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拓扑量子场论中的几何与代数方法 内容提要： 本书深入探讨了拓扑量子场论（TQFT）的数学结构，侧重于利用微分几何、代数拓扑以及范畴论的工具来理解和构造这些理论。全书分为四个主要部分，内容涵盖了从基础概念的建立到前沿研究课题的探讨。 第一部分：几何基础与经典场论的拓扑化 本部分首先回顾了经典场论（如规范场论和引力理论）中的核心概念，如纤维丛、联络、曲率和特征类。在此基础上，我们引入了上同调理论（De Rham上同调、奇异上同调）作为研究拓扑不变量的数学框架。重点讨论了Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型在二维流形上的作用量结构，揭示了其与Chern-Simons作用量之间的深刻联系。我们详细分析了主丛上的规范场理论，特别是规范群的表示以及如何使用Chern-Simons形式来定义拓扑不变量，如Chern类和Pontryagin类。此外，还引入了规范场论中的贝里相位（Berry Phase）概念，并将其与几何相位和Finsler几何联系起来。本部分旨在为理解量子化过程中的拓扑约束奠定坚实的几何基础。 第二部分：范畴论与（n+1）维TQFT的构造 第二部分的核心是利用范畴论的语言精确地描述TQFT。我们首先介绍了（$n+1$）维TQFT的代数定义，即一个函子从$n$维拓扑流形范畴（Cobordism Category）映照到特定的张量范畴（通常是$ ext{Hilb}$空间或代数）。我们详细阐述了如何利用莫雷-萨顿（Morita-Seda）构造和Sewing构造来验证这些函子的性质，特别是结合公理和酉性条件。 重点聚焦于二维TQFT（CFT的拓扑版本）。通过对曲面上的CFT共形块的分析，我们展示了如何通过矩阵模型或格点模型来具体计算二维TQFT的配分函数。对于三维TQFT，我们深入研究了Chern-Simons理论。通过详尽的例子，如$SU(2)$ Chern-Simons理论，我们演示了如何利用Chern-Simons作用量计算纽结和链环的不变量，特别是琼斯多项式（Jones Polynomial）和Khovanov同调的代数背景。这里还探讨了Rieffel的张量范畴理论在理解Chern-Simons理论中有限维表示的构造中的应用。 第三部分：量子化、量子群与代数结构 本部分转向量子化过程，以及其背后隐藏的代数结构。我们探讨了如何将经典Chern-Simons理论通过路径积分或Wick旋转提升到量子层面。关键内容包括量子化过程中的正则对易关系、无穷小形变以及无穷大处的重整化问题。 随后，我们引入了量子群（Quantum Groups）的概念，特别是Deformation Quantization。我们详细研究了Hecke代数和辫子群（Braid Group）与TQFT的紧密关系。通过Kirillov-Reshetikhin（KR）公式，我们展示了如何利用量子群的表示理论来计算平面代数（Planar Algebras）和张量网络模型中的特征值。特别是，我们探讨了Reshetikhin-Turaev（RT）不变量的构造，它提供了一种纯代数的方法来计算三维TQFT中的拓扑不变量，完全绕开了路径积分的复杂性。 第四部分：模型与应用：连接几何与物理 最后一部分将理论框架应用于具体的物理模型和前沿课题。我们讨论了拓扑序（Topological Order）和分形几何在凝聚态物理中的体现，特别是Kitaev模型及其与$mathbb{Z}_2$规范理论的关系。 一个核心应用是弦论中的D-膜。我们分析了B型弦论中D-膜上的有效作用量，并展示了它如何自然地导致Chern-Simons项。通过AdS/CFT对偶的视角，我们探讨了共形场论中的CFT模块化性质与三维Chern-Simons理论的联系。 此外，本部分还涉及高阶拓扑不变量的计算，例如$BF$理论的推广和更高阶的Chern-Simons形式。我们介绍了基于非交换几何（Noncommutative Geometry）的方法来处理某些退化或奇异的几何结构，这在研究非阿贝尔规范理论的拓扑相变时尤为重要。最终，本书通过对这些复杂数学工具的整合，旨在为读者提供一套全面的、自洽的语言，以精确描述和分析拓扑量子场论的深刻内在结构。
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