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出版者:南方

作者:任志鸿

出品人:

页数:65

译者:

出版时间:2011-8

价格:27.00元

装帧:

isbn号码:9787807012696

丛书系列:

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《高等代数精要》图书简介 领略抽象之美，奠定坚实基础 本书《高等代数精要》旨在为具备一定基础知识的读者提供一套系统、深入且富有启发性的高等代数学习体验。我们深知，高等代数作为数学学科的核心支柱之一，其重要性不仅在于其自身理论体系的完备性，更在于它为后续的线性代数、抽象代数、泛函分析乃至理论物理、计算机科学等领域提供了不可或缺的数学语言和思维框架。 目标读者定位与设计理念 本书主要面向对象为数学、物理、信息科学、工程技术等专业的高年级本科生、研究生，以及有志于系统回顾和深入理解高等代数理论的数学爱好者。我们的设计理念强调“精要”与“深度”的平衡：既要确保核心概念的严谨阐述，避免过于繁琐的冗余，又要通过精选的例题和深入的讨论，引导读者真正掌握代数思维的精髓。 本书并非对基础初等代数概念的简单重复，而是将重点聚焦于域、环、模这些抽象代数结构的核心理论构建，并以线性空间（向量空间）的理论为主线，辅以多项式环、特征值理论的深入探讨。 第一部分：基础结构与数域的拓展 本部分是构建整个代数大厦的地基。我们将从集合论的基础概念出发，快速过渡到抽象代数结构——群的严谨定义。 1. 群论基础与经典结构： 详细阐述群的四大公理、子群、陪集、拉格朗日定理及其推论。重点剖析循环群、有限交换群的结构定理，并引入正规子群与商群的概念，这是理解同态和同构思想的关键步骤。我们将通过实例展示对称群 $S_n$ 的重要性及其在几何和组合学中的应用背景。 2. 环与域的初探： 引入环的概念，强调环的重要性质（如交换性、单位元存在性）。深入探讨理想（环中的“子群”概念推广）及其与商环的关系。特别关注整环的引入，并详尽讨论唯一分解整环（UFD）和主理想整环（PID）之间的关系。本书将避免在这一阶段过度深入到域的伽罗瓦理论的复杂性，而是着重于代数结构本身的内在逻辑。 3. 多项式环的特殊地位： 将焦点集中于系数域为 $F$ 的多项式环 $F[x]$。这是连接初等代数与抽象代数至关重要的一环。我们将证明 $F[x]$ 作为一个欧几里得整环（在特定条件下），并详细讨论多项式的带余除法、最大公约式（通过扩展欧几里得算法求解）以及根的性质。不可约多项式的判定标准（如艾森斯坦准则）的严格证明是本节的亮点。 第二部分：线性空间与线性变换的几何化 本部分是高等代数的核心，也是本书内容最详实的部分，旨在将代数运算提升到几何直观的高度。 1. 向量空间（线性空间）的公理化： 严格定义向量空间的五条公理，并给出域上的线性组合、线性相关性、基和维数的概念。我们强调了基变换的重要性，这是理解坐标系对向量表示影响的关键。 2. 线性变换与矩阵表示： 详细分析线性映射（线性变换）的性质，特别是其核空间（Kernel）与像空间（Image）之间的关系，即秩-零化度定理的严谨证明。重点讲解如何通过选择不同的基，得到同一个线性变换的不同矩阵表示，并揭示这些矩阵之间的相似关系。 3. 内积空间与正交性： 引入内积（或称为点积）的概念，从而定义长度和角度。本节是欧几里得几何的代数基础。我们将系统阐述施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，并深入探讨正交矩阵和正交投影。对于有限维实/复内积空间，本书将详细讨论自伴随算子（或厄米特算子）的性质，尤其是其特征值是实数这一重要结论。 4. 特征值、特征向量与对角化： 这是应用最为广泛的部分。我们将系统讲解如何求解特征多项式、特征值和特征向量。重点在于相似矩阵的概念，以及如何通过相似变换将矩阵化为对角矩阵，这极大地简化了矩阵的幂次计算和微分方程的求解。 5. 更一般的结构——Jordan标准型： 鉴于并非所有矩阵都能对角化，本书对Jordan标准型进行了详尽的介绍。我们将通过最小多项式的概念来预测和构造Jordan块结构，并提供计算Jordan标准型的完整步骤，这是处理非对角化情形的终极工具。 第三部分：线性空间的结构理论深化 本部分侧重于对线性空间结构更深层次的理解，特别是当系数域不是代数闭域时的情况。 1. 线性函数空间（对偶空间）： 引入对偶空间的概念，即向量空间到其标量域的线性函数构成的空间。我们证明了有限维向量空间与其二重对偶空间之间的自然同构关系，并讨论了基与对偶基之间的关系。 2. 双线性型与二次型： 详细分析双线性型的矩阵表示，并考察其指标和规范形。重点在于二次型的理论，使用正交对角化（基于对称矩阵）或合同变换将二次型化为最简形式，这在优化问题和几何学中有直接应用。 3. 模论的初步探讨： 考虑到本书旨在提供高等代数的全面视角，我们简要引入了模的概念，将其视为“在一般环上的向量空间”。我们会着重讨论在主理想整环上，模的结构定理（如有限生成阿贝尔群的结构定理）是如何自然推广的，以此为后续学习抽象代数（如PID上的模理论）埋下伏笔。 本书的特色与优势 严谨性与直观性的结合： 我们坚持数学证明的严谨性，但同时大量使用几何和物理背景的类比来辅助理解抽象概念，确保读者不仅知道“是什么”，更理解“为什么”。 例题的精选与深度： 书中包含了大量精心设计的例题，从基础计算到复杂理论的构造性证明，覆盖了从特征值计算到Jordan块分解的各个层面。 强调结构思维： 全书贯穿了对“结构”的关注——从群、环到向量空间的内在联系，培养读者用抽象代数语言分析问题的能力。 《高等代数精要》力求成为读者在迈向更高级数学领域前，一座坚固且视野开阔的知识桥梁。

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这本书的封面设计着实抓人眼球，那深邃的蓝色背景上点缀着几个几何图形，简洁却又不失大气，一下子就让人联想到严谨的逻辑和无限的可能。我是在一个偶然的机会下，在学校的书店角落里发现了它。当时手里拿着几本参考书，准备去结账，目光不经意间扫过这个书架，这本《XX》就这样“跳”了出来。我本来对纯理论性的书籍兴趣不大，总觉得晦涩难懂，但翻开扉页，看到作者那段充满激情的导语，瞬间就被吸引了。作者似乎并不想把这本书写成一本冰冷的公式堆砌，而是努力去描绘数学思想的演变和美感。特别是前言中提到的，数学不仅仅是工具，更是一种看待世界的方式，这让我产生了强烈的共鸣。我记得其中有一章专门讲了拓扑学中的“咖啡杯与甜甜圈”的例子，作者用非常形象的比喻，将一个抽象的概念阐述得淋漓尽致，即便是初学者也能大致领会其精髓。整本书的排版也十分用心，留白恰到好处，注释清晰明了，让人在长时间阅读后也不会感到视觉疲劳。这本书更像是一位经验丰富的朋友，耐心地引导你走进一个全新的思维领域，而不是一位高高在上的老师，只顾着灌输知识点。它成功地让我对原本不抱希望的某个数学分支重新燃起了热情，那种感觉，就像是拨开一片迷雾，看到了远方的灯塔。

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我得说，这本书的深度是超乎我预期的。我本以为它会停留在高中阶段知识的简单拓展，充其量也就是大学数学的入门导览。结果呢？我被它对某些高级概念的阐述方式彻底“震撼”到了。作者在处理那些经典难题时，展现出了一种近乎艺术家的精准和灵活性。举个例子，在涉及到微积分的某个特定应用场景时，作者没有采用主流教材那种教科书式的推导，而是引入了一种全新的、更具几何直观性的视角来解读，这简直是神来之笔！我花了整整一个下午，在草稿纸上演算、对照着书中的图示来理解这个思路，每一步的逻辑衔接都像瑞士钟表一样精密无误。更让我称赞的是，作者在很多地方都埋设了“历史的线索”，他会告诉你某个定理最初是怎么被发现的，中间经历了哪些争论和修正，这种叙事手法极大地增强了阅读的趣味性和代入感，让我感觉自己不是在做题，而是在参与一场跨越时空的学术对话。书中的习题设计也相当巧妙，它们并非只是简单地重复公式应用，而是需要你综合运用前面多个章节的知识点才能攻克，挑战性十足，解开一道题的成就感，远超单纯的考试高分。

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说实话，这本书的装帧和纸质给我留下了深刻的印象。现在很多教材为了控制成本，纸张手感都很一般，拿到手里轻飘飘的，感觉内容也像是“速食”产品。但这本《XX》完全不同，它拿在手里沉甸甸的，纸张厚实且具有一种柔和的哑光质感，即便是放在阳光下看，也不会有刺眼的反射光。装订也非常牢固，我可以放心地把它摊平在桌子上，不用担心书脊会裂开或者散页。这一点对于我这种喜欢在书页空白处做大量笔记和标记的人来说至关重要。我习惯用不同颜色的荧光笔和钢笔在书上“涂鸦”，标记重点、写下自己的疑问或者灵感。这本书的纸张很好地吸收了墨水，字迹清晰，完全没有洇开的现象。而且，它的印刷质量简直是教科书级别的——那些复杂的符号、精细的图表，每一个细节都处理得清晰锐利，毫无模糊之感。这种对物理载体的重视，体现了出版方对知识本身的尊重，让人在拿起它的时候，就油然而生一种珍视的感觉，仿佛这是一件值得收藏的艺术品，而不仅仅是一本工具书。

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这本书最独特的地方，在于它对“非标准解法”的包容与探索。在传统的教育体系中，我们总是被要求用“最快”、“最标准”的方式解决问题，仿佛多绕一步就是浪费时间。然而，这本书却鼓励读者去思考：有没有其他的路径可以到达终点？书中专门开辟了一个“思想漫步”的栏目，介绍了一些历史上被边缘化的、但极其优美的解题思路。我记得有一次，我被一道关于数列极限的题目卡住了，用常规的夹逼法算得非常复杂，思路几乎要断掉。抱着试试看的心态，我翻到了那个“漫步”栏目，发现作者介绍了一种基于函数图像构造的几何证明法。虽然那个方法在计算上并不见得更省力，但它从一个全新的角度揭示了极限存在的本质原因。那一瞬间，我的脑海中“轰”的一声，所有的困惑都烟消云散了。这种鼓励探索、不拘泥于既定范式的态度，极大地解放了我的思维，让我明白了数学的魅力远不止于“求出正确答案”。它教会我欣赏过程的美，欣赏那些曲折但富有洞察力的思考路径。

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我必须承认，这本书的阅读门槛在某些章节确实不低，它要求读者有一定的预备知识作为支撑。但令人欣慰的是，作者非常体贴地设置了“回顾与衔接”的模块。在进入一个比较有难度的部分之前，他会非常精炼地回顾一下前置知识点的核心思想，而不是像有些专业书籍那样，假设读者对所有背景知识都了如指掌。对于我这种偶尔需要重温基础概念的人来说，这简直是救星。此外，书中对晦涩难懂的术语解释得非常耐心，有时候甚至会引用哲学或语言学的概念来辅助解释数学上的抽象结构，这种跨学科的视角，极大地降低了理解的难度。比如，在解释“完备性”这个概念时，作者巧妙地将其与人类对“封闭空间”的直观感知联系起来，让“不可分割”的抽象概念变得可触摸、可感悟。总的来说，这本书的编排逻辑是层层递进、步步为营的，它不会让你在半途迷失方向，而是确保你每走一步，都能站稳脚跟，带着更坚实的信心迈向下一步的探索。它真正做到了，既能满足资深学习者的求知欲，也能温柔地扶持初学者前行。

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