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isbn号码:9787810856690

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飞跃思维的阶梯：当代高等数学精讲与应用 书籍信息： 书名： 飞跃思维的阶梯：当代高等数学精讲与应用 作者： [虚构作者A]，[虚构作者B] 出版社： 蓝天科学技术出版社 出版时间： 2024年秋季版 ISBN： 978-7-5063-XXXX-X --- 卷一：数学思维的重塑与基础巩固 第一章：预备知识的深度回溯与现代视角 本章旨在为读者搭建坚实的数学思维基础，并非简单重复高中数学知识，而是以大学数学的严谨性重新审视这些概念。我们从集合论的公理化视角切入，探讨现代数学的基石。重点分析实数系的完备性，如何通过戴德金截（Dedekind Cuts）或柯西序列的等价关系构建 $mathbb{R}$，这对于后续微积分中极限的严格定义至关重要。 我们细致探讨了函数概念的抽象化——从直观映射到笛卡尔积上的二元关系。本章特别辟出“逻辑推理与证明方法”一节，详细阐述了数学归纳法（包括强归纳法和弱归纳法）的内在机制，以及反证法、构造法在初等数论和集合论问题中的灵活运用。对于初学者常感困惑的“充分必要条件”的辨析，我们引入了真值表和逻辑蕴含的严谨定义，确保读者能够清晰地区分不同陈述间的逻辑关系。 第二章：极限——连续性的灵魂拷问 极限是整个微积分体系的逻辑起点，也是最具挑战性的概念之一。本章超越了ε-δ语言的机械套用，深入探究极限的内在哲学意义——“无限逼近”在有限时间内的精确表达。 我们首先完整阐述了数列极限的 $varepsilon-N$ 定义，并辅以大量几何直观图景来辅助理解。随后，我们引入了柯西收敛准则（Cauchy Criterion for Convergence），并证明了有界单调序列必收敛的定理，这为后续函数的连续性奠定了不可动摇的基础。 对于函数极限，本章重点分析了双侧极限、单侧极限、无穷大极限的精确定义，并详细剖析了极限的四则运算法则及其适用前提（如除数不为零的严格性）。高阶部分，我们深入讨论了广义极限的概念，包括在拓扑空间中极限的推广思路，为未来学习泛函分析打下初步概念基础。 第三章：连续性与间断点的精妙分析 基于第二章的极限基础，本章系统考察函数的连续性。我们从点态连续推广到区间连续，并详细分析了闭区间上连续函数的三大核心性质：有界性、最大最小值定理（Weierstrass Theorem）和介值定理（Intermediate Value Theorem）。这些定理的证明过程是理解数学分析严谨性的绝佳范例。 在不连续性的分类上，本章进行了细致的梳理。除了第一类可去间断点和跳跃间断点外，我们专门探讨了第二类间断点的复杂性，特别是那些病态的、难以用基本函数表达的震荡型间断点（如 Dirichlet 函数），帮助读者建立对函数病态行为的直观认识。最后，我们简要介绍了一致连续性的概念，并证明了在紧致集上，连续函数必然一致连续的结论，强调了区域性质对函数行为的决定性影响。 --- 卷二：微积分的动态世界——微分学与积分学 第四章：导数——瞬时变化的量化描述 本章将导数视为连接代数与分析的桥梁。我们首先从平均变化率过渡到瞬时变化率，给出了导数的正式定义，并探讨了导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）。 微分学方法论的精髓在于其运算技巧。本章系统梳理了基本的导数公式，并重点解析了复合函数求导法则（链式法则）的深度应用。对于超越函数，如指数函数、对数函数的推广（如任意实数次幂），我们展示了如何利用对数求导法来处理复杂的乘积、商和幂运算。 本章的亮点在于对高阶导数及其应用的阐述，特别是洛必达法则（L'Hôpital's Rule）的严格推导——它必须在特定条件下（导数存在且分母导数不为零）才能使用，这与初学者常犯的错误形成了鲜明对比。我们还探讨了隐函数求导和参数方程求导，为后续曲面分析做准备。 第五章：微分中值定理与泰勒展开的威力 中值定理是微积分中论证能力最强的工具。本章开篇即是罗尔定理（Rolle’s Theorem）的几何阐释，随后引出更具普遍意义的拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem）及其几何意义。我们详细演示了中值定理如何被用于证明不等式和分析函数单调性。 随后，本章的核心转向泰勒定理。我们不仅给出了泰勒公式的精确表达式，更重要的是，深入分析了拉格朗日余项和佩亚诺余项的性质和适用场景。这使读者能够精确评估用多项式逼近原函数的误差。本章通过大量实例展示了如何利用泰勒展开式来计算极限（例如，使用误差项分析，而非仅仅是洛必达法则），并讨论了函数展开的唯一性问题。 第六章：不定积分的求解策略与技巧 不定积分作为微分的逆运算，其求解策略远比求导复杂。本章将不定积分的求解分为几大类，并提供了清晰的解题框架： 1. 直接积分法与线性性质：对基本积分公式的熟练应用。 2. 变量代换法（Substitution Rule）：强调如何选择合适的代换变量 $u$，这是解决复杂积分的关键。本节包含对三角代换、指数代换的详细讨论。 3. 分部积分法（Integration by Parts）：深入剖析 $u$ 和 $dv$ 的选择策略，特别是对于涉及对数或反三角函数的积分。我们特别介绍了“循环分部积分法”的应用。 4. 有理函数积分：详细介绍部分分式分解法的构造步骤，包括对重根和不可约二次三项式分母的处理。 第七章：定积分——面积、弧长与累积效应 本章将定积分从其黎曼和的定义提升到实际应用的层面。我们从黎曼和的严格定义出发，证明了连续函数在闭区间上可积性，并阐述了牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）的深刻内涵——它将微分与积分这看似相反的操作紧密地联系在一起。 定积分的应用范围极为广泛： 几何应用：计算平面图形的面积（包括旋转体体积、弓形面积）。 物理应用：计算变力所做的功、压力、质心、转动惯量等。 更进一步的应用：本章引入了弧长的计算公式，并简要介绍了功的计算中，如何利用定积分处理沿着曲线变化的力场做功的问题。 --- 卷三：多维空间的探索与扩展 第八章：多元函数与偏导数的几何直觉 本卷将分析的舞台扩展到 $mathbb{R}^n$ 空间。我们首先明确了多变量函数的定义域、值域，并引入了三维空间中的偏导数概念。偏导数的几何意义是至关重要的：它代表函数曲面在特定方向上的瞬时变化率（即偏切线斜率）。 本章详尽解释了可微性与偏导数存在性的区别——一个函数可能存在所有偏导数，但仍不连续或不可微。我们给出了多元函数可微的严格 $Delta z$ 表达式，并证明了若二阶偏导数连续，则一阶偏导数必可微，从而保证了偏导数的混合次序无关性（ Clairaut 定理的推广）。 第九章：多变量链式法则与方向导数 链式法则是处理复合多元函数的关键。本章提供了分层级的链式法则公式，特别是对于标量函数 $f(x, y)$ 依赖于中间变量 $t$ 的情况，以及函数依赖于多个中间变量的复杂情形。 随后，我们引入了梯度（Gradient）这一核心向量场概念。梯度向量不仅指明了函数增长最快的方向，其模长也正等于该方向上的方向导数。本章通过大量实例展示了如何利用梯度来求解空间曲面上的法线方向，这直接为接下来的切线和平面的计算铺平了道路。 第十章：多重积分——体积、质量与累积效应的深化 多重积分是对定积分概念的自然推广。本章首先定义了二重积分（在 $mathbb{R}^2$ 上的体积计算），并通过迭代积分（Fubini 定理的初步应用）展示了其计算方法。我们重点分析了在笛卡尔坐标系下，积分区域的描述与积分次序的选择对计算难度的影响。 接着，我们引入了坐标变换的强大工具：极坐标变换。我们详细推导了面积微元 $dA$ 在极坐标系下的变换因子——雅可比行列式（$r$），并演示了如何利用极坐标简化扇形、圆形区域上的积分。 更高阶的扩展部分，本章介绍了三重积分的概念，它用于计算四维空间中的超体积，或者在三维空间中对质量密度函数进行积分以求总质量。我们同样探讨了柱坐标和球坐标下的雅可比式，强调了这些变换在处理圆柱体和球体积分时的不可替代性。 --- 结语：从计算到抽象的飞跃 《飞跃思维的阶梯：当代高等数学精讲与应用》旨在提供一个严谨、深刻且面向应用的数学学习路径。本书的核心价值在于，它不仅教授读者“如何计算”，更专注于解释“为什么这样计算”。通过对极限的深刻理解、对中值定理的逻辑剖析，以及对多重积分中坐标变换本质的揭示，本书力求帮助读者建立起强大的数学直觉和严密的逻辑推理能力，为未来深入学习物理学、工程学、经济学乃至计算机科学中的复杂模型打下坚实的高等数学基础。本书的结构设计确保了读者在掌握计算技能的同时，能够真正领悟高等数学作为现代科学语言的魅力所在。

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这本书的封面设计倒是挺吸引人的，深蓝色的背景搭配烫金的“机械制图习题集”几个大字，给人一种严谨、专业的视觉感受。我刚拿到的时候，就迫不及待地翻开看了看。它的纸质感觉很不错，印刷也相当清晰，打开后没有什么刺鼻的油墨味，这一点让我很欣慰，毕竟是学习用的书，环保健康也很重要。书的整体排版布局也很合理，章节划分清晰，页码标注也醒目，方便查找。我喜欢它那种把理论和实践相结合的方式，虽然我还没深入学习里面的具体内容，但光是看目录和章节标题，就能感受到作者在内容编排上的用心。而且，我注意到它似乎包含了一些不同类型的图纸，有些是简单的零件图，有些则是比较复杂的装配图，这预示着它能够覆盖从基础到进阶的各种学习需求。我对这本书的装订方式也比较满意，翻页顺畅，不像有些书装订太紧，打开很不方便，也不容易损坏。总之，单从外观和初步的浏览来看，这本书给我的第一印象是相当正面的，充满了学习的潜力。

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最近一直在找一本能帮助我巩固机械制图知识的习题集，对比了很多家，最终选了这本。拿到手后，感觉它的分量挺足的，厚度适中，拿在手里很有质感。我仔细翻阅了一下，感觉内容的深度和广度都恰到好处。它不仅仅是简单的题目堆砌，而是从不同角度、不同难易程度设计了大量的习题，涵盖了投影法、视图绘制、尺寸标注、形位公差、轴测图等等核心内容。我特别喜欢的是它题目后面的解析部分，感觉写得特别详细，条理清楚，能够帮助我理解解题思路，而不是死记硬背。有时候遇到一些比较 tricky 的题目，光看答案可能也理解不了，但这本书的解析就像一位耐心细致的老师，一步步引导你，让你豁然开朗。而且，我注意到一些题目还提供了多种解法，这让我觉得非常有启发性，能够从不同的角度去思考同一个问题。另外，书的纸张也比较厚实，用铅笔画图也不会轻易晕染，用橡皮擦修改也很方便，不会伤到纸面，这点对于经常需要动手练习的习题集来说，真的太重要了。

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我是一名初次接触机械制图的学生，之前上课听老师讲理论的时候，总感觉有点抽象，理解起来比较吃力。朋友推荐了这本书，说习题比理论更能帮助理解。拿到之后，我立刻就被它丰富的练习题吸引住了。它从最基本的点、线、面关系开始，逐步深入到零件图、装配图的绘制和标注。每章的题目都很有代表性，覆盖了课堂上学过的所有知识点，并且难度递增，很有挑战性。我最欣赏的是，它很多题目都给出了标准答案，而且答案的绘制非常规范，线条粗细、标注方式都无可挑剔，这对我学习如何规范制图非常有帮助。我还注意到，有些题目不仅仅是让我们画图，还要求我们分析图纸，找出其中的错误或者不足，这进一步提升了我的图纸理解能力。这本书的题目设计也很多样化，有些是纯粹的几何图形绘制，有些则与实际零件相关，这让我感觉学习过程更加生动有趣。我感觉通过做这些习题，我对于机械制图的理解已经从“知道”变成了“理解”和“掌握”。

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我真心觉得这本书的设计者在内容编排上花了很大的心思，这一点从它的习题难度梯度设计就能看出来。它不是那种一上来就让你做难题的书，而是循序渐进，让你从最基础的投影原理开始，一步步掌握各种视图的绘制技巧，再到零件图的绘制和标注，最后是装配图的复杂内容。每个章节的练习题都很有针对性，能够帮助你巩固刚刚学到的知识。我喜欢它题目中的插图，清晰明了，虽然有时候题目描述会比较简练，但配合着图，很容易就能理解题意。而且，这本书的答案部分做得非常详细，不仅仅是画出来一个图，还会附带一些文字说明，解释为什么这么画，需要注意哪些地方。这种详细的解析，对于我们这些自学的人来说，简直是福音。我尤其注意到，它在一些题目后面，还提到了相关的国家标准或者行业规范，这让我在做题的时候，能够顺便了解一些行业知识，非常实用。我感觉用这本书练习，不仅能提高我的制图技能，还能培养我对图纸的分析能力和严谨性。

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作为一名在机械行业工作多年的工程师，我一直觉得理论知识固然重要，但熟练掌握和应用才是关键。这本书，我个人认为，在这一点上做得非常出色。它提供的习题不仅仅是简单的重复练习，而是非常贴合实际工程应用场景。我看到很多题目都取材于常见的机械零件或组件，这让我做题的时候能够联想到实际的加工过程和装配关系，从而更深刻地理解图纸的意义。书中的一些高级题目，比如关于公差配合、表面粗糙度标注以及一些复杂的曲面造型，都很有深度，对于我这种需要不断更新知识库的工程师来说，非常有价值。而且，我发现书中很多题目的尺寸标注和公差标注都非常规范，符合国际标准，这对于提升我制图的严谨性和专业性非常有帮助。我尤其喜欢它在一些疑难杂症题目中给出的详细解析，不仅仅是给出一个答案，而是分析了各种可能的解题思路和注意事项，这对于我解决实际工作中的制图难题提供了很大的启发。

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