Theory of Functions, Parts I and II (Dover Books on Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Konrad Knopp

出品人:

页数:320

译者:Bagemihl, Frederick

出版时间:1996-08-12

价格:USD 12.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486692197

丛书系列:Dover Books on Mathematics

图书标签:

• 数学分析
• 复变函数
• 函数论
• Dover Books on Mathematics
• 数学
• 高等数学
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• 理论数学
• 数学教材
• 解析函数

现代数学分析的基石：从实数系统到抽象空间 本书旨在构建一个严谨、系统且直观的分析学框架，探究函数在各种数学结构下的行为、性质及其应用。我们将从最基本的实数系统出发，逐步过渡到更高维度的拓扑与度量空间，为深入理解微积分的本质以及现代数学的许多前沿领域奠定坚实的基础。 第一部分：实分析的严密基础与初步探讨 本卷聚焦于对传统微积分概念进行严格的数学化处理，并引入分析学的核心工具——极限、连续性与收敛性。我们将详细剖析实数系统的完备性，这是构建整个分析大厦的逻辑起点。 第一章：实数系统与序关系 本章首先回顾自然数、整数、有理数系的构建过程，随后引入无理数的严格定义，通常通过戴德金分割（Dedekind Cuts）或柯西序列（Cauchy Sequences）来确立实数 $mathbb{R}$ 的结构。我们将深入探讨 $mathbb{R}$ 的阿基米德性质和最大下界原理（或称上确界原理），这些原理是后续所有收敛性论证的基石。此外，对实数集的拓扑性质，如开集、闭集、紧集（Compact Sets）的定义和基本性质将进行详细阐述，为后续的函数连续性讨论铺平道路。 第二章：序列、极限与收敛性 本章的核心在于对极限概念的精确定义。我们将区分数列的极限（Limit of Sequences）和函数在某点或无穷远处的极限。对于序列的收敛性，将重点讨论柯西收敛准则，并证明有界序列必然存在收敛子序列（Bolzano-Weierstrass Theorem，波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理）。我们将应用这些工具来分析单调收敛定理和双序列收敛定理，这些定理在计算和证明中具有不可替代的作用。 第三章：连续函数与一致连续性 紧接着，本章将对连续性进行形式化定义，从 $varepsilon-delta$ 定义出发，探讨连续函数的代数性质。一个至关重要的主题是一致连续性（Uniform Continuity）。我们将证明在紧集上定义的连续函数必定是一致连续的，并探讨一致连续性与普通连续性在处理区间函数时的关键区别。此外，本章将分析函数序列的收敛性，特别是逐点收敛与一致收敛之间的区别，以及一致收敛如何保证极限函数的连续性。 第四章：导数与微分 本章回归到微积分的核心——微分学。我们将严格定义导数，并推导出求导的基本法则（乘积法则、链式法则等）。在深入探讨中值定理（如罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的同时，我们将引入导数的介值定理（Darboux's Theorem），该定理揭示了导数虽然是极限，但其值域仍具有介值性质。本章的后半部分将涉及高阶导数、泰勒定理的严密证明及其在函数逼近中的应用。 第五章：黎曼积分的理论 本章致力于为黎曼积分（Riemann Integral）提供坚实的理论基础。我们将定义上和（Upper Sums）与下和（Lower Sums），并精确定义黎曼可积的条件。重点将放在积分的性质（线性、保序性）以及积分中值定理的证明上。一个重要的理论里程碑是微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）的完整论证，该定理将微分与积分紧密联系起来。此外，本章也会探讨更广义的勒贝格积分（Lebesgue Integration）的初步概念，作为对黎曼积分局限性的展望。 --- 第二部分：超越实数域：度量空间与泛函分析的萌芽 第二部分将分析的概念提升到更抽象的层级，引入拓扑空间和度量空间的概念，使得我们能够研究在非标准环境下（如函数空间、无穷维空间）的收敛性、完备性与紧致性。 第六章：拓扑学基础概念 本章是抽象化的关键一步。我们将从度量空间（Metric Spaces）出发，定义距离函数、开球和开集。随后，我们将抽象出拓扑空间（Topological Spaces）的公理化定义，并探讨邻域系统、闭集、内部点、边界点和极限点。本章将详细分析连续映射在拓扑语境下的重新定义——即原像下保持开集的映射。紧致性的拓扑定义（开覆盖的有限子覆盖）将与度量空间中的序列紧致性（Cauchy-convergent subsequences）进行对比和联系。 第七章：完备性与收敛性在抽象空间 在本章中，我们将重访柯西序列的概念，并将其推广到任意度量空间，定义完备度量空间（Complete Metric Spaces）。完备性是许多存在性定理的先决条件。我们将完整证明巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem，或称压缩映射定理），该定理不仅是证明微分方程解存在性的有力工具，也是数值分析和优化算法的理论基础。本章还将介绍Baire范畴定理（Baire Category Theorem）及其在分析学中的深刻应用。 第八章：等距变换与函数空间 本章将关注函数本身构成的空间，引入范数（Norms）的概念，从而将度量空间提升为赋范线性空间（Normed Linear Spaces）。我们将重点分析几个重要的函数空间，例如：连续函数的空间 $C[a, b]$，使用最大模范数（Supremum Norm） $lVert f Vert_{infty}$。本章将探讨这些空间中的收敛性，并研究等距变换（Isometries）如何保持结构。进一步地，我们将引入等度连续性（Equicontinuity）的概念，并阐述其与紧致性之间的关键联系，为Arzelà-Ascoli定理的探讨做准备。 第九章：线性泛函与有界算子 在向量空间的基础上，本章开始探讨泛函分析的雏形。我们将定义线性泛函（Linear Functionals）和线性算子（Linear Operators），并严格界定它们的有界性（Boundedness），即定义算子的算子范数。我们将分析有界线性算子集合本身构成一个赋范空间，并讨论其拓扑性质。这一部分的论述为后续理解希尔伯特空间和巴拿赫空间中的算子理论打下必要的基础，强调了从点到映射的分析视角转变。 第十章：勒贝格积分的引入与收敛定理 回顾第一部分对黎曼积分的讨论，本章将系统地、严格地介绍勒贝格积分（Lebesgue Integration）。我们将从可测集（Measurable Sets）和简单函数（Simple Functions）开始，构建勒贝格测度（Lebesgue Measure）和勒贝格积分的理论。勒贝格积分的优势在于其强大的收敛定理。我们将详细分析并证明单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）、法图定理（Fatou's Lemma）和占优收敛定理（Dominated Convergence Theorem）。这些定理为交换极限与积分的顺序提供了远比黎曼积分严格得多的工具，是现代概率论和偏微分方程理论不可或缺的数学语言。

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