Adams谱序列和球面稳定同伦群 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:林金坤

出品人:

页数:239

译者:

出版时间:2007-7

价格:38.00元

装帧:

isbn号码:9787030176424

丛书系列:现代数学基础丛书

图书标签:

• 数学
• 2010
• 谱序列
• 同伦群
• 稳定同伦
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• Adams谱序列
• 球面
• 数学
• 抽象代数
• 高等代数
• 拓扑学

抽象代数与拓扑的交汇：一个关于Adams谱序列和球面稳定同伦群的探索 简介 本书旨在为读者提供一个深入理解数学中两个重要且深刻的概念——Adams谱序列与球面稳定同伦群——的清晰导引。这两个概念，虽然各自独立发展，但在现代代数拓扑学的研究中扮演着核心角色，共同揭示了拓扑空间结构的精妙与内在联系。本书的重点在于详细阐述它们的定义、构造、性质以及它们之间错综复杂的相互作用，特别是在计算球面稳定同伦群这一极具挑战性的问题上，Adams谱序列所展现出的强大威力。 本书并非一本面向初学者的入门读物，它假定读者已经具备一定的代数拓扑学基础，包括同调论、上同调论、谱序列的基本概念，以及环谱（ring spectrum）和模块（module）的初步知识。在此基础上，我们将逐步深入，从Adams谱序列的构造出发，剖析其在代数拓扑计算中的核心思想，然后聚焦于球面稳定同伦群，解释其几何意义和代数结构，最终展示Adams谱序列如何成为计算这些群的有力工具。 第一部分：Adams谱序列的构建与理论基础 在这一部分，我们将仔细梳理Adams谱序列的诞生背景和理论基石。我们将从一个更宏观的视角出发，回顾同调代数和代数拓扑学在寻求计算工具时所面临的挑战，特别是面对复杂的同伦群时，传统的计算方法往往显得捉襟见肘。Adams谱序列的出现，正是为了克服这些困难，提供一种系统化的、代数化的方法来逼近和计算拓扑不变量。 我们将首先回顾“模M上的代数”（algebra over a module M）的概念，并在此基础上引入“模M上的Eilenberg-MacLane谱”（Eilenberg-MacLane spectrum over M）的构造。这一构造是理解Adams谱序列的起点，它将代数结构与拓扑谱联系起来。 接着，我们将详细阐述“Adams外代数”（Adams algebra）的概念。Adams外代数是一个具有特定代数结构的环，它在Adams谱序列的计算中扮演着核心角色。我们将深入分析其生成元、关系以及它所具有的代数性质，例如其“Hopf代数”（Hopf algebra）的结构，这一点对于理解其在谱序列中的作用至关重要。 然后，我们将进入Adams谱序列的正式构建阶段。我们将介绍Adams谱序列的核心思想：通过将一个拓扑空间（或更一般的，一个谱）的同伦群“分解”为一系列更容易处理的代数对象，并利用代数工具进行计算。我们将详细阐述Adams谱序列的“E_2 页”（E_2 page），它由一个模（例如，一个阿贝尔群）的“Ext函子”（Ext functor）给出。我们将解释Ext函子的定义、计算方法，以及它与同调代数中Bockstein序列等概念的联系。 我们将重点关注“Adams E_2 页”的代数结构，以及它如何编码了空间的同伦信息。我们将讨论“Sobolev-Adams谱序列”等变体，并解释它们在不同语境下的应用。 此外，我们还将探讨“Adams谱序列的收敛性”（convergence）问题，这是谱序列理论中的一个关键方面。我们将介绍不同的收敛准则，以及在何种条件下Adams谱序列能够收敛到目标空间（或谱）的同伦群。我们还将简要提及“Adams-Novikov谱序列”等更一般的谱序列，并指出它们与Adams谱序列的关系。 第二部分：球面稳定同伦群的定义与几何直观 在这一部分，我们将转移焦点，深入探讨球面稳定同伦群。我们将从球面（sphere）的同伦群的定义开始，逐步引出“稳定同伦群”的概念。我们将解释为什么“稳定”这个词是至关重要的，它意味着我们关注的是在高维球面上的同伦性质，这些性质会随着维度的增加而趋于稳定。 我们将通过具体的例子，例如低维球面的同伦群，来展示其计算的复杂性以及其中蕴含的深刻结构。我们将解释“同伦等价”（homotopy equivalence）的概念，并说明稳定同伦群正是衡量空间在同伦意义下接近球面的程度。 我们将介绍“Hopf纤维丛”（Hopf fibration）等经典的几何构造，并解释它们如何帮助我们理解球面的同伦群。我们将阐述“Whitney求和”（Whitney sum）和“Cartan公式”等概念，这些都是理解球面同伦群结构的基本工具。 本书将详细介绍“球面稳定同伦群” $pi_^S$ 的定义。我们将解释它如何通过“Whitney求和”的极限来定义，并讨论其作为“球面谱”（sphere spectrum）的同伦群的性质。球面谱是一个核心的谱，它在现代代数拓扑学中扮演着基石的角色。 我们将强调球面稳定同伦群的代数结构。我们将介绍其作为“模M上的代数”的性质，特别是当M为阿贝尔群时。我们将讨论其“环”（ring）的结构，以及其“生成元”（generators）和“关系”（relations）的复杂性。 第三部分：Adams谱序列在计算球面稳定同伦群中的应用 这是本书的核心部分，我们将详细展示Adams谱序列如何成为计算球面稳定同伦群的强大工具。我们将把前两部分所介绍的概念融会贯通，具体地应用Adams谱序列来计算 $pi_^S$ 的各个部分。 我们将从计算 $pi_0^S$, $pi_1^S$ 等低维稳定同伦群开始，展示Adams谱序列如何提供一种系统的计算流程。我们将详细解释如何构建 Adams E_2 页，以及如何通过代数计算来确定 Ext 群的结构。 我们将重点关注“Adams E_2 页”的计算，特别是当作用于球面谱时。我们将介绍“Steenrod 代数”（Steenrod algebra）的概念，以及它在计算Adams E_2 页中的核心作用。Steenrod 代数是一个强大的代数工具，它允许我们计算球面上的上同调运算，进而影响 Adams E_2 页的结构。 我们将详细阐述“Adams谱序列的“谱线”（$p$-line）”和“次谱线”（$p$-line）等概念，以及它们如何帮助我们理解Ext群的结构。我们将讨论“模M上的代数”中的“自由模”（free module）和“投射模”（projective module）等概念，以及它们在Ext计算中的重要性。 本书将深入分析 Adams 谱序列如何揭示球面稳定同伦群中诸如“Adams j-invariant”等重要的代数不变量。我们将讨论“Adams 阻塞”（Adams gap）和“Adams 维度”（Adams dimension）等概念，并解释它们对理解稳定同伦群结构的意义。 我们将介绍一些经典的计算结果，例如“Adams 猜想”（Adams conjecture）的证明，以及 Adams 谱序列在其中扮演的角色。我们将讨论“Browder-Massey 世代”（Browder-Massey spectral sequence）等相关的谱序列，并说明它们与 Adams 谱序列的联系和区别。 第四部分：进阶主题与展望 在最后一部分，我们将触及一些更进阶的主题，并对该领域未来的研究方向进行展望。我们将简要介绍“连通谱”（connected spectrum）和“上连通谱”（coconnected spectrum）等更一般的谱论概念，并说明 Adams 谱序列在计算这些谱的同伦群时的普适性。 我们将讨论“Adams 谱序列的“b-invariant””等代数不变量，以及它们如何与球面稳定同伦群的几何性质相关联。 我们还将简要提及“稳定同伦论”（stable homotopy theory）在其他数学分支中的应用，例如在代数几何、数论和表示论等领域。 最后，我们将对 Adams 谱序列和球面稳定同伦群的研究现状进行总结，并提出一些尚未解决的公开问题，鼓励读者进一步探索这一充满活力的数学领域。 本书力求在严谨性与清晰性之间取得平衡，通过详细的计算、清晰的图示（虽然这里无法直接提供，但内容会引导读者想象）和深入的理论阐释，帮助读者建立起对 Adams 谱序列和球面稳定同伦群的全面而深刻的理解。我们相信，通过对这些深刻概念的探索，读者将能够更好地把握现代代数拓扑学的核心思想，并为进一步的研究打下坚实的基础。

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