An Introduction to Differential Equations and Their Applications

An Introduction to Differential Equations and Their Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

出版者:Dover Publications
作者:Stanley J. Farlow
出品人:
页数:640
译者:
出版时间:2006-3-11
价格:USD 45.95
装帧:Paperback
isbn号码:9780486445953
丛书系列:
图书标签:
  • 微分方程
  • 常微分方程
  • 偏微分方程
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具体描述

Starting with an introduction to differential equations, this insightful text then explores 1st- and 2nd-order differential equations, series solutions, the Laplace transform, systems of differential equations, difference equations, nonlinear differential equations and chaos, and partial differential equations. Numerous figures, problems with solutions, and notes. 1994 edition. Includes 268 figures and 23 tables.

现代数学与应用:聚焦非线性动力学与复杂系统分析 书籍简介 本书深入探讨了现代数学理论在处理复杂系统动力学问题中的核心地位与前沿应用,尤其侧重于非线性偏微分方程(PDEs)和随机微分方程(SDEs)的分析方法与实际建模。它并非一本基础的微分方程入门读物,而是面向研究生、高级本科生以及研究人员,旨在构建一个从经典分析框架到尖端计算方法的完整知识体系。 第一部分:泛函分析与变分法在PDEs中的基石 本部分首先回顾了必要的泛函分析工具,包括Sobolev空间、有界线性算子的性质,以及紧算子理论。在此基础上,我们将重点讲解处理高维和非光滑解问题的核心——变分法。 详细内容涵盖: Sobolev空间理论的深化: 不仅仅是定义和嵌入定理,而是深入探讨了Sobolev函数空间在椭圆型方程(如泊松方程、弹性力学方程)弱解理论中的关键作用。讨论了迹理论(Trace Theory)以及其在边界条件处理上的重要性。 变分原理与能量最小化: 从欧拉-拉格朗日方程出发,转向更具几何意义的能量泛函最小化。详细阐述了直接法(Direct Method in the Calculus of Variations),包括紧性条件的具体验证(如宫-林( আরোপ-Lim)紧性条件在某些非线性问题中的应用),以及次微分(Subgradient)的概念在非光滑凸分析中的角色。 非线性椭圆方程的解的存在性与正则性: 重点分析 Moser 迭代法在反应-扩散方程中的应用,以及 Schauder 估计在确保解的光滑性(从弱解到经典解)方面如何发挥作用。特别关注具有临界指数的非线性项(如 $Delta u + |u|^{p-1}u = f$ 中 $p$ 接近维度的函数)所带来的挑战和拓扑方法(如山路定理、极小极大原理)的引入。 第二部分:双曲型方程与波的传播:从经典到广义 本部分聚焦于描述时间演化过程的方程,特别是双曲型方程,并引入了分布理论来处理不连续性。 一维和多维的波动方程: 除了标准的达朗贝尔(d'Alembert)公式,本书深入探讨了特征线法(Method of Characteristics)在处理具有非线性对流项的双曲方程时的局限性与扩展。 熵解与弱解理论: 针对具有守恒律形式的非线性双曲方程(如 Burgers 方程、气体动力学方程),严格区分了经典解、弱解和熵解。详细介绍了 LERNER-HUANG 条件,并给出了广义熵积分解的存在性证明框架,这是理解激波(Shock Waves)形成的关键。 分散性现象: 引入 Korteweg-de Vries (KdV) 方程和非线性薛定谔方程(NLS)作为研究分散性现象的范例。讲解了逆散射变换(Inverse Scattering Transform, IST)的基本原理,并展示了它如何精确地求解特定形式的非线性波方程,生成孤子(Solitons)解。 第三部分:随机过程与随机微分方程(SDEs) 本部分将分析的领域扩展到包含不确定性和噪声的系统,这是现代金融、生物物理和复杂工程领域不可或缺的工具。 概率论基础回顾与强化: 侧重于测度论在概率论中的应用,特别是鞅论(Martingale Theory)的基础,包括鞅的停止定理(Optional Stopping Theorem)和 Doob-Meyer 分解。 随机微积分(Itô Calculus): 详细介绍 Itô 积分的构造过程,区分其与黎曼-斯蒂尔切斯积分的根本区别。重点推导 Itô 引理(Itô's Lemma)及其在多变量函数上的扩展。 SDEs 的解法与性质: 分析标准的 SDE 模型(如 Ornstein-Uhlenbeck 过程、几何布朗运动)。探讨强解(Strong Solutions)的存在性与唯一性,并介绍变分法在 SDEs 中的对应物——使用 Girsanov 定理进行概率度量变换,这在金融衍生品定价中至关重要。 随机偏微分方程(SPDEs): 简要介绍如何将随机性引入到偏微分方程中(如随机热方程)。讨论解决这些方程时遇到的困难(如噪声的非光滑性),并介绍使用随机泛函分析和粗糙路径理论(Rough Path Theory)来克服这些困难的前沿方法。 第四部分:动力系统与定性分析 本部分回归到描述系统长期行为的定性方法,超越了依赖精确解的局限性。 相空间分析与流(Flows): 将常微分方程(ODEs)的解视为相空间中的一条轨迹。定义和分析不变集、吸引子(Attractors)和稳定流。 线性稳定性与特征值分析: 详细讲解线性化原理在判断平衡点稳定性的作用,包括鞍点、中心、焦点以及霍夫夫(Hopf)分支。 混沌理论(Chaos Theory)的数学基础: 严格定义敏感依赖性、拓扑混合性和拓扑熵。以 Lorenz 系统为例,展示一个简单的三维系统如何产生复杂的、看似随机的行为。探讨庞加莱截面(Poincaré Sections)在识别周期轨道和混沌行为中的应用。 结语 本书强调分析工具的通用性和跨学科适用性,旨在为读者提供在应对现代科学与工程中层出不穷的复杂模型挑战时,所需的深厚数学功底和批判性思维框架。它要求读者具备扎实的实分析和复分析基础,并将其作为进入高级应用数学研究的跳板。

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