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出版者:Orchard Publications

作者:Steven T. Karris

出品人:

页数:1018

译者:

出版时间:2007

价格:0

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isbn号码:9781934404041

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《应用数学与计算方法：理论、算法与实践》 本书简介 本书旨在为读者提供一个全面且深入的数学建模与数值计算基础框架，重点关注理论的严谨性、算法的有效性以及在实际工程与科学问题中的应用。内容涵盖了从经典分析到现代计算方法的核心概念，并通过大量的案例研究和习题，帮助读者构建扎实的理论基础和解决实际问题的能力。 第一部分：基础数学回顾与误差分析 本部分将对读者进行必要的数学基础回顾，为后续高级主题的展开奠定基础。 第一章：实数系统与函数分析 本章首先回顾了实数集的完备性、极限和连续性的严格定义。随后，深入探讨了函数空间的基本概念，包括范数和度量空间的引入。我们将分析函数的平滑性（可微性和解析性）及其在数值逼近中的重要性。特别关注了泰勒定理及其在局部函数近似中的应用，为后续的插值和微分方程求解提供理论支撑。 第二章：数值计算中的误差理论 误差分析是数值计算的基石。本章系统地介绍了计算误差的来源，包括模型误差（或称截断误差）和舍入误差。我们详细讨论了误差的传播规律，如何通过局部误差估计来预测全局误差。本章引入了条件数（Condition Number）的概念，用于衡量问题本身的敏感性，并解释了病态问题（Ill-Posed Problems）的特性及其对数值解稳定性的影响。同时，探讨了高精度计算的基本策略和浮点数的IEEE 754标准。 第二部分：线性代数计算与矩阵理论 线性代数是现代科学计算的核心语言。本部分专注于高效、稳定地求解线性方程组和处理矩阵特征值问题。 第三章：线性方程组的直接解法 本章从基础的高斯消元法（Gaussian Elimination）开始，详细分析其计算复杂度和稳定性问题。随后，系统介绍矩阵分解技术，包括LU分解、Cholesky分解（针对对称正定矩阵）以及带状矩阵的特殊求解方法。重点讨论了如何通过分解形式来高效地解决多组右端项的问题。 第四章：迭代法求解大型线性系统 对于大规模稀疏系统，直接法往往不切实际。本章转向迭代方法的讨论。首先引入了雅可比法（Jacobi Method）和高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel Method），分析它们的收敛条件和速率。随后，深入讲解了更先进的Krylov子空间方法，如共轭梯度法（CG）、最小残差法（MINRES）和广义最小残差法（GMRES）。对预处理技术（Preconditioning）在加速收敛中的作用进行了详尽的分析。 第五章：特征值与特征向量的计算 特征值问题在振动分析、主成分分析等领域至关重要。本章介绍了幂迭代法（Power Iteration）和反幂迭代法，用于寻找最大和最小特征值。针对对称矩阵，重点讨论了QR算法的原理和实现，包括其稳定性和二次收敛特性。对于非对称矩阵，简要介绍了将矩阵转化为Hessenberg或Schur形式的预处理步骤。 第三部分：函数逼近与插值 本部分关注如何使用简单、易于计算的函数来近似复杂的未知函数。 第六章：插值方法 本章涵盖了多项式插值的主流技术。从拉格朗日插值公式的构建到牛顿差商形式的优势分析。特别强调了Runge现象及其局限性。为克服高次多项式插值的抖动问题，本章详细阐述了样条插值（Spline Interpolation），尤其是自然三次样条和钳位三次样条的数学构建和唯一性证明。 第七章：最佳平方逼近与函数拟合 当数据点过多或存在测量误差时，最佳平方逼近成为首选。本章从最小二乘法的理论推导开始，展示如何通过正规方程组求解线性最小二乘问题。随后，引入了正交多项式（如勒让德多项式），解释它们在构建最小二乘拟合中的优越性，避免了病态的范德蒙矩阵。 第八章：数值微分与积分 本章讨论了如何对函数进行数值微分和积分。在数值微分方面，我们利用有限差分公式（前向、后向、中心差分）的推导，分析了其截断误差。在数值积分方面，本章系统介绍了牛顿-科茨公式族，包括梯形法则、辛普森法则。重点分析了复合积分的策略和高斯求积公式（Gaussian Quadrature）的理论基础及其卓越的精度优势。 第四部分：常微分方程（ODE）的数值求解 常微分方程是描述动态系统的核心工具。本部分专注于这些方程的离散化和数值求解技术。 第九章：单步法与局部误差控制 本章从欧拉法（前向和隐式）开始，引入了局部截断误差和全局误差的概念。随后，系统地介绍了龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法，特别是经典的四阶RK方法（RK4）的构造。本章还探讨了步长自适应控制策略，以确保解的精度在可接受范围内，同时优化计算效率。 第十章：多步法与稳定性分析 为了提高效率，本章转向多步法。详细介绍了Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）方法，并分析了它们之间的关系。稳定性是多步法的关键。本章深入讨论了零稳定性（Zero-Stability）和绝对稳定性区域（Region of Absolute Stability），解释了刚性方程（Stiff Equations）的特点以及如何选择合适的隐式方法（如向后欧拉法或BDF方法）来处理它们。 第五部分：偏微分方程（PDE）的有限差分法 本部分将数值方法的应用扩展到偏微分方程领域，主要关注抛物型、双曲型和椭圆型方程的有限差分求解。 第十一章：一维问题的有限差分 本章首先针对热传导方程（抛物型）和波动方程（双曲型）进行离散化。对于抛物型方程，我们使用Crank-Nicolson方法和前向/后向欧拉法，并分析其稳定性和收敛性。对于双曲型方程，讨论了迎风格式及其数值耗散现象。 第十二章：椭圆型方程与松弛法 针对泊松方程和拉普拉斯方程（椭圆型），本章重点介绍离散化后形成的线性代数系统。讨论了雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代，并引入了更有效的松弛法（SOR），详细推导了最佳松弛参数的选择准则，以加速收敛。 结语 本书的结构设计旨在引导读者从基础的数值误差概念逐步深入到复杂系统的动态建模与求解。通过理论阐述与严谨的算法分析相结合，读者将能够批判性地评估不同数值方法的适用性，并在实际应用中选择和实现最稳健、最高效的计算方案。本书要求读者具备扎实的微积分和线性代数知识。

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这本书对我来说是一次非常棒的学习体验，它让我对数值分析这门学科有了全新的认识。我之前对这门学科的印象是枯燥且抽象的，但这本书通过大量的实践案例，成功地将它变得生动有趣。我特别欣赏作者在引入每一个数值算法时，都会先阐述其背后的数学原理，然后立即给出 MATLAB 和 Excel 的实现方式。这种“理论+实践”的模式，让我在理解概念的同时，也掌握了实际操作的技能。例如，在学习求解线性方程组时，书中介绍了高斯消元法和 LU 分解，并且提供了用 MATLAB 实现的详细代码。我可以通过修改矩阵的大小和数值，来观察算法的执行过程和结果，这比单纯地记忆公式要有效得多。同时，书中对 Excel 的应用也让我印象深刻。我之前认为 Excel 只能做一些基础的表格计算，但这本书展示了如何利用 Excel 的内置函数、数据透视表和图表功能来完成复杂的数值分析任务。例如，书中用 Excel 来实现简单的蒙特卡洛模拟，通过随机数生成和计数，来估计圆周率。这让我意识到，即使没有专业的编程环境，也能通过 Excel 完成许多有趣的数值计算。总而言之，这本书是一本非常实用的教材，它不仅传授了数值分析的知识，更重要的是教会了我如何将这些知识应用于解决实际问题，并且能够熟练运用 MATLAB 和 Excel 这两款强大的工具。

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我是一位在金融领域工作的分析师，对数值方法的应用有很高的要求，尤其是在建模和风险管理方面。《Numerical Analysis Using MATLAB and Excel》这本书为我提供了非常有价值的指导。我尤其欣赏书中在讲解数值方法时，对它们在金融模型中的应用进行了详细的阐述。例如，在介绍随机过程和模拟时，书中不仅给出了 MATLAB 实现泊松过程和布朗运动的代码，还展示了如何利用这些模型来模拟股票价格的波动。这对于我进行投资组合优化和风险度量非常有帮助。此外，书中对 Excel 在金融计算中的应用也给了我很多新的启发。我过去主要将 Excel 用于数据汇总和报表生成，但这本书展示了如何利用 Excel 的 VBA 宏和内置函数来构建复杂的金融模型，例如期权定价和利率期限结构分析。通过 Excel 的界面，我可以方便地调整模型参数，并直观地观察结果变化，这使得模型验证和调试过程更加高效。这本书的价值在于，它不仅教会了我数值分析的核心概念，更重要的是，它将这些概念与我在金融领域的实际工作紧密联系起来，为我提供了解决实际问题的工具和思路。

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作为一名对数据科学和量化分析感兴趣的学生，我一直渴望找到一本能够将理论数学知识与实际编程应用紧密结合的书籍。在阅读《Numerical Analysis Using MATLAB and Excel》之后，我确信我找到了。这本书的结构安排非常合理，从基础的数值计算到更复杂的算法，都循序渐进地展开。我尤其欣赏作者在讲解每一个数值方法时，都会先给出清晰的数学推导，然后立即展示如何在 MATLAB 中实现，并配以相应的解释。这使得我能够理解“为什么”这样做，而不是仅仅知道“如何”做。例如，在学习数值积分时，书中介绍了梯形法则和辛普森法则，并且通过 MATLAB 代码演示了如何计算定积分。通过改变积分区间和步长，我能够直观地感受到这些数值方法的精度差异。更令我惊喜的是，书中还详细介绍了如何利用 Excel 来完成类似的计算。这让我意识到，即使没有高级的编程技能，也能通过 Excel 的强大功能进行许多有意义的数值分析。例如，书中利用 Excel 的数据透视表和图表功能来展示数据趋势，这对于数据探索性分析非常有帮助。这本书不仅提升了我对数值分析的理解，更重要的是，它增强了我运用计算工具解决问题的信心和能力。

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这是一本我近期阅读过的最令人印象深刻的关于数值分析的书籍。它在理论讲解和实际操作之间找到了一个绝佳的平衡点。我之前学习数值分析时，最大的障碍就是感觉那些算法非常抽象，难以理解它们在实际中的应用。然而，这本书通过大量的 MATLAB 和 Excel 实例，将这些抽象的概念变得生动具体。例如，在学习求解非线性方程时，书中不仅详细介绍了不动点迭代法和牛顿法，还提供了用 MATLAB 实现这些方法的代码，并且通过图示的方式展示了迭代过程中收敛或发散的情况。这种可视化教学方法，让我对算法的理解上升到了一个新的高度。我能够直观地看到不同方法的收敛速度和对初始值的敏感程度。此外，书中对 Excel 的运用也让我大开眼界。我过去常常在 Excel 中进行简单的数据处理，但这本书展示了如何利用 Excel 的矩阵运算、宏和图表功能来实现更复杂的数值计算。例如，书中用 Excel 来演示最小二乘法的应用，通过设置表格和公式，就能轻松地找到最优的拟合曲线。这对于那些不熟悉编程环境的用户来说，无疑是一个非常友好的入门方式。这本书的价值不仅在于传授了数值分析的知识，更在于它教会了我如何将这些知识有效地应用于解决实际问题，并且能够利用现有的工具来完成复杂的计算任务。

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作为一名长期在工业界从事研发工作的工程师，我接触过很多关于数值计算的书籍，但《Numerical Analysis Using MATLAB and Excel》这本书无疑是我认为最实用、最接地气的一本。它并没有一开始就抛出一大堆复杂的数学公式，而是从一些实际问题出发，引导读者逐步理解数值分析的应用。我尤其喜欢书中对每一种算法的逻辑讲解，以及它如何将其转化为 MATLAB 和 Excel 中的具体代码。这让我能够清晰地看到“从想法到实现”的整个过程。例如，书中在讲解根式查找时，不仅介绍了二分法、牛顿法等，还提供了用 MATLAB 编写的程序，并且鼓励读者去尝试不同的初始值和精度要求，观察结果。这种互动式的学习体验，让我能够更深刻地理解这些算法的优缺点以及适用场景。更重要的是，书中对 Excel 的应用非常巧妙。我曾经一直认为 Excel 只能做一些简单的表格计算，但通过这本书，我才发现它在数值分析方面也有很大的潜力。书中展示了如何在 Excel 中构建矩阵、进行方程组求解、甚至实现简单的优化算法。这对于我这种需要快速验证想法、但又不想编写复杂代码的工程师来说，简直是“雪中送炭”。它让我能够快速地将我的理论模型转化为可执行的计算，并且能够方便地与团队中的其他成员共享。总而言之，这本书是一本真正能够帮助工程师解决实际问题的宝藏。它不仅传授了知识，更重要的是教会了我们如何将这些知识转化为生产力。

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我是一名在校的数学系研究生，对数值分析的理论基础非常看重，同时我也深知掌握实际计算工具的重要性。这本书恰好满足了我在这两方面的需求。与其他更侧重理论的教材相比，这本书在保持数学严谨性的同时，将 MATLAB 和 Excel 的应用融入到了每一个概念的讲解中。我尤其喜欢它对算法的推导和分析。作者在介绍每一种数值方法时，都会详细阐述其背后的数学原理，例如误差分析、收敛性判断等，这对于我深入理解算法的本质至关重要。例如，在学习插值法的误差分析时，书中不仅给出了误差公式，还通过 MATLAB 仿真，直观地展示了不同插值节点选择对误差的影响。这种理论与实践的结合，让我对数值分析的理解更加透彻。而 MATLAB 的部分，更是让我受益匪浅。书中提供的代码不仅清晰易懂，而且具有很强的可扩展性。我常常会根据书中的示例，自己尝试修改参数、扩展功能，例如将一维插值推广到二维，或者将简单的微分方程求解器改进为高阶方法。这种主动的学习方式，让我对 MATLAB 的掌握程度大大提升。Excel 的应用部分，则展示了如何将数值分析的思想转化为表格计算，这对于处理一些小规模问题或者与非专业人士交流时非常有用。书中对 Excel 中各种数学函数和图表工具的运用，让我看到了将抽象数学概念可视化和具象化的可能性。总而言之，这本书是一本非常优秀的学习资源，它在理论深度和实践广度上都达到了很高的水平，能够帮助我扎实地掌握数值分析的知识，并熟练运用现代计算工具解决实际问题。

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这本书我断断续续看了好几个月，终于快啃完了，不得不说，它确实是一本非常有实践性的教材。作为一名刚开始接触数值分析的学生，我最大的困扰就是那些抽象的数学概念和公式，常常觉得它们离实际应用太远，难以理解其意义。然而，这本书巧妙地解决了这个问题。作者并没有仅仅罗列理论，而是通过大量的 MATLAB 和 Excel 实例，将枯燥的数值算法生动地展现在我面前。例如，在讲解插值法时，书中不仅介绍了牛顿插值、拉格朗日插值等多种方法，还提供了相应的 MATLAB 代码，让我可以直接运行并观察不同插值方法在拟合数据时的效果差异。通过拖动数据点，观察拟合曲线的变化，这种直观的体验让我对插值法的原理有了更深刻的理解，也体会到了不同插值方法的优缺点。同样，在学习微分方程的数值解法时，书中详细介绍了欧拉法、龙格-库塔法等，并且提供了用 MATLAB 实现这些方法的代码。我可以直接修改步长、输入不同的初始条件，然后观察解的收敛性和精度。这种“动手实践”的模式，极大地激发了我学习的积极性，也让我能够更扎实地掌握这些重要的数值计算技术。此外，书中对 Excel 的运用也让我印象深刻。很多时候，我们只需要一个简单的表格和一些公式，就能完成一些相对复杂的数值计算，这对于那些不熟悉编程环境的用户来说，无疑是一个福音。例如，在进行线性方程组的求解时，书中不仅介绍了高斯消元法，还展示了如何在 Excel 中通过矩阵运算来实现。这种跨平台的教学方式，让不同背景的学习者都能从中受益。总而言之，这本书是一本将理论与实践完美结合的典范，它不仅教授了数值分析的知识，更重要的是教会了我如何运用这些知识去解决实际问题。

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作为一名对科学计算和数据可视化充满热情的学生，这本书简直是我的“学习圣经”。它将枯燥的数学理论转化为了生动有趣的实践操作，让我沉浸其中，乐此不疲。我最喜欢的部分是书中对每一个数值算法的讲解都辅以大量的 MATLAB 代码示例。这些代码不仅清晰易懂，而且还具有很强的可修改性和扩展性。我经常会在运行书中的代码后，尝试着去修改参数、增加数据点，甚至将不同的算法组合起来，观察它们产生的不同结果。这种“玩转代码”的过程，让我对数值分析的理解更加深入和透彻。例如，在学习插值法时，我不仅了解了拉格朗日插值和样条插值，还通过 MATLAB 绘制了它们在拟合不同数据时的曲线，直观地比较了它们的平滑度和精度。此外，书中对 Excel 在数值计算中的应用也让我印象深刻。我过去只是把 Excel 当作一个简单的电子表格软件，但这本书让我看到了它在科学计算方面的巨大潜力。例如，书中利用 Excel 的图表功能来可视化数值方法的收敛过程，将抽象的迭代过程具象化，这对我理解算法的稳定性非常有帮助。总而言之，这本书是一本非常优秀的教材，它不仅传授了数值分析的知识，更重要的是，它激发了我学习科学计算的兴趣，并为我掌握 MATLAB 和 Excel 这两款强大的工具打下了坚实的基础。

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作为一名在工程领域摸爬滚打多年的实践者，我对数值分析的需求更多地体现在解决实际工程问题上。我经常需要处理大量的实验数据，进行复杂的数值模拟，以优化设计和预测性能。在这方面，《Numerical Analysis Using MATLAB and Excel》这本书给我带来了极大的启发。我特别欣赏作者在选择案例时，充分考虑到了工程应用的广泛性。例如，书中关于数据拟合的部分，不仅仅局限于简单的多项式拟合，还深入探讨了指数拟合、对数拟合等在工程测量和数据分析中的实际应用。通过 MATLAB 的 `polyfit` 和 `cfit` 函数，我能够轻松地将实验数据拟合到不同的模型中，并评估拟合的优劣。这对于我理解数据背后的物理规律至关重要。更让我感到惊喜的是，书中关于优化算法的部分，例如最速下降法和牛顿法的实现，为我在工程设计中的参数寻优提供了有力的工具。我曾经为了找到某个关键设计参数的最佳取值而苦恼不已，而这本书提供的 MATLAB 代码，让我能够快速搭建优化模型，并通过迭代计算找到最优解。这不仅节省了大量的时间，也提高了设计的效率和性能。此外，书中对 Excel 在数值计算中的应用也给了我很多新的思路。我发现，对于一些不需要大量迭代或复杂矩阵运算的问题，直接在 Excel 中利用其强大的函数功能和图表工具，可以更快速地得到结果，并且方便与同事进行数据共享和交流。例如，在进行简单的数值积分时，梯形法则和辛普森法则在 Excel 中实现起来非常直观，而且生成的结果图表也易于理解。这本书的价值在于，它不仅是一本教科书，更像是一本“工具箱”，提供了解决实际问题的多种方法和思路，让我能够更自信地应对工作中的挑战。

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从一位软件工程师的角度来看，《Numerical Analysis Using MATLAB and Excel》这本书在算法实现和代码优化方面提供了非常深刻的见解。我过去在项目中经常会遇到需要进行大量数值计算的情况，但有时我对算法的效率和稳定性缺乏足够的认识。这本书通过对不同数值方法的详细分析，包括其收敛性、稳定性和计算复杂度，帮助我更清晰地认识到选择合适算法的重要性。例如，在讲解求解大型线性方程组时，书中不仅介绍了直接法，还深入探讨了迭代法，如雅克比迭代和高斯-赛德尔迭代，并提供了 MATLAB 实现，让我能够比较它们的性能。此外，书中对 MATLAB 代码的编写风格和优化技巧的讲解也非常有价值。它鼓励使用向量化操作，避免循环，从而提高计算效率。这对于我编写高性能的数值计算程序至关重要。同时，书中对 Excel 的应用也展示了一种更轻量级的解决方案，对于一些不需要极致性能但要求快速部署的场景，Excel 的功能完全能够满足需求。例如，通过 Excel 的数组公式和条件格式，可以实现一些动态的数值模拟和可视化，这对于快速原型验证非常有帮助。总而言之，这本书是一本将理论严谨性与工程实践相结合的优秀著作，它不仅提升了我对数值分析的理解，更重要的是，它为我编写更高效、更可靠的数值计算代码提供了宝贵的指导。

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