The finite element method for elliptic problems (Studies in mathematics and its applications) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland

作者:Philippe G Ciarlet

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1978

价格:0

装帧:Unknown Binding

isbn号码:9780444850287

丛书系列:

图书标签:

• 有限元方法
• 椭圆问题
• 偏微分方程
• 数值分析
• 科学计算
• 数学
• 应用数学
• 工程数学
• 数值方法
• 计算数学

《常微分方程的数值解法与应用》 内容简介 本书聚焦于常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的数值求解技术及其在实际工程和科学问题中的广泛应用。全书体系严谨，内容深入浅出，旨在为高等数学、应用数学、物理学、工程学（如机械、航空航天、电子工程）以及计算科学等领域的学生、研究人员和专业工程师提供一本全面且实用的参考著作。 第一部分：常微分方程基础回顾与数值分析的理论基石 本书的开篇部分将首先回顾常微分方程的基本理论框架，包括一阶和高阶常微分方程的解析解法（如分离变量法、积分因子法、降阶法等）的局限性，从而自然地引出数值方法的必要性。 随后，我们将深入探讨支撑所有数值方法的核心理论——误差分析。重点内容包括： 1. 局部截断误差 (LTE)：精确定义并阐述欧拉方法和更高阶方法中的局部误差来源。 2. 全局误差 (GE)：讨论如何通过积分步长来控制和估计全局误差的积累过程。 3. 收敛性 (Convergence)：严格证明数值格式在步长趋于零时的解逼近真实解的条件，引入皮亚诺（Peano）和柯西（Cauchy）的收敛性准则。 4. 稳定性 (Stability)：这是数值方法的核心要求。我们将详细分析零稳定性 (Zero Stability) 和根稳定性 (Root Stability)，并引入冯·诺依曼稳定性分析 (von Neumann Stability Analysis) 的基本概念，虽然该方法主要用于偏微分方程，但其背后的 CFL 条件和绝对稳定性概念对理解 ODE 求解器的局限性至关重要。 第二部分：单步法及其演进 本部分系统地介绍了求解一阶常微分方程 $frac{dy}{dt} = f(t, y)$ 的各类单步数值方法。 1. 欧拉方法及其改进： 前向欧拉 (Forward Euler)：作为最基础的方法，分析其一阶精度和显著的条件稳定性限制。 后向欧拉 (Backward Euler)：引入隐式方法的概念，分析其无条件稳定性的优势，并讨论求解非线性隐式方程所需的牛顿迭代法。 中点法 (Midpoint Rule)：作为二阶方法的代表，展示如何通过改进的函数评估点来提高精度。 2. 龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法族：这是现代 ODE 求解器的核心。 经典四阶龙格-库塔法 (RK4)：详细推导其系数，并展示其在精度和计算效率之间的良好平衡。 高阶 RK 方法：介绍如何通过 Butcher 表来构造任意阶数的显式和隐式 RK 方法。 自适应步长控制 (Adaptive Step Sizing)：详细讲解如何使用局部误差估计（如基于不同阶 RK 组合，如 Fehlberg 或 Dormand-Prince 对）来动态调整步长 $h$，以满足预设的容错标准 $ au$，从而在保证精度的前提下最大化计算效率。 第三部分：多步法与刚性问题处理 本部分探讨多步法，它通过利用前几步的历史信息来提高计算效率，以及如何处理数值分析中最具挑战性的问题之一——刚性系统。 1. 多步法基础： 线性多步法 (LMM)：介绍 Adams-Bashforth（显式）和 Adams-Moulton（隐式）方法。推导其系数，并分析它们的收敛阶数。 局部截断误差的计算：展示如何通过差分算子来确定 LMM 的阶数。 2. 刚性方程 (Stiff ODEs) 的挑战： 刚性的定义：清晰界定系统包含时间尺度差异巨大的特征值时产生的数值困难。 绝对稳定性域：强调显式方法在刚性问题面前的局限性，解释为什么需要引入具有大稳定性区域的隐式方法。 3. 隐式方法的求解： 后向微分公式 (BDF)：作为处理刚性问题最常用的隐式多步法，详细介绍其构建和应用。 代数方程的求解：对于隐式方法，需要迭代求解非线性代数方程组。本书将介绍牛顿法及其在稀疏矩阵结构下的高效实现，以及准牛顿法（如 Broyden 方法）在特定情况下的应用。 第四部分：特殊方程的数值方法 本书最后一部分将拓展到特定类型的常微分方程或包含 ODEs 的混合系统。 1. 线性常微分方程组 (Systems of Linear ODEs)： 矩阵指数法 (Matrix Exponential)：介绍如何使用 Pade 近似或特征分解来精确计算 $e^{At}$，并讨论其在大规模线性系统中的计算成本。 Jacobian 矩阵的应用：解释在处理非线性系统时，如何利用 Jacobian 矩阵来指导迭代过程。 2. 边界值问题 (Boundary Value Problems, BVPs)： 有限差分法 (Finite Difference Method)：将边界值问题转化为大型线性（或非线性）代数方程组，详细介绍如何构建离散化矩阵。 Shooting Method (打靶法)：阐述如何将 BVP 转化为初值问题（IVP）的迭代求解过程，并通过迭代修正初始条件来满足边界条件。 应用导向 贯穿全书，本书将辅以大量来自控制论、电路分析（如 RLC 振荡电路）、轨道力学（如二体问题）和化学反应动力学中的实例，使用如 MATLAB/Python 等现代计算工具进行数值模拟，帮助读者直观理解不同数值方法的性能差异和适用范围。本书强调的不仅是算法的推导，更是算法在实际工程约束下（如计算资源、实时性要求）的选择与优化。

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这本书在处理离散化误差分析时所采用的方法论，可以说是相当硬核和全面的。它没有满足于给出一些笼统的误差估计，而是深入探讨了插值误差的局部和全局特性，特别是关于一致性（Consistency）和可近性（Approximability）的详细论证。我记得有一章专门讨论了如何选择合适的单元（如三角形单元、四面体单元）及其对应的形函数，并严格证明了它们在不同阶数下的收敛率。这种深入到数学证明层面的探讨，对于希望从事高级数值方法研究的人来说，简直是宝藏。它不是那种告诉你“用这个方法，误差是O(h^k)”就结束的教科书，而是会详细展示如何通过能量范数、对偶引理（Duality Principle）等工具来精确地导出这个 $h^k$ 的来源。这种对“为什么”的执着追问，使得这本书的参考价值远远超过了一般的教材，更像是一本可以随时翻阅查阅经典证明的参考书，尤其适合那些需要为自己的研究工作提供理论支撑的博士生或研究人员。

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这本书的装帧设计很有品位，封面采用了哑光纸质，手感温润，那种沉稳的深蓝色调配上简洁的白色和金色字体，透着一股浓厚的学术气息，让人一上手就知道这不是一本可以随便翻阅的休闲读物。内页的排版也做得非常考究，字体大小和行距都经过了精心的设计，即使是像我这样需要长时间阅读的人，长时间看下来眼睛也不会感到明显的疲劳。尤其值得称赞的是，书中的公式推导部分，作者似乎非常注重清晰度，每一个希腊字母、每一个上下标、每一个积分符号都印刷得十分锐利和准确，这对于理解复杂数学模型的构建至关重要。我在阅读其他相关教材时，常常因为印刷模糊或排版混乱而不得不反复对照，但这本书在这方面做得极为出色，它提供了一个非常专业且令人愉悦的阅读界面，让人愿意沉浸其中，去探索那些深奥的理论。那种实体书特有的油墨香气混合着纸张特有的干燥气息，在深夜里伴随着我的阅读，形成了一种非常专注的氛围，这是电子阅读器无法替代的体验。这种对细节的关注，也从侧面反映了作者和出版社对这门学科的尊重。

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如果要提及其在实际应用层面的“局限性”，那或许在于它过于偏向理论的纯粹性，对于实际工程软件开发中遇到的诸多“脏活累活”着墨不多。比如，关于网格生成（Meshing）的复杂算法，关于如何高效处理非结构化网格上的矩阵组装，以及如何利用并行计算技术加速求解过程等工程实践中的关键环节，这本书基本是点到为止，甚至可以说是完全忽略了。它的重点始终放在“如何严谨地证明一个解的存在性和收敛性”上，而非“如何高效地在计算机上算出来”。这导致读者在读完理论部分后，如果缺乏其他偏向计算实现的教材或资料的补充，可能会在尝试将这些理论转化为可运行的代码时感到迷茫。我个人认为，这本书更像是一块坚硬的理论基石，你需要自己去往上搭建应用的大厦。所以，如果有人期望它是一本“从零开始教你编程实现”的教程，那他们可能会感到失望，因为它提供的更多是数学上的高屋建瓴。

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这本书的结构安排，尤其是章节之间的逻辑递进，体现了作者深厚的教学经验。它并没有一开始就抛出最复杂的例子，而是稳步推进。例如，从一维常微分方程（ODE）的简单例子开始，逐步过渡到二维泊松方程的推广，再到更一般的椭圆型偏微分方程的框架。这种“由浅入深、螺旋上升”的教学策略，有效地帮助读者建立了对问题的多尺度认知。我特别欣赏作者在引入新概念时，总是会先在最简单的背景下进行阐述，确保读者理解了核心思想，然后再将其扩展到更抽象和更具挑战性的环境。这种循序渐进的节奏感，使得即使是面对一些相当复杂的积分方程或边界条件的处理，读者也能保持一个相对清晰的思路，不至于在庞大的数学符号海洋中迷失方向。它成功地在数学的严谨性和教学的可理解性之间找到了一个微妙的平衡点，这在同类高级专业书籍中是难能可贵的品质。

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我花了大量时间在理解和消化这本书中关于基础理论构建的部分，特别是涉及到变分原理和弱形式的引入。作者的叙述逻辑极其严谨，从最基本的函数空间定义开始，逐步引入了 Sobolev 空间的概念，每一步的过渡都像是精心搭建的阶梯，虽然每一步本身都有一定的难度，但前后之间的衔接却是天衣无缝，让人感觉“原来如此，原来可以这样推导出来”。书中大量的几何直觉的缺失这一点是毋庸置疑的，它更像是一部纯粹的数学手册，专注于形式的严谨性而非物理图像的直观性。因此，对于那些依赖大量图示或类比来辅助理解的读者来说，初次接触可能会感到有些吃力，需要额外的精力去脑补那些缺失的几何背景。不过，一旦你能够跟上作者的数学步伐，你会发现它在理论的深度和广度上为后续的学习奠定了无比坚实的基础。它迫使你从更抽象的代数结构上去理解微分方程的本质，而不是仅仅停留在有限元网格离散化的表层操作上，这种思维方式的训练价值是无法估量的。

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