具体描述
概率论与数理统计（高等学校教材），ISBN：9787040193800，作者：苏德矿、张继昌
《高等数学：微积分的精髓与应用》 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有启发性的高等数学学习体验，重点聚焦于微积分的核心概念、理论基础及其在自然科学、工程技术和社会科学中的广泛应用。我们摒弃了传统教材中过于繁琐的证明堆砌，转而强调数学思想的形成、关键定理的直观理解以及运算技巧的熟练掌握。 第一部分：极限与连续——分析的基石 本书的开篇将构建严谨的分析学基础。我们从直观的“趋近”概念入手，逐步引入 $epsilon-delta$ 语言，这是理解极限的本质所在。我们详细阐述了数列极限和函数极限的严格定义，并深入探讨了极限的性质、四则运算法则以及夹逼定理等重要工具。 紧接着，我们将导向“连续性”这一核心概念。函数在一点的连续性，乃至闭区间上的连续性，被视为实现可微性、可积性的先决条件。我们详尽分析了连续函数的代数性质，并着重讲解了介值定理、极值定理等具有强大构造性和论证力的工具，这些定理是后续微分学建立的逻辑起点。 第二部分：导数与微分——瞬时变化的度量 本部分是全书的精华之一，它定义了导数的概念，用以描述函数变化的瞬时速率。我们不仅清晰界定了导数的定义，还系统梳理了基本的求导法则，包括链式法则（复合函数的求导）、乘积法则和商的法则。对于超越函数（指数、对数、三角函数及其反函数），我们提供了详尽的求导步骤和技巧。 在掌握了基础导数之后，我们将视角转向微分。微分 $dy$ 与 $Delta y$ 的关系，是连接代数与几何（切线）的关键桥梁。我们深入探讨了隐函数求导法、参数方程求导法，并引入了高阶导数的概念。 导数的应用构成了本部分的重要组成部分。我们运用导数来分析函数的单调性、极值点（局部最大值与最小值）和凹凸性。通过二阶导数，我们能够精确判断函数的拐点，并完整地绘制出函数图像。罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理被视为连接微分与积分的桥梁，其几何意义和代数推论被详尽阐述。洛必达法则的引入，为处理 $frac{0}{0}$ 型和 $frac{infty}{infty}$ 型的不定式提供了强有力的解析工具。 第三部分：定积分与不定积分——累积效应的计算 不定积分，即求导的逆运算，构成了微分学的基础。本书详细介绍了不定积分的计算方法，包括： 1. 基本积分公式： 涵盖常见初等函数的积分。 2. 换元积分法（Substitution Rule）： 这是最核心的技巧之一，我们提供了多种有效选择替换变量的策略。 3. 分部积分法（Integration by Parts）： 基于乘积法则的逆运算，我们探讨了何时选择 $u$ 和 $dv$ 的最优策略。 4. 有理函数的积分： 重点讲解了部分分式分解技术。 5. 三角代换法： 用于处理含 $sqrt{a^2 pm x^2}$ 或 $sqrt{x^2 - a^2}$ 形式的积分。 定积分的概念建立在黎曼和的基础上，它量化了函数在区间上的“累积效果”。我们严格论证了微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），该定理揭示了微分和积分之间深刻的对偶关系，极大地简化了定积分的计算。 定积分的应用极为广泛，本书重点展示了其在计算曲线下面积、旋转体的体积（圆盘法、切片法、壳层法）、弧长以及平面图形的质心和转动惯量等方面的能力。 第四部分：微积分在多维空间中的推广——多元函数微积分 为了应对更复杂的实际问题，本书自然地将分析的视角扩展到多变量函数。我们引入了空间坐标系，并定义了多元函数的偏导数和全微分。偏导数描述了函数沿着特定坐标轴的变化率，而全微分则提供了一个线性的近似，描述了函数在多维空间中的微小变化。 链式法在多元函数中的推广，是处理复合函数求导的关键。然后，我们引入了方向导数和梯度向量，后者指示了函数增长最快的方向，是优化问题的基础。 隐函数和反函数定理，尽管证明较为复杂，但其应用价值巨大，我们对其做了详细的解读，并展示了如何利用它们处理隐式定义的方程组。 在积分方面，本书转向了二重积分和三重积分。我们详细介绍了如何在不同坐标系（笛卡尔坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系）中设置积分限，并阐释了雅可比行列式（或极坐标下的 $r$ 因子）在坐标变换中的作用——它是面积和体积元素在变换过程中保持一致性的保证。 第五部分：向量微积分基础 最后，本书引入了线积分和面积分的基础概念，作为向量微积分的入门。我们定义了向量场，并讨论了保守场这一特殊类型。格林公式（Green's Theorem）被视为连接平面上线积分与区域上二重积分的桥梁，它以一种优美的方式统一了许多已学的积分与微分关系。 本书特色 概念先行，计算跟进： 确保读者在学习具体计算方法之前，对背后的数学思想有深刻的理解。 丰富的图示解释： 针对极限、导数、定积分和多重积分，提供了大量的几何图示，帮助建立直观认知。 紧密的实际联系： 每一章都配有精心挑选的应用实例，涵盖物理学中的运动学、工程学中的应力分析、经济学中的边际分析等。 本书适合作为高等理工科专业学生的第一门微积分教材，也为有一定基础，希望系统梳理和加深对微积分理解的自学者提供了理想的读本。
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