Theory of Ordinary Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Krieger Pub Co

作者:Earl A. Coddington

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1984-06

价格:USD 73.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780898747553

丛书系列:

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《高等代数基础与应用》 本书导言： 在现代数学与科学的广阔图景中，抽象代数结构如同奠基石般支撑着分析学、几何学乃至理论物理学的宏伟建筑。本书《高等代数基础与应用》旨在为读者提供一个深入、严谨且富有启发性的代数世界入口，重点聚焦于群论、环论和域论的经典框架及其在现代数学分支中的关键作用。我们摒弃了过多侧重计算的初级代数技巧，转而强调概念的深刻理解、结构之间的内在联系以及从公理化视角看待代数对象的思维方式。 第一部分：群论的严谨构建 本书的开篇将全面、细致地铺陈群论的基石。我们从集合与映射的预备知识出发，随后引入群的公理化定义，详尽讨论群的性质，包括单位元、逆元、子群的判定与性质。 子群与陪集： 深入探讨子群的内部结构，特别是正规子群的定义及其在商群构建中的核心地位。陪集（左陪集与右陪集）的概念将被细致剖析，为拉格朗日定理的证明提供坚实基础。拉格朗日定理不仅是有限群理论的里程碑，更是理解群阶与子群阶之间关系的钥匙。 同态与同构： 群的结构保持映射——同态与同构——是区分和比较不同群结构的关键工具。本书将详细阐述核（Kernel）与像（Image）的性质，特别是第一同构定理（基本同构定理）的严谨证明及其在简化复杂群结构中的应用。我们将通过实例（如模群、对称群$S_n$、二面体群$D_n$）来阐释这些抽象概念的具体表现。 群的作用与Sylow定理： 群作用于集合的概念是连接抽象群论与具体问题的桥梁。我们将分析不动点集、轨道分解，并引入群作用在向量空间上的概念——表示论的萌芽。随后，本书将攻克有限群理论的巅峰之作——Sylow定理。我们将对三个Sylow定理进行透彻的分析和证明，展示它们如何系统性地揭示有限$p$-群的内在特征，并用于判断群的可解性。 特殊群的深入研究： 我们将专门章节讨论可换群（Abelian Groups）的结构定理，利用秩（Rank）的概念来完全描述有限生成阿贝尔群的结构。对于非阿贝尔群，我们将探讨中心、换位子子群（导群）与群的可解性之间的深刻关联。 第二部分：环论的代数拓扑 在群论的基础上，本书自然过渡到环论——代数结构中引入了乘法运算的复杂性。环是具有加法与乘法运算的代数对象，它允许我们更精细地描述数系、多项式、矩阵等结构。 环的基本结构： 我们将从环的定义、子环、理想（Ideals）的概念入手。理想在环论中的地位等同于正规子群在群论中的地位，是构造商环（Factor Rings）的必要条件。本书将详述商环的性质及其与同态定理的关系。 特殊类型的环与理想： 重点分析具有特殊性质的理想。我们将严格区分左、右、双边理想，并详细探讨整环（Integral Domains）的性质，特别是域的最小化结构。极大理想（Maximal Ideals）与素理想（Prime Ideals）的定义及其在构造商结构中的关键作用将被深入讨论，展示它们与素数、不可约元素概念的抽象对应。 整环、主理想环与唯一因子分解域： 这是一个结构逐渐收紧的序列。我们将分析欧几里得环（Euclidean Domains）的定义与性质，并证明所有欧几里得环都是主理想环（Principal Ideal Domains, PID）。随后，我们将探讨唯一因子分解域（Unique Factorization Domains, UFD）的概念，并证明如整数环$mathbb{Z}$和多项式环$F[x]$（$F$为域）的UFD性质。 多项式环的结构： 特别关注域上的多项式环$F[x]$，讨论其欧几里得性、PID性，以及不可约多项式的概念。这为后续在域论中构造扩张域打下坚实基础。 第三部分：域论与代数扩张 域是代数结构中最完备的一类，其理论在解决方程、构造几何结构中扮演核心角色。本书的第三部分专注于域的扩张和相关理论。 域与域扩张： 域的定义与基本例子（如有理数域$mathbb{Q}$、实数域$mathbb{R}$、有限域$mathbb{F}_p$）将被回顾。域扩张$E/F$的概念被引入，我们使用次数$[E:F]$来量化扩张的“大小”。 代数元与超越元： 详细讨论域扩张中元素类型的区分：代数元素与超越元素。我们引入最小多项式（Minimal Polynomial）的概念，并证明其存在性和唯一性（在首一性下）。 域的构造与中介域： 重点讨论如何通过添加代数元素来构造新的域，如$F(alpha)$。伽罗瓦理论的基石——复合域（Compositum Fields）的性质将被分析。特别关注伽罗瓦扩张的定义，即具有正规性和可分性的扩张。 伽罗瓦理论的威力： 本部分将以伽罗瓦理论的高潮收尾。我们阐述伽罗瓦群$ ext{Gal}(E/F)$的结构，以及伽罗瓦对应定理——域的中间域与群的子群之间的深刻且完美的对偶关系。我们将利用伽罗瓦理论解释为什么五次及以上的一般代数方程不能用根式求解这一经典问题。 本书特色与目标读者： 本书的撰写风格严谨、逻辑清晰，避免了不必要的计算冗余，强调理论的内在美感与结构性。每章末尾均附有难度分层的习题集，旨在巩固读者对抽象概念的掌握，并鼓励其探索代数结构的更深层次应用。 本书是为数学专业本科高年级学生、准备进入代数方向研究生学习的学者，以及对现代抽象数学结构有强烈兴趣的自学者所设计。阅读本书需要具备扎实的微积分和线性代数基础知识。通过本书的学习，读者将建立起一套坚实的现代代数思维框架，为进一步探索拓扑学、代数几何、数论中的高级代数结构做好充分准备。

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我花了整整一个周末的时间来攻克关于奇点稳定性的那一章，起初感到一阵阵挫败感袭来，因为书中的例题和练习题设置得颇具挑战性。它们不是那种“代入数值，得出答案”的练习，而更像是对理论理解的深度挖掘。例如，有一组关于具有非双曲鞍点的系统的小扰动分析，要求你不仅要计算出特征值，还要用规范形理论（尽管书中没有直接点明使用这个术语，但其思想贯穿其中）来论证平衡点的局部稳定性边界的精确形状。这种难度的设置意味着，如果你只是浅尝辄止地阅读，合上书本后什么也留不下。然而，正是这种“磨砺”，迫使我不得不回溯到前面的勒让德变换和不动点定理部分进行反复印证。这本书的优点在于，它从不回避数学分析中的“脏活累活”——那些繁琐但至关重要的细节推导。当你最终攻克一道难题后，那种豁然开朗的感觉，远胜于仅仅通过一个软件模拟得到的结果。它培养的不是计算能力，而是对数学逻辑严谨性的敬畏之心，以及面对复杂系统时，依然能保持清晰思路的韧性。

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最让我感到惊喜的是作者在引言和结论部分所流露出的那种对数学之美的执着。他不仅仅是在传授解题技巧，更是在描绘一个宏伟的数学世界观。在讨论周期解的存在性时，他引用了拓扑学的一些直观比喻，这些比喻虽然数学上可能并不完全严格，但在建立直觉方面具有不可替代的作用。这种叙事方式让原本枯燥的定理和引理有了一种“人情味”。这本书的魅力在于它的“诚实”——它承认了数学分析的难度，也歌颂了最终洞察真理的喜悦。它没有试图让微分方程听起来比实际简单，反而用最精炼的语言揭示了其内在的复杂性。因此，它不适合那些寻求快速解决方案的读者；但对于那些愿意沉下心来，真正想理解微分方程世界运行底层逻辑的求知者而言，它无疑是一部值得反复研读、常读常新的经典之作，每一次重读，都会在不同的层次上有所领悟。

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我发现这本书在处理边界值问题（BVP）和变分法方面的内容，相对来说处理得比较简练，这或许是它受限于特定年代的数学主流方向。虽然对常微分方程的解的存在性和唯一性给出了详尽的论证，特别是皮卡尔迭代法和更深入的延拓理论，但当我试图寻找更先进的数值稳定性分析，例如对刚性方程（Stiff Equations）的处理时，我需要借助其他更现代的专著来补充。这本书的重点显然更偏向于“纯分析”，它热衷于证明“存在性”和“定性行为”，而非“如何高效计算”。例如，在关于庞加莱截面方法的讨论中，作者详细阐述了其几何意义和局部分析能力，但对于如何利用截面信息构建可收敛的迭代方案，描述得较为模糊。因此，对于一个专注于计算科学和工程应用的研究者来说，这本书更像是一个坚实的理论基石，而不是直接的工具箱。它的价值在于让你明白：你所使用的数值方法，其背后支撑的是哪些深刻的数学定理，以及这些定理的局限性在哪里。

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这本书的排版和装帧，坦率地说，是那个时代产物的典型代表。字体偏小，行距也比较紧凑，很多数学符号的黑度不够均匀，偶尔还会让人在快速阅读时出现瞬间的“跳行”。如果你习惯了当代那些采用大量彩色图表、配有大量代码示例的现代教材，初次接触这本书可能会感到不适。它对图示的运用非常克制，几乎所有的洞察力都必须从密集的文字和符号推导中榨取出来。但奇妙的是，这种“匮乏”反而形成了一种独特的阅读体验。它强制性地将读者的注意力完全集中在数学陈述本身，不允许任何分散注意力的多媒体元素。当我不得不自己动手，在草稿纸上画出那些相轨线、计算向量场的方向时，书中的理论才真正‘活’了起来。这种主动构建几何图像的过程，比被动接受精美的插图要深刻得多。可以说，这本书要求读者贡献的“脑力劳动”远大于“眼力劳动”，它更像是一本需要被读者“再创作”的数学蓝图。

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这本书的封面设计，说实话，初看之下有些朴实得过分了，带着一种老派的教科书特有的严肃感。我是在一个研究生的推荐下找到它的，那位推荐人提到它在处理非线性系统的定性分析方面有独到之处。我原本是冲着寻找更现代、更侧重数值方法的资料去的，但翻开目录后，立刻被它对基本概念的扎实梳理所吸引。作者似乎花了大量的篇幅来确保读者对诸如相平面分析、奇点分类以及李雅普诺夫稳定性理论这些核心概念的理解是无懈可击的。举个例子，在讨论庞加莱-米尔斯定理的证明时，它没有直接给出那种经过高度提炼、让人望而生畏的现代演绎，而是循序渐进地引入了必要的拓扑工具，仿佛在引导一个初学者攀登一座高峰，每一步的落脚点都清晰可见。这种“慢工出细活”的叙述风格，对于那些希望打下坚实数学基础，而不是仅仅满足于会套用公式的读者来说，简直是福音。它更像是一部数学思想的传记，记录了这些深刻见解是如何一步步被构建起来的，而不是冰冷的应用手册。我尤其欣赏它在处理高维系统时的耐心，它没有急于跳到复杂的微分流形，而是通过巧妙的降维和对称性分析，将抽象的数学语言转化为可以被直观理解的几何图像。

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常微经典教材

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Stolen by Max the thundering dirt-bag freshman at Princeton. I'm now reduced to his house butler.

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