Methods of Mathematics Applied to Calculus, Probability, and Statistics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Hamming, Richard W.

出品人:

页数:880

译者:

出版时间:2004-11

价格:$ 55.31

装帧:

isbn号码:9780486439457

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 统计学
• 概率论
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深入解析工程与科学的数学基石：一窥数值计算与离散结构的世界 本书并非聚焦于微积分、概率论与数理统计的经典应用，而是将目光投向支撑这些领域的底层计算结构、算法设计以及离散数学的精妙逻辑。它为那些需要在复杂工程系统、现代物理模拟或前沿数据科学中构建和优化模型的读者提供了一条通往更深层次数学工具的桥梁。 我们假设读者已经掌握了标准微积分和基础线性代数的知识，本书的重点在于如何将这些理论转化为可执行、可验证的计算过程，并理解在实际操作中，数学模型是如何被离散化和逼近的。 第一部分：数值分析与计算方法——从连续到离散的艺术 本部分的核心在于处理“无法精确求解”的数学问题，通过系统性的数值方法，将无限维的问题转化为有限维、可计算的矩阵运算或迭代过程。 第一章：方程求根与函数逼近的精度保障 本章首先回顾了迭代法的基本收敛性分析，重点深入探讨了牛顿法在病态（ill-conditioned）系统中的局限性，并引入了割线法和抛物线法等替代方案的鲁棒性研究。我们详细分析了浮点运算对求解精度（尤其是在涉及小扰动和病态矩阵时）的实际影响，引入了“有效位数”的概念，并探讨了如何设计算法以最小化舍入误差的累积效应。 随后的章节聚焦于函数插值与逼近。拉格朗日插值固有的振荡特性（Runge现象）是本章的难点。我们对比了样条插值（Spline Interpolation）作为解决方案的优势，特别是三次样条在保证一阶和二阶连续性方面的关键作用。此外，我们还专门讨论了切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）在最佳一致逼近中的应用，解释了为什么它能提供比简单泰勒展开更均匀的误差分布。 第二章：线性系统的数值求解与稳定性 线性代数是科学计算的骨架。本章超越了克拉默法则或基础高斯消元法，深入研究了大规模稀疏线性系统的求解策略。我们详细剖析了LU分解、Cholesky分解（针对对称正定系统）的计算效率和存储需求。 对于不可直接分解的大型系统，迭代求解器占据了核心地位。本章系统地介绍了雅可比（Jacobi）、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法，并着重分析了它们的收敛条件。随后，我们引入了更强大的预处理共轭梯度法（PCG）和广义最小残量法（GMRES），解释了预处理器的设计（如不完全LU分解或代数多重网格法）如何显著加速收敛速度，这是处理有限元分析或有限差分法输出的必要技能。我们还会探讨矩阵的条件数（Condition Number）如何量化系统对输入数据微小变化的敏感性。 第三章：微分方程的数值积分（ODE与PDE） 本部分将计算方法应用于动态系统的模拟。对于常微分方程（ODEs），我们从最基础的欧拉方法出发，推导了龙格-库塔（Runge-Kutta）方法的原理，特别是经典的四阶RK4方法。重点在于分析方法的局部截断误差和全局误差，并引入了变步长算法（如Fehlberg方法），讨论了如何根据预设的容忍度动态调整时间步长以优化计算成本和精度之间的平衡。 在偏微分方程（PDEs）的数值解法方面，本章侧重于有限差分法（FDD）在抛物线（如热传导）和椭圆型（如泊松方程）问题中的应用。我们详细讨论了迈向时间步进法（如Crank-Nicolson方法）时，如何通过隐式方案来保证数值稳定性，避免CFL条件带来的限制。此外，对于更复杂的几何形状，我们将介绍有限元方法（FEM）的基本概念框架，包括形函数（Shape Functions）的构建和刚度矩阵的组装过程。 --- 第二部分：离散结构与组合优化——算法设计的逻辑基础 本部分将读者的思维从连续空间拉回离散的、可计数的世界，探索图论、算法复杂度和组合数学在现代信息处理中的应用。 第四章：图论与网络流的结构分析 图论不仅是数据结构的工具，更是建模复杂关系的强大框架。本章深入研究了图的连通性、遍历性问题，重点阐述了Dijkstra算法和A搜索算法在加权图中的效率优化。 随后，我们转向网络流理论。最大流-最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）是本章的核心。我们详细分析了Ford-Fulkerson算法及其基于增广路径的实现，并深入探讨了Edmonds-Karp和Dinic算法在实际网络调度和资源分配问题中的性能优势。此外，我们还将介绍最小成本流问题（Minimum Cost Flow），这是供应链优化和匹配问题的基础。 第五章：组合优化与计算复杂性 本章关注如何在有限的搜索空间中找到最优解，并理解“找不到快速解”的原因。我们从组合数学的基本原理出发，回顾排列、组合与生成函数的应用，这对于概率模型的构建至关重要。 组合优化的核心难点在于NP-完全问题。本章不会尝试给出旅行商问题（TSP）或背包问题的精确高效解法，而是聚焦于理解其复杂性。我们详细分析了动态规划（Dynamic Programming）如何应用于解决具有最优子结构和重叠子问题的场景（如矩阵链乘法或最长公共子序列）。对于难以精确求解的场景，本章介绍启发式算法和近似算法（Approximation Algorithms），例如贪婪算法（Greedy Algorithms）的局限性，以及局部搜索（Local Search）和模拟退火（Simulated Annealing）在找到高质量可行解方面的实用性。 第六章：算法效率与数据结构的高级应用 本章是算法设计的实践指南。我们系统地分析了不同排序算法（如快速排序、堆排序）的最佳、最坏和平均时间复杂度，并强调了在实际内存层次结构（缓存效应）下，算法选择的实际考量。 重点在于理解渐近分析的局限性。我们探讨了摊还分析（Amortized Analysis）在分析如动态数组或斐波那契堆这类数据结构性能时的重要性，解释了为什么某些操作的“平均”性能远优于其最坏情况。最后，本章将这些工具应用于高级数据结构，如B树和B+树在磁盘I/O受限环境下的优化设计原理，以及哈希表的冲突解决机制及其对查询性能的影响。 --- 本书旨在为读者建立一座坚实的桥梁，连接抽象的数学理论与高性能的工程计算实践，强调理解算法的稳定性和计算的效率，是进行严肃科学建模和算法开发不可或缺的参考资料。

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