有限域及伽罗瓦环讲义LECTURES ON FINITE FIELDS AND GALOIS RINGS pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Wan, Zhe-Xian

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:2003-12

价格:296.00元

装帧:Paperback

isbn号码:9789812385703

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好的，这是一份关于其他数学主题的图书简介，字数约1500字，不涉及有限域和伽罗瓦环的内容。 --- 图书名称：拓扑学基础：从点集到流形 内容简介 本书旨在为读者提供一个严谨而直观的拓扑学导论，内容涵盖了从集合论基础出发的各种核心概念，并逐步深入到代数拓扑和微分拓扑的初步探讨。本书的叙述风格力求平衡数学的精确性与概念的几何直觉，适合数学专业本科高年级学生、研究生以及希望系统学习拓扑学理论的自学者。 第一部分：点集拓扑——空间的结构 本书的第一部分奠定了现代拓扑学的基石——点集拓扑（或称一般拓扑）。我们从集合论的基础回顾开始，重点关注拓扑空间的定义及其基本性质。 1. 拓扑空间的引入与构造： 详细阐述了拓扑空间的定义，即在集合上定义一个开集族 $ au$，并验证其满足开集的三个基本公理。我们引入了闭集、邻域、开球等基本术语。 2. 重要的拓扑空间实例： 本书花费大量篇幅讨论了具体空间上的拓扑结构。包括欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准拓扑，度量空间（Metric Spaces）的诱导拓扑，子空间拓扑（Subspace Topology）的构造方法，商拓扑（Quotient Topology）在构造新空间（如圆、环面）中的关键作用，以及积拓扑（Product Topology）在分析多个空间乘积时的应用，并对 Tychonoff 定理及其在积空间上的重要性进行了深入探讨。 3. 连续性与同胚： 连续函数的拓扑定义——原像下保持开集的性质——是连接不同空间的关键。我们定义了拓扑同胚（Homeomorphism）作为拓扑性质保持的双射，并展示了如何利用拓扑不变量来证明两个空间之间不存在同胚（即拓扑性质的差异性）。 4. 连通性与紧致性： 连通性（Connectedness）是描述空间“一块”性质的核心概念。我们区分了路径连通性与连通性，并分析了它们在 $mathbb{R}^n$ 上的关系。 紧致性（Compactness）是拓扑学中最强大和最深奥的概念之一。我们从开覆盖的角度严格定义了紧致性，并利用 Heine-Borel 定理揭示了紧致性在有限维欧氏空间中的具体表现。随后，我们将紧致性的概念推广到任意拓扑空间，并讨论了紧致性在积空间和商空间上的传递性。 5. 可数性与分离公理： 为了更精细地研究空间结构，本书引入了分离公理（Separation Axioms），从 $T_0$ 空间到最常用的 $T_3$（正则性）和 $T_4$（正规性）空间。我们详细讨论了度量空间必然满足所有分离公理的事实，并探讨了这些公理对连续函数和极限点行为的影响。此外，我们还考察了可数紧致性、可数紧致性以及可数紧致性之间的区别与联系。 第二部分：代数拓扑的开端——同伦与基本群 在掌握了点集拓扑的分析工具后，本书将视角转向代数拓扑，目标是利用代数工具来区分拓扑空间。 1. 连续形变与同伦： 我们引入了同伦（Homotopy）的概念，这是研究空间形变的强大工具。两个连续函数之间可以通过一个连续形变联系起来，这为定义拓扑等价性提供了新的视角。本书详细解释了路径同伦（Path Homotopy）的概念及其性质。 2. 基本群（Fundamental Group）： 基本群 $pi_1(X, x_0)$ 是代数拓扑中最核心的第一个代数不变量。本书从基点回路（Loops based at $x_0$）出发，构建了基本群的群结构，并证明了其运算的合法性。我们着重展示了基本群如何有效地区分“有洞”的空间。 3. 重要实例计算： 通过具体的例子，我们计算了关键空间的 $pi_1$。包括： 计算 $mathbb{R}^n$ 的基本群为零群。 详细计算圆周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$，并引入了“绕数”的概念来直观理解这个结果。 讨论了基本群对商空间和积空间的构造规则。 4. 覆盖空间理论（Introduction to Covering Spaces）： 作为对基本群的代数结构更深入的理解，本书引入了覆盖空间的初步概念。我们探讨了如何利用一个空间 $X$ 的覆盖空间 $ ilde{X}$ 来帮助理解 $X$ 的基本群。通过介绍提升引理（Lifting Property），读者将对基本群作为“非平凡结构”的来源有一个更清晰的认识。 第三部分：微分拓扑的萌芽——流形的概念 本书的最后部分将拓扑学的概念与微分几何的思想初步结合，引入了光滑流形的概念框架。 1. 拓扑流形的定义： 我们定义了拓扑流形（Topological Manifold）为具有可数基且局部具有欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 结构的豪斯多夫空间。我们强调了“局部欧氏结构”是通过“开图集”和“坐标卡”来实现的。 2. 构造与例子： 详细分析了球面 $S^n$、环面 $T^n$ 等经典流形如何满足流形的定义。我们关注于如何构建这些空间的全局结构，以及如何通过图集来覆盖这些空间。 3. 向量场和光滑结构（初步）： 在流形的背景下，我们初步引入了向量场（Vector Fields）的概念，将其视为定义在流形上的“切向量的连续族”。虽然本书不会深入探讨微分形式和张量，但通过向量场的讨论，读者可以体会到拓扑结构如何为引入光滑性（微分结构）做好准备，从而过渡到更高级的微分几何学习。我们探讨了光滑结构与拓扑结构之间的关系，例如，每一个光滑流形都是一个拓扑流形。 总结与展望： 本书的结构从最抽象的点集概念，逐步过渡到利用代数工具区分空间（基本群），最后搭建了研究光滑几何对象（流形）的初步平台。全书配有大量的图示和证明详述，旨在帮助读者建立起坚实的拓扑学直觉，为未来深入研究微分几何、代数拓扑或几何分析打下不可或缺的基础。书中的习题设计旨在鼓励读者主动应用所学的定义和定理，而非仅仅记忆结论。 ---

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我一直在寻找一本能够系统地讲解有限域和伽罗瓦环的著作，而这本书的标题正是我所期望的。我希望它能够从基础概念开始，逐步深入到更复杂的理论，例如有限域的扩张、同构以及伽罗瓦理论在有限域上的应用。对于伽罗瓦环，我希望作者能够详细介绍其定义、性质、结构以及它与整数环Z_n的联系。我期待这本书能够提供清晰易懂的解释，并且包含大量的例题和习题，以帮助我巩固所学知识并提高解决问题的能力。我也会关注书中是否会提及有限域和伽罗瓦环在密码学、编码理论以及数论等领域的重要应用，因为这有助于我更全面地理解这些抽象概念的价值。我相信，通过学习这本书，我能够对有限域和伽罗瓦环有更深入的理解，并为我未来的学术研究打下坚实的基础。

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数学的魅力在于其无尽的抽象与严谨，而有限域和伽罗瓦环正是这种魅力的集中体现。这本书的出现，为我打开了一扇通往更深层数学理解的大门。我期待在这本书中，能够领略到有限域独特的运算世界，理解其结构的精妙之处，并且能够掌握将其应用于编码理论、密码学等实际问题的方法。同时，我也对伽罗瓦环的代数结构充满好奇，希望能深入了解它的性质，以及它与有限域之间的紧密联系，从而为我未来的研究打下坚实的基础。我希望作者在讲解过程中，能够提供清晰的思路和直观的解释，使得那些抽象的概念变得易于理解。我也会仔细阅读书中的例题和习题，并努力去解决它们，以此来加深对理论知识的理解和运用能力。我更加期待能够从这本书中，感受到数学研究的乐趣和魅力。

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作为一名对抽象代数充满热情的研究者，我一直在寻找能够提供深度洞察的书籍，而“有限域及伽罗瓦环讲义”这个标题，无疑精准地捕捉了我的研究兴趣。我期待这本书能够系统地阐述有限域的构造、性质以及其在数论、编码理论和密码学等领域的应用。特别是关于伽罗瓦环，我希望能深入理解其代数结构、理想理论以及它与有限域之间的深刻联系。我期望作者能够以一种严谨而清晰的方式引导我理解这些复杂的概念，并提供详实的证明过程。一本优秀的讲义，应该能够激发读者的思考，并为其进一步的研究提供方向，因此，我也会关注书中是否有对前沿研究的概述，以及推荐的进一步阅读材料。我相信，通过学习这本书，我将能够对有限域和伽罗瓦环有更深刻的理解，并为我的研究工作带来新的启发。

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我对数学的探索之路充满了好奇，尤其是在代数领域，有限域和伽罗瓦环这些概念一直以来都让我着迷。这本书的标题，如同一张神秘的地图，预示着一场深入数学核心的旅程。我期待作者能够以一种循序渐进、逻辑严密的方式，引领我理解有限域的奇妙世界，掌握其运算规律，并洞悉其在各个领域的广泛应用。同时，对于伽罗瓦环，我更是充满期待，希望能深入了解其独特的代数结构，以及它与有限域之间那剪不断理还乱的联系。我希望这本书不仅仅是理论的堆砌，更能通过清晰的阐述和丰富的实例，让抽象的概念变得鲜活而易于掌握。我也会非常关注书中是否有高质量的例题和具有启发性的习题，因为我相信，亲手解决问题是内化知识的最佳途径。

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我一直以来都对那些能够深入剖析数学核心结构的著作情有独钟，而“有限域及伽罗瓦环讲义”这个标题，无疑精准地击中了我的兴趣点。我渴望能够系统地学习有限域的理论，理解其构成方式，掌握其运算规则，并了解其在各个数学分支，乃至在现代信息技术中的重要地位。我期待作者能够从最基础的概念出发，逐步深入到更复杂的结构，例如有限域的扩张、伽罗瓦扩张以及它们之间的对应关系。对于伽罗瓦环，我更是充满了好奇，希望能了解它的代数结构，包括它的生成元、理想以及一些重要的代数性质，并且探究它与有限域之间的深层联系。一本优秀的讲义，应该不仅仅是知识的传递，更应该是学习方法的引导，我希望书中能提供清晰的讲解思路，以及适量的练习题，帮助我巩固和检验所学知识。我也会留意书中是否包含一些重要的定理证明，并且期望这些证明是详尽而易于理解的。

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这本书的封面设计就给我一种沉静而深邃的感觉，仿佛打开它就能潜入数学世界的奇妙领域。我对“有限域”这个概念一直颇感兴趣，它在密码学、编码理论等领域有着极其重要的应用，而“伽罗瓦环”更是将这份神秘感推向了新的高度。我一直渴望能有一本系统地讲解这些内容的著作，能够从基础概念出发，逐步深入到更复杂的理论和应用。这本书的标题无疑满足了我对深度学习的期待。我尤其关心作者如何处理抽象概念与实际应用之间的联系，是否能够用清晰易懂的语言解释那些往往令人望而生畏的数学证明，并结合实例来展示这些理论的生命力。在阅读之前，我脑海中已经勾勒出了一幅画面：作者如同经验丰富的向导，带领我穿越有限域的边界，探索伽罗瓦环的结构，最终理解它们在现代科技中的核心作用。我期待书中能有大量的例题和习题，以便我能够巩固所学，并尝试独立解决一些问题，这样才能真正地内化这些知识。对于一本如此专业且充满潜力的书籍，我的好奇心已经被完全点燃，迫不及待想要翻开它，开启这场数学探索之旅。

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我一直认为，学习数学最令人愉悦的部分是当抽象的概念突然变得清晰，当那些看似毫不相关的理论之间建立起巧妙的联系。这本书的标题“有限域及伽罗瓦环讲义”正是我所期待的那种能够带来这种顿悟的著作。我希望作者能够像一位技艺精湛的魔术师，将复杂的数学理论变幻出清晰易懂的形态。我非常好奇作者将如何介绍有限域的基本性质，例如其阶数、特征以及是否存在一个阶数为p^n的有限域。同时，我对伽罗瓦环的构造和性质也充满了期待，尤其是关于其零因子、幂等元以及与整数环Z_n的联系。这本书如果能提供一些关于有限域和伽罗瓦环在数论、代数几何或组合数学等领域的应用实例，将会大大提升我的学习兴趣和动力。我也会关注书中是否包含一些历史性的发展，例如有限域理论是如何随着数论和代数的发展而逐步完善的。

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一直以来，我对代数数论和抽象代数中的那些结构性概念都抱有浓厚的兴趣，而“有限域及伽罗瓦环讲义”这个标题，恰好契合了我近期学习和研究的方向。我希望这本书能够提供一个系统而深入的视角，来理解有限域的构成、性质以及分类，并且能够清晰地阐述伽罗瓦环的代数结构，包括其上的理想、模以及与有限域之间的对应关系。我尤其期待作者能够展示有限域和伽罗瓦环在数论、组合数学、编码理论和密码学等领域的具体应用，并通过生动的实例来加深读者的理解。一本优秀的讲义，应该能够引导读者建立起严谨的逻辑思维，并激发其独立解决问题的能力，因此，我非常关注书中是否有丰富的例题和具有挑战性的习题，以帮助我巩固所学并拓展思路。我也会仔细审视书中对于关键定理证明的讲解方式，期望能够从中获得启发，提升自己的数学证明能力。

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作为一名对理论数学充满热情的研究生，我对能够深入理解代数结构有着强烈的需求。这本书的标题“有限域及伽罗瓦环讲义”立刻吸引了我的注意，因为它精准地指向了我目前研究领域的核心概念。我尤其关注作者在处理抽象概念时，是否能够提供直观的理解方式，或者通过类比来帮助读者建立起清晰的认知框架。我期待这本书能够提供对有限域的多种构造方法，比如基于不可约多项式的构造，以及它们之间的同构关系。同时，对于伽罗瓦环，我希望作者能够详细阐述其代数结构，包括其上的理想、模以及自同构群等，并展示它们与有限域之间的深刻联系。这本书如果能包含一些前沿的研究方向的概述，例如有限域上的多项式环理论，或者在编码理论和密码学中的最新应用，那对我来说将是极大的价值。我也会仔细审视书中是否有详细的参考文献，以及推荐进一步阅读的书籍或论文，以便在完成本书的学习后，能够继续深入探索相关的研究领域。

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我一直对数学理论背后的逻辑严谨性和美感深感着迷，而有限域和伽罗瓦环无疑是这一美感的绝佳体现。这本书的出现，对我来说就像是寻觅已久的瑰宝。我希望它不仅仅是公式的堆砌，更能展现出这些概念是如何在数学家的脑海中孕育而生，又是如何通过精巧的推理构建起宏伟的理论大厦。特别是“讲义”这个词，让我觉得它可能更侧重于教学和引导，而不是纯粹的理论论述。我希望作者能够循序渐进，从最基础的定义和性质开始，一步步带领读者走向理解更深层的结构和定理。想象一下，能够清晰地理解有限域的运算律，掌握伽罗瓦群的构造，甚至窥探到它们在代数数论和几何学中的潜在联系，这将是多么令人兴奋的体验！我非常期待书中能有对历史渊源的简要介绍，比如伽罗瓦本人是如何在解决“根式可解性”问题的过程中奠定这些理论基础的，这有助于我们更深刻地理解数学的发展脉络。同时，我也会关注书中是否有对一些重要定理的证明方法进行详细的讲解，例如有限域的基本定理，或者关于伽罗瓦环结构的某些关键证明，这将是检验一本书教学质量的重要标准。

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万先生的书真的不错!!

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