数学.基础版第三册教学参考(修订本)/乔家瑞 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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深度探索：代数、几何与数论的经典交汇 《现代数学基础与前沿研究》 卷首语： 本册汇集了代数拓扑、抽象代数、分析几何以及数论中的若干核心概念与最新进展。我们致力于构建一座坚实的理论桥梁，连接本科阶段的严格训练与研究生阶段的深入研究，旨在为有志于数学理论探索的读者提供一个既严谨又富有启发性的知识框架。本书的编写风格力求清晰、详尽，注重概念的起源、关键定理的证明及其在不同数学分支间的相互渗透。 第一部分：拓扑空间与连续性 第一章：拓扑空间的构造与基本性质 本章从集合论的基础出发，引入拓扑空间的概念，明确开集、闭集、邻域和基的概念。我们详细探讨了拓扑的定义及其等价条件，特别是通过闭集族、邻域系统来定义拓扑结构。重点解析了子空间拓扑、商拓扑的构造方法，并对乘积拓扑在有限和无限维情境下的性质进行了详尽的讨论。 1.1 拓扑的公理化定义与例子： 讨论了离散拓扑、平凡拓扑、欧几里得拓扑，并引入了度量空间作为定义拓扑的一种特殊方式。 1.2 连续性与开闭映射： 严格定义了函数在拓扑空间间的连续性，并阐述了开映射、闭映射与同胚的概念。通过具体的例子（如球面与圆的拓扑等价性）来巩固同胚的概念。 1.3 连通性与紧致性： 连通性被视为拓扑空间的一个全局性质。本节深入探讨了路径连通性与连通性的关系，并对紧致性（由 Heine-Borel 定理引申）进行了详尽的分析，特别关注紧致集在连续映射下的像的性质。 第二章：分离公理与完备性 分离公理是区分不同“良好”拓扑空间的关键工具。本章系统梳理了 $ ext{T}_1, ext{T}_2$（Hausdorff）、正则（$ ext{T}_3$）和完全正则（$ ext{T}_4$）公理的逻辑关系及其在函数空间中的重要性。 2.1 $ ext{T}_i$ 分离公理的深入分析： 重点证明了完备的度量空间一定是可微空间的充分必要条件，并讨论了紧致性与分离公理的交集（例如，紧致的 Hausdorff 空间是正规的）。 2.2 度量空间的完备性： Cauchy 序列的概念是分析学的基石。本章详细讲解了完备度量的概念，并以 Baire 分类定理（Baire Category Theorem）作为研究非空完备度量空间结构强度的里程碑。 第二部分：抽象代数的核心结构 第三章：群论的深入拓展 本章超越了基础群论的介绍，聚焦于群作用、Sylow 定理的应用以及有限交换群的结构。 3.1 群作用与轨道-稳定子定理： 详细分析了群作用在集合上的划分，并利用轨道-稳定子定理计算了特定对称群的性质。 3.2 Sylow 定理及其在有限群分类中的作用： 提供了 Sylow 第一、第二、第三定理的完整证明，并利用这些定理来确定特定阶数的群（如阶为 $p^2q$ 的群）的结构，为群的分类打下基础。 3.3 交换群的结构定理： 证明了有限生成阿贝尔群的结构定理，强调了初等因子理论在分解群结构中的关键作用。 第四章：环与域的现代视角 本章侧重于理想的结构、域的扩张以及同态的深入性质。 4.1 Noetherian 环与 Artinian 环： 引入了理想升链条件（ACC）和理想降链条件（DCC），分析了 Noetherian 环与 PID（主理想整环）之间的关系，并讨论了 Artinian 环的结构。 4.2 域扩张与伽罗瓦理论的初步： 域扩张是连接代数与几何的关键。本节详细阐述了代数扩张、正规扩张和可分扩张的定义。随后，引入了伽罗瓦群的概念，并初步探讨了伽罗瓦对应（Galois Correspondence）的构造，为求解五次以上方程提供了理论框架。 第三部分：微分几何与流形基础 第五章：光滑流形与切空间 本章旨在提供一个研究光滑结构的数学框架，这是现代物理学和几何学的基础。 5.1 流形的定义与例子： 从局部坐标系、图册和转移映射的角度严格定义了 $n$ 维光滑流形，并以球面 $mathbb{S}^n$、环面 $mathbb{T}^2$ 和射影空间 $mathbb{RP}^n$ 为例进行解析。 5.2 切向量场与张量代数： 详细介绍了切空间 $T_pM$ 的构造，并阐明了它如何成为一个向量空间。本节深入探讨了张量场的概念，包括协变张量和反变张量，以及李括号（Lie Bracket）作为切向量场之间非交换运算的定义。 5.3 向量场、微分形式与积分： 讨论了向量场在流形上的积分曲线，并引入了微分 $k$ 形式。通过外导数 $d$ 算子，为 De Rham 上同调的引入做铺垫。 第四部分：解析数论与函数域 第六章：解析数论：分布与密度 本章聚焦于利用复分析工具研究整数的分布规律。 6.1 黎曼 $zeta$ 函数的性质： 从解析函数的角度重访 $zeta(s)$，详细分析了其在复平面上的解析连续、函数方程以及平凡零点。重点在于 $zeta$ 函数零点分布与素数分布的联系。 6.2 素数定理的深入论证： 提供了素数计数函数 $pi(x)$ 的渐近估计的更精确版本。本节将 $pi(x) sim ext{Li}(x)$ 的证明框架分解为几个关键的复分析步骤，强调了欧拉乘积公式的解析延拓作用。 第七章：代数几何的萌芽：簇与有理点 本章将代数结构与几何对象相结合，介绍代数簇的基本概念。 7.1 仿射代数集与理想： 引入 Hilbert 零点定理，建立多项式环与仿射空间中代数集的对偶关系。讨论了素理想与不可约集的对应关系。 7.2 域的扩张与Hasse-Minkowski 定理： 从二次型和扔掉局部性的角度，探讨了有理数域上的方程解的存在性问题。Hasse-Minkowski 定理（局部-全局原理）作为核心，展示了模算术在决定全局解集时的强大威力。 结语： 本书旨在提供一个严谨、深入且具有前瞻性的数学视角。通过对这些交叉领域的细致梳理，读者将能够掌握现代数学研究中常用的工具箱，并为进一步探索代数几何、拓扑动力学或更深层次的数论问题做好准备。我们期望本书能成为读者通往更高深数学殿堂的有力阶梯。

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这本书的“修订本”标签绝非浪得虚名，我能明显感觉到它在内容更新和教学理念契合度上的努力。现在的数学教育越来越强调核心素养的培养，而这本书在设计练习和讨论题时，显然紧密围绕着这一点来展开。那些开放性的思考题，真的很能激发学生的学习兴趣，它们常常将看似孤立的数学概念联系起来，迫使读者进行跨章节的整合性思考。我特别欣赏作者在章节末尾设置的“知识回顾与拓展”部分，它不仅仅是对本章内容的简单总结，更像是一座桥梁，将读者自然而然地引向下一阶段的学习内容，这种前瞻性的设计极大地增强了学习的连贯性。对于备课的老师来说，书中提供的多种解题路径和评价标准，无疑大大减轻了他们的工作负担，也为课堂讨论提供了丰富的素材和更灵活的教学策略。这感觉就像是手握了一份经过无数次打磨和验证的、充满智慧的教学蓝图。

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这本书的装帧质量和细节处理，体现出一种对知识的敬畏感。书脊的支撑力很好，即便是平摊在桌面上，也不会有合上的趋势，这对于需要对照参考或者做笔记的学习者来说，是一个非常人性化的设计。再者，虽然我关注的重点是内容，但不得不提，这种高品质的印刷保证了公式中的上下标和特殊符号的清晰度，这在高等数学的学习中至关重要，一个看错的下标可能就会导致整个推导过程的错误。此外，这本书在引用外部资源或给出历史背景介绍时，也做得非常审慎和准确，它让数学不再是孤立的符号游戏，而是与人类历史和智慧发展紧密相连的一部分。这种全方位的精心打磨，使得《数学.基础版第三册教学参考(修订本)》不仅仅是一本工具书，更像是一件值得珍藏的、能陪伴学习者度过重要阶段的知识伙伴。它的存在，让“基础”二字，充满了深度和期待。

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这本书的封面设计真是让人眼前一亮，那种沉稳又不失活力的色彩搭配，一下子就把我对数学学习的那些陈旧印象冲散了。拿到手里，能感受到纸张的质感非常棒，摸起来挺舒服的，这对于需要反复翻阅的参考书来说太重要了。内页的排版也看得出是用心了，字体大小和行间距的把握恰到好处，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到特别疲劳。我个人特别欣赏它在章节结构上的逻辑性，每一个知识点的引入都像是循序渐进的引导，不会让人在半路就感到迷失方向。对于那些复杂的公式和定理，作者似乎总能找到一个既严谨又不失生动的阐述方式，这对于我们这些在学习过程中经常与“抽象”二字搏斗的人来说，简直是福音。尤其是那些插图和图表的制作，不仅清晰明了，而且很多时候它们本身就扮演了解释概念的角色，比纯文字的描述更加直观有力。总的来说，这本书在视觉和触觉上都给人一种高质量的享受，光是放在书架上，都觉得能为整个阅读环境增添一份严谨而又令人向往的学习氛围。

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从阅读体验上来讲，这本书的语言风格是极其克制而又充满力量的，它没有使用太多花哨的辞藻，而是用最精准、最简洁的数学语言来构建知识体系，这非常符合严谨的学术要求。然而，这种克制之下，却蕴含着对教育本质的深刻洞察。它在处理一些容易引起混淆的概念时，会特别用心地加入对比和辨析，比如在讲述极限与无穷小的关系时，那种细致入微的区分，让人再也不会在以后的学习中感到困惑。我喜欢它那种“以不变应万变”的教学态度，既尊重数学的经典体系，又不过分迎合短暂的教育潮流，保证了知识的稳定性和长久价值。这本书读起来让人感到踏实，你知道你所学到的每一个点，都是经过深思熟虑、站得住脚的真知灼见。它不是那种读完就忘的快餐式读物，而是需要静下心来，慢慢咀嚼，才能体会到其中韵味的经典之作。

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我一直觉得，一本优秀的教学参考书，其核心价值在于它是否真的能成为教师和自学者的“知心朋友”，这本书在这方面做得相当出色。它的内容深度和广度把握得非常精准，既涵盖了基础知识的夯实，又巧妙地融入了对更深层次数学思想的探讨。我尤其喜欢它在例题解析上的处理方式，那种层层剥茧、细致入微的分析过程，简直就像是一位经验丰富的老教师在你耳边手把手地教导。它不仅仅是给出了标准答案，更重要的是，它展示了解决问题的不同思路和潜在的陷阱，这点对于培养学生的批判性思维至关重要。很多时候，我读完一个章节的例题解析，会有一种豁然开朗的感觉，原来这道题还可以从这个角度去切入！此外，书中对一些经典难题的剖析，也展现了作者深厚的学术功底和教学智慧，它没有停留在教科书的表面，而是深入挖掘了这些问题背后的数学原理和应用背景，使得学习过程不再是机械的记忆和套用，而是一种主动的探索和理解。

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