得不时常停下来，查阅一些背景知识，或者反复推敲那些冗长但逻辑严密的定理证明，这无疑是一场智力上的“马拉松”。

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