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出版者:Springer

作者:N. Jacobson

出品人:

页数:217

译者:

出版时间:1976-05-27

价格:USD 54.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387901817

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《群论基础：从经典到现代的结构探索》 本书概述 本书旨在为读者提供一个坚实且深入的群论基础，重点关注群的结构、性质及其在数学不同分支中的应用。我们从最基本的群的定义出发，逐步深入到更复杂的结构，如子群、陪集、正规子群、商群，并详细探讨了同态与同构的概念，为理解抽象代数的其他领域（如环和域）打下必要的理论基石。 第一部分：群的构建与核心概念 本书的开篇聚焦于群论最核心的概念。我们首先阐述了群的严格定义，包括封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性，并辅以大量来自数论、几何学和线性代数中的实例，帮助读者建立直观理解。 1.1 基础例子与初步性质 我们将系统考察几种重要的群族： 对称群 ($S_n$) 与二面体群 ($D_n$)： 详细分析有限置换群的结构，探讨它们的阶、生成元以及运算的本质。对 $S_3$ 和 $D_4$ 的具体分析将是理解更大数据群的基础。 整数加法群 ($mathbb{Z}$) 与模整数加法群 ($mathbb{Z}_n$)： 阐明无限阿贝尔群和有限阿贝尔群的性质，为后续引入循环群做铺垫。 一般线性群 ($ ext{GL}_n(F)$)： 引入矩阵群的概念，这是连接代数与线性代数的重要桥梁，特别是对于理解群在几何变换中的作用至关重要。 在这一部分，我们将推导出群论中的基本引理，例如单位元和逆元的唯一性，以及元素乘法相关的消去律等。 1.2 子群、陪集与拉格朗日定理 子群是群结构分析的第一步。本书详细定义了子群，并探讨了判定子群的充要条件（如二步检验法）。随后，我们引入了群作用于自身的关键工具——陪集。 拉格朗日定理——一个关于有限群子群阶数与群阶数关系的基石——将被严格证明。这一证明将展示出有限群结构内部的深刻规律性。在此基础上，我们将定义左陪集和右陪集，并分析它们在划分群成员方面的作用。 1.3 正规子群与商群的构造 理解群的“因子分解”是抽象代数的核心挑战之一。我们通过引入正规子群的概念来解决这个问题。正规子群是那些与陪集结构兼容的特殊子群，它们的特性使得我们可以在其上构造出代数结构——商群（或因子群）。 本书将详细论证商群的良定义性（即运算不依赖于特定代表元的选取），并阐述商群如何通过“收缩”原群的元素来产生一个结构更简单的新群。我们将用例子展示如何从 $mathbb{Z}$ 构造 $mathbb{Z}_n$，以及如何通过 $D_4$ 的正规子群得到更小的群。 第二部分：同态、同构与结构分解 第二部分将群的内部结构关系提升到更抽象的层面，探讨群之间的映射关系以及群的结构分解。 2.1 群同态与同构 同态（Homomorphism） 是保持群运算的映射，它是连接两个不同群结构的桥梁。我们深入分析同态的性质，特别是其核（Kernel） 和像（Image）。核是一个特殊的正规子群，它的存在性与商群的构造紧密相关。 同构（Isomorphism） 被定义为可逆的同态，它表明两个群在结构上是“等价”的。通过同构的概念，我们可以识别出那些表面形式不同但内在结构完全相同的群，这是代数分类学的核心。 2.2 群同态基本定理 群同态基本定理（或称第一同构定理）是群论中最强大且最常被引用的结果之一。本书将给予其详尽的证明和解释，清晰地展示了以下关系： $$ ext{Quotient Group} cong ext{Image of Homomorphism}$$ （商群同构于同态的像）。这一定理将第一部分中关于正规子群和商群的构造，与第二部分中关于同态和同构的抽象概念完美地统一起来。 2.3 循环群与生成元 我们将专门辟章分析循环群——由单个元素生成的群。对于循环群，其结构完全由生成元的阶决定。我们将证明所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或某个 $mathbb{Z}_n$。这极大地简化了有限阿贝尔群的分类问题。 第三部分：对有限群结构的深入探究 本部分将集中于更高级的有限群结构分析工具，为后续学习提供必要的理论储备。 3.1 群的作用与轨道-稳定子定理 群作用（Group Action） 是理解群如何作用于集合上的强大框架。我们定义了群作用的公理，并分析了作用所产生的轨道（Orbits） 和稳定子（Stabilizers）。 轨道-稳定子定理（$|G| = | ext{Orbit}| imes | ext{Stabilizer}|$）是连接群的阶、集合元素轨道大小和对应稳定子大小的关键公式。该定理在处理诸如计数问题（如Burnside引理的应用预备）和识别群的中心（Center of a Group）时具有无可替代的价值。 3.2 群的直积与半直积 为了构建更复杂的群，我们需要了解如何组合已知的群结构。我们将介绍直积（Direct Product），它描述了两个群在“独立”操作下的组合。随后，我们将探讨更为灵活的半直积（Semi-Direct Product），它允许一个群在另一个群的“作用下”进行组合，这对于识别非阿贝尔群的精确结构至关重要，例如在构造二面体群时，半直积的概念提供了清晰的视角。 总结 本书通过对群论基本概念的严格定义、关键定理的详细证明，以及丰富的、跨学科的例子支撑，确保读者不仅掌握了群论的“如何做”，更能深入理解其“为何如此”。完成本书的学习，读者将具备分析复杂代数结构和运用抽象代数工具解决实际问题的能力。

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《抽象代数导论》这本书，给我最大的感受就是它的“系统性”和“启发性”。作者在讲解群论时，从最基本的群公理开始，一步步构建起一个完整的理论体系。我对作者在引入子群、陪集、正规子群等概念时，是如何与群的运算性质紧密联系起来的讲解印象深刻。这种“关联性”的讲解方式，让我能够更好地理解概念之间的内在逻辑。书中对循环群的分类，以及有限生成阿贝尔群的结构定理的阐述，都展现了作者对代数结构的深刻洞察。在进入环和域的章节时，作者同样保持了高质量的讲解。他对理想的定义、性质以及如何利用理想构造商环，从而理解同态定理，这一系列操作都非常有条理。我尤其欣赏作者在书中穿插的一些历史典故和应用背景介绍，这让我在学习抽象概念的同时，也能感受到数学发展的脉络和其在现实世界中的重要性。虽然完成这本书需要投入大量的时间和精力，但我认为，每一次的阅读和思考，都是一次对数学思维的打磨和提升。这本书不仅仅是一本优秀的教科书，更是一本能够激发读者对数学无限好奇心的“启蒙之书”。

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这本书《抽象代数导论》给我的感觉就像是在攀登一座宏伟的数学山峰，虽然山顶的风景还未完全展现，但沿途的风景已经足够令人震撼。作者在讲解群论的部分，从最基础的群公理开始，层层递进，引入了诸如拉格朗日定理、西罗定理等重要的工具。我特别喜欢作者在引入这些定理时，不仅仅是给出了陈述和证明，更重要的是解释了这些定理的“为什么”和“有什么用”。他会从历史发展的角度，或者从解决特定问题的角度来介绍定理的起源，这让学习过程不再枯燥，而是充满了探索的乐趣。例如，在解释西罗定理时，作者通过一些具体的例子，展示了该定理如何在确定有限群的结构方面发挥关键作用，这比仅仅背诵定理的条文要有效得多。此外，这本书对环和域的介绍也同样出色，它清晰地阐述了这些结构之间的联系和区别，以及它们在数论和代数几何等领域中的应用。我印象深刻的是，作者在讲解理想时，是如何将其与子群联系起来，并逐步引向商环和同态定理的，这种循序渐进的教学方式，使得复杂的概念变得易于理解。尽管我承认，某些部分的确需要花费相当多的时间去消化，但每一次的“豁然开朗”都带来了巨大的成就感。这本书为我构建了扎实的抽象代数知识体系，也点燃了我对数学更深层次的好奇心。

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从读者的角度来看，《抽象代数导论》这本书，是一场精心设计的数学发现之旅。作者的叙述风格，不是那种高高在上的理论灌输，而是更像一位引路人，耐心地为我们打开认识抽象代数的大门。在群论的开篇，作者并没有直接抛出复杂的定义，而是从一些具象的例子，比如对称群，来引导我们理解群的本质。我对作者在讲解同态和同构时，如何运用映射和结构保持的性质来连接不同的代数系统的方式印象深刻。这让我理解了“结构”在数学中的重要性，以及如何通过研究结构来理解数学对象。在引入环和域时，作者同样展现了其教学的智慧。他对理想的定义，以及如何利用理想来构造商环，从而理解同态定理，这一系列的操作，让我感受到了数学的内在逻辑和创造力。虽然这本书中的某些证明，比如关于西罗定理的证明，确实需要花费相当多的时间和精力去反复琢磨，但每一次的突破，都带来了难以言喻的成就感。这本书不仅传授了知识，更重要的是，它培养了我独立思考和解决数学问题的能力，让我对抽象代数这门学科产生了更浓厚的兴趣和敬畏之情。

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我必须说，《抽象代数导论》这本书，彻底改变了我对数学的看法，也为我打开了理解更高级数学概念的大门。作者在讲解群论时，从最基本的群公理出发，逐步引入了子群、正规子群、陪集、同态和同构等核心概念。我非常喜欢作者在引入这些概念时，所使用的那些精心挑选的例子，比如对称群、整数的加法群等，它们让抽象的概念变得容易理解和消化。对拉格朗日定理、西罗定理的解释，作者都力求做到深入浅出，并且会强调这些定理在分类和研究群结构中的重要作用。在进入环和域的章节时，作者同样展现了其非凡的教学能力。他对理想的定义和性质的阐述，以及如何通过商环来理解同态定理，都让我对代数结构有了更深刻的认识。尽管这本书中的某些证明，特别是涉及到更复杂的定理时，确实需要花费大量的时间去反复推敲和理解，但每一次的“顿悟”都带来了巨大的学习动力。这本书不仅仅是一本知识的载体，更是一门关于如何进行数学思考和如何构建数学理论的课程。它让我学会了如何去严谨地思考，如何去清晰地表达，以及如何从看似杂乱无章的数学概念中提炼出优雅的结构。

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《抽象代数导论》这本书，给我的整体感觉是严谨、系统且富有启发性。作者在讲解群论时，从最基础的定义，到群的分类、群作用等，都进行了详尽的阐述。我尤其欣赏作者在介绍拉格朗日定理时，是如何通过陪集来证明其核心结论的，这种方法不仅逻辑清晰，而且具有很强的直观性。同时，书中对循环群和有限生成阿贝尔群的深入分析，也让我对特定类型的群有了更深入的理解。在进入环和域的章节时，作者同样保持了高水准的讲解。他详细介绍了理想的性质，以及如何利用理想来构造商环，并通过同态定理展示了代数结构之间的深刻联系。我特别赞赏作者在处理一些证明时，会给出不同的证明思路，这有助于读者从多个角度去理解和掌握。虽然这本书的某些部分，尤其是涉及更复杂的定理证明时，对读者的数学功底有较高的要求，但我认为，这正是这本书的价值所在。它不仅仅是一本教材，更是一本能够帮助读者提升数学思维能力，培养严谨数学态度的“修行手册”。每一次的学习，都感觉自己对抽象代数的理解更上一层楼，也让我对数学这门学科的魅力有了更深的体会。

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《抽象代数导论》这本书，在我看来，是一次对数学思维进行深度洗礼的绝佳体验。作者在梳理代数结构时，展现了一种近乎艺术的逻辑编排。从群论的开端，作者并没有急于引入过于复杂的概念，而是先从置换群、整数加法群等易于理解的例子入手，帮助读者建立对“群”这个基本概念的直观认识。随后，他巧妙地将子群、陪集、正规子群以及这些概念之间的关系一一剖析，并引入了群同态和同构的概念。我尤其欣赏作者在解释同态定理时所采用的类比和图形化方法，这使得原本抽象的映射关系变得生动起来。在进入环和域的章节时，作者同样延续了这种严谨而又清晰的风格。他详细阐述了理想的性质，以及如何利用理想来构造新的环，比如商环。这些构造性的方法，让我看到了代数工具的强大力量。虽然这本书的某些证明和论证需要读者具备相当的耐心和细致，但每一次的攻克，都会带来一种思维上的飞跃。作者在字里行间透露出的对数学的热情和深刻理解，也感染了我，让我更加愿意投入时间和精力去探索其中蕴含的智慧。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种数学思考方式的启蒙，它让我学会如何从抽象的定义中提炼出核心思想，并将其应用于解决问题。

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《抽象代数导论》这本书，对我而言，是一次极具挑战但也极其 rewarding 的学习体验。作者以其独特的视角，将抽象代数中的核心概念，如群、环、域，娓娓道来。在群论部分，作者从最基本的群公理开始，循序渐进地引入了子群、陪集、正规子群、同态和同构等概念。我特别欣赏作者在引入群作用时，如何通过置换群和矩阵群的例子，生动地展示了群在几何和线性代数中的实际应用，这让我对抽象概念的实际意义有了更直观的理解。此外，本书对有限群的分类，以及西罗定理的介绍，虽然具有一定的难度，但作者的讲解方式，尝试将复杂的证明分解为若干个小步骤，并辅以清晰的解释，这极大地帮助了我克服了理解上的障碍。在环和域的章节，作者同样展现了其深厚的功底。对多项式环、整环、域的定义和性质的详细阐述，以及它们在数论和伽罗瓦理论中的重要作用，都让我对代数结构有了更全面和深刻的认识。虽然完成这本书需要投入大量的时间和精力，但每一次的阅读和思考，都让我感觉自己在数学的理解上又前进了一大步。这本书无疑是一部优秀的著作，它为我对抽象代数的深入研究奠定了坚实的基础。

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《抽象代数导论》这本书，在我看来，是一本真正意义上的“导论”。作者以一种非常温和且系统的方式，引领读者进入了抽象代数的世界。在群论的起始阶段，作者并没有回避难度，而是从群的定义、子群、陪集，一直讲到正规子群和同态。我个人非常欣赏作者在介绍这些概念时，所选用的例子都非常具有代表性，比如对称群、以及整数模n加法群等，这些例子帮助我建立了对抽象概念的直观认识。对拉格朗日定理和西罗定理的讲解，作者都力求做到清晰透彻，并会适时地指出这些定理在理解群结构时的重要性。在环和域的章节，作者同样保持了严谨的风格。他对理想的定义，以及如何利用理想来构造商环，进而理解同态定理，这一系列的推导都非常有条理。尽管我承认，书中某些部分，例如更复杂的证明，确实需要投入相当多的时间和精力去消化，但我认为，这正是这本书的价值所在。它不仅仅是知识的传递，更重要的是，它帮助我培养了一种严谨的数学思维方式，以及解决复杂数学问题的能力。这本书是通往更深层次数学学习的绝佳跳板。

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这部《抽象代数导论》真是一次令人振奋的学术探索之旅，虽然我还没能深入到每一个定理的证明细节，但这本书所展现的数学之美和严谨性已经深深地吸引了我。作者的讲解风格仿佛一位经验丰富的向导，他巧妙地引导读者穿越抽象代数的广阔天地，从群论的基础概念，如群的定义、子群、陪集、正规子群，到同态和同构的精妙联系，再到更复杂的结构，如环和域，每一步都充满了逻辑的清晰和洞察力。我尤其欣赏书中那些精心挑选的例子，它们不仅仅是为了说明概念，更是为了帮助我们建立直观的理解，将那些看似抽象的符号和定义具象化。例如，在讨论对称群时，作者通过对称操作的组合生动地展示了群的性质，这让我对抽象代数在几何和物理学中的应用有了初步的认识。虽然有些证明需要反复推敲，但每一次的钻研都让我对数学的深刻性有了更深的敬畏。这本书不仅是一本教材，更是一扇通往数学核心思想的窗户，它激发了我进一步学习和探索的欲望，让我对那些看似遥不可及的数学理论产生了浓厚的兴趣。我想，对于任何一个希望理解现代数学基石的读者来说，这本书都是不可或缺的起点，它如同一个启蒙者，用智慧的光芒照亮了我们前行的道路。我期待着在未来的学习中，能够更深入地领会这本书所蕴含的深刻思想，并将其应用于更广泛的数学领域。

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这本《抽象代数导论》给我的感受，就像是在接受一位经验丰富的大师的悉心指导，引领我一步步走进抽象代数那精妙绝伦的世界。作者在引入群论的概念时，非常注重基础的构建，从群的定义、子群的性质，到陪集和正规子群的引入，每一步都非常稳健。我个人特别喜欢作者在讲解拉格朗日定理时，是如何从陪集的不相交性和有限性出发，自然而然地导出了阶数的关系。这种“自然而然”的推导过程，让定理的记忆和理解变得更加深刻。书中对循环群的深入分析，以及它们在理解更一般群结构中的作用，也给我留下了深刻的印象。随后，作者将目光转向了环和域，并清晰地阐述了它们与群之间的联系和区别。对理想的定义和性质的探讨，以及如何通过商环来理解同态定理，这些内容都展现了作者高超的教学技艺。尽管某些部分的证明，例如西罗定理的证明，对于我来说还需要反复阅读和思考，但每次的深入理解都带来了巨大的满足感。这本书的严谨性和深度，无疑为我打下了坚实的抽象代数基础，也激发了我对数学更深层次的探索热情。我迫不及待地想将这些知识应用到更多的数学问题中，去发现更多的数学之美。

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