Calculus of variations变分法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Weinstock

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价格:135.15

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isbn号码:9780486630694

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• 变分法7
• 变分法
• 微积分
• 数学分析
• 优化
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 应用数学
• 控制理论
• 物理学
• 工程学

《变分法》 一、 什么是变分法？ 想象一下，我们想在两点之间画一条最短的曲线。直觉上，我们知道那是一条直线。但是，如果我们被要求画出一条曲线，使得它与x轴、以及两条垂直线围成的面积最大化，又会是什么样子？又或者，如果我们要在一个区域内找到一个曲面，使得其表面积最小化？这些看似寻常却又充满挑战的问题，正是变分法所要解决的核心。 变分法，顾名思义，是研究“函数之函数”的数学分支。与微积分研究变量的极值（比如求函数 $f(x)$ 的最大值或最小值）不同，变分法研究的是泛函的极值。 那么，什么是泛函呢？简单来说，泛函是一种“函数”，但它的输入不是一个数字或一个向量，而是一个函数。泛函的输出是一个数字。 举个例子： 最短路径问题： 设想连接平面上两点 $A$ 和 $B$ 的所有可能曲线。对于每一条曲线，我们都可以计算出它的长度。泛函 $L[y(x)]$ 可以定义为给定曲线 $y(x)$ 的长度，即 $L[y(x)] = int_{x_1}^{x_2} sqrt{1 + (y'(x))^2} dx$。我们的目标是找到那条曲线 $y(x)$，使得 $L[y(x)]$ 取得最小值。 最小曲面问题： 想象一个固定的边界曲线，我们想在这条边界内部找到一个曲面，使得其表面积最小。这个最小表面积问题就可以用变分法来解决。 最速降线问题： 如果一个质点在重力作用下从高处沿一条曲线滑到低处，我们想找到一条曲线，使得质点到达低处的时间最短。这也是一个经典的变分问题。 变分法提供了一套严谨的数学工具，用来寻找使得某个积分（这个积分通常依赖于一个未知函数及其导数）取最大值或最小值（即“极值”）的函数。这些积分通常代表着某种物理量，例如长度、面积、能量、时间等。 二、 变分法的历史渊源 变分法的思想可以追溯到17世纪，但其真正意义上的发展则始于18世纪。 早期萌芽： 费马（Pierre de Fermat）在17世纪提出的“费马原理”是光学中的一个重要原理，认为光线传播的路径是使得光程（光在介质中传播的路程与折射率的乘积）最小的路径。这可以被看作是变分法的早期雏形。 莱布尼茨和约翰·伯努利： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli）在1696年提出了最速降线问题，并将其作为一个挑战发布给当时的数学家。这个问题的解决标志着变分法的正式诞生。他的哥哥雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）也对这个问题进行了研究。 欧拉的贡献： 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是变分法的奠基人之一。他系统地发展了变分法的理论，并提出了著名的欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）。这个方程是求解变分问题最核心的工具，它将寻找极值函数的问题转化为求解一个微分方程的问题。欧拉的工作为后续的物理学和数学发展奠定了坚实的基础。 拉格朗日的理论： 约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在欧拉的基础上，进一步发展了变分法，并将其与力学紧密联系起来。他引入了拉格朗日量（Lagrangian）的概念，并发展了解析力学。解析力学是物理学的一个重要分支，它使用变分原理来描述物体的运动。 哈密顿的进一步发展： 威廉·罗文·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）在拉格朗日的理论基础上，进一步发展了哈密顿力学。哈密顿方程组以及最小作用量原理（Principle of Least Action），是哈密顿力学的核心，它们都与变分法有着深刻的联系。 可以说，变分法不仅仅是数学上的一个分支，它更是连接数学与物理学的一座重要桥梁，深刻影响了经典力学、电磁学、量子力学以及相对论等众多物理学领域。 三、 变分法的核心概念与工具 要理解变分法，需要掌握几个核心概念和工具： 1. 泛函 (Functional): 如前所述，泛函是函数的函数。输入是函数，输出是数值。 常见的泛函形式有： 第一类： $J[y] = int_{a}^{b} F(x, y(x), y'(x)) dx$。这是最常见的形式，其中 $F$ 是一个关于自变量 $x$、函数 $y(x)$ 及其导数 $y'(x)$ 的已知函数。 第二类（高阶导数）： $J[y] = int_{a}^{b} F(x, y(x), y'(x), y''(x), ldots) dx$。 多变量函数： $J[z] = iiint_V F(x, y, z, frac{partial z}{partial x}, frac{partial z}{partial y}) dV$。 积分方程形式： $J[y] = int_{a}^{b} int_{a}^{b} K(x, s) y(s) ds dx$。 2. 变分 (Variation): 变分可以类比于微积分中的微分。在微积分中，我们研究函数 $f(x)$ 的变化 $Delta f = f(x+Delta x) - f(x)$。 在变分法中，我们研究泛函 $J[y]$ 的变化，当我们把函数 $y(x)$ 替换为 $y(x) + delta y(x)$ 时，泛函的变化量被称为变分，记作 $delta J$。 $delta y(x)$ 被称为函数 $y(x)$ 的变分，它代表了函数 $y(x)$ 的一个微小扰动。通常要求 $delta y(a) = delta y(b) = 0$ (如果边界是固定的)。 3. 欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange Equation): 这是求解泛函极值问题的最核心的工具。 对于形如 $J[y] = int_{a}^{b} F(x, y(x), y'(x)) dx$ 的泛函，如果 $y(x)$ 是使得 $J[y]$ 取极值（最大值或最小值）的函数，那么它必须满足以下微分方程： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left(frac{partial F}{partial y'} ight) = 0 $$ 这个方程告诉我们，寻找使积分取极值的函数，等价于求解这个二阶常微分方程。 4. 边界条件 (Boundary Conditions): 欧拉-拉格朗日方程是一个二阶微分方程，因此需要两个条件来确定其唯一解。这些条件通常是函数的边界值，即在积分区间的端点处 $y(a)$ 和 $y(b)$ 的值。 固定边界条件 (Dirichlet Boundary Conditions): $y(a) = y_1$, $y(b) = y_2$。 齐次边界条件 (Homogeneous Boundary Conditions): $y(a) = 0$, $y(b) = 0$。 5. 横截性条件 (Transversality Conditions): 在某些情况下，边界点本身也可以是变动的，或者我们只知道一个边界点所在的曲线。这时，除了欧拉-拉格朗日方程，还需要额外的条件来确定极值函数，这些条件被称为横截性条件。 6. 拉格朗日量 (Lagrangian): 在物理学中，泛函 $F$ 通常被称为拉格朗日量。对于一个物理系统，其动力学行为可以通过最小化一个特定的泛函（通常是作用量）来描述。 四、 变分法的应用领域 变分法并非仅仅是抽象的数学理论，它在众多科学和工程领域有着广泛而深刻的应用： 1. 物理学： 经典力学： 最小作用量原理是经典力学（包括牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学）的基石。它能够以一种统一、优雅的方式描述物体的运动规律，并能方便地推广到各种复杂系统。 电磁学： 麦克斯韦方程组可以通过变分原理导出。 广义相对论： 爱因斯坦的场方程也源于变分原理，通过最小化爱因斯坦-希尔伯特作用量得到。 量子力学： 变分原理是求解薛定谔方程近似解的重要方法，例如变分法常用于估算基态能量。 2. 工程学： 结构力学： 最小势能原理是分析结构稳定性和计算位移的重要依据，这与变分法紧密相关。 材料科学： 研究材料的相变、晶格结构等问题时，常常用到变分法来寻找能量最低的稳定状态。 流体力学： 求解纳维-斯托克斯方程等复杂方程时，变分法有时可以作为一种求解策略。 最优控制： 在自动控制领域，变分法是设计最优控制策略的关键工具，例如寻找使系统达到某个目标状态所需能量最小的控制函数。 3. 数学： 微分几何： 测地线的概念（两点之间最短的路径）就是通过变分法定义的。 偏微分方程： 许多偏微分方程的求解，特别是边值问题，都可以归结为变分问题，例如通过寻找使得某个能量泛函最小的函数来求解。 数值分析： 有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种强大的数值计算技术，其理论基础就建立在变分原理之上，用于求解偏微分方程。 4. 经济学： 资源最优配置： 在动态经济模型中，如何最优地分配资源以最大化社会福利或利润，常常可以构建变分问题来解决。 金融建模： 例如期权定价等问题，有时也可以用变分法来处理。 五、 变分法的思想精髓 变分法的核心思想在于，许多自然现象和数学问题本质上都遵循“最优化”的原则。无论是光线的传播、物体的运动，还是结构的稳定，都倾向于选择能够使某个物理量（如光程、作用量、势能）达到最小（或最大）的路径或状态。 变分法提供了一种强大的数学语言和工具，能够精确地描述和求解这些“最优化”问题。通过将具体问题转化为寻找特定泛函极值的数学问题，并利用欧拉-拉格朗日方程等工具进行求解，我们可以揭示隐藏在现象背后的深刻规律。 本书将带您深入探索变分法的理论体系，从基础概念出发，逐步学习其核心方法和技术，并通过丰富的实例展示其在不同领域的强大应用能力。无论您是数学爱好者、物理学研究者、工程技术人员，还是对科学建模充满好奇的学生，本书都将为您打开一扇理解世界运作方式的新视角。

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