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出版者:东南大学出版社

作者:昊肇基

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2005-9

价格:44.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787564100650

丛书系列:

图书标签:

• 应用微积分
• 1
• 微积分
• 应用数学
• 高等数学
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《高等代数基础：理论与应用》 第一部分：线性代数的基石 本书旨在为读者构建一个扎实的高等代数基础，重点关注线性代数的理论深度与实际应用。我们从集合论和数域的基础概念入手，为后续的向量空间理论奠定严谨的数学框架。 第一章：数域与多项式 本章首先回顾并深化了对实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的理解，引入了更一般化的数域概念，为后续的抽象结构做准备。随后，我们深入探讨了多项式的代数性质。这包括多项式的环结构、带余除法在多项式环上的推广、多项式的不可约性，以及通过因式分解和根的性质来理解多项式的结构。特别地，我们将详细讨论多项式在不同域上的分解问题，包括最小多项式和有理范数。 第二章：向量空间 向量空间是线性代数的核心。本章从集合、加法和数乘三个基本公理出发，严格定义了向量空间。我们详细分析了子空间、线性相关性与线性无关性、生成集合以及基的概念。通过对有限维向量空间的讨论，我们引入了维数的概念，并证明了其唯一性。本章的难点和重点在于抽象向量空间的理解，我们将通过大量的实例（如函数空间、矩阵空间）来加深读者的直观认识。张量积的概念作为一种构建更高维向量空间的方法，也将在此处进行初步介绍。 第三章：线性变换与矩阵 线性变换是向量空间之间的结构保持映射。本章从线性映射的定义出发，探讨了其核空间（Kernel）与像空间（Image）的性质，并证明了著名的秩-零化度定理。矩阵是表示线性变换的工具，我们详细阐述了矩阵与线性变换之间的同构关系。重点内容包括：矩阵的乘法性质、初等矩阵、矩阵的秩，以及求解线性方程组 $Ax=b$ 的充要条件和通解结构。本章的最后部分将介绍矩阵的行列式理论，包括行列式的定义、性质及其与矩阵可逆性的联系。 第四章：相似理论与对角化 本章致力于研究向量空间基变换对线性变换表示的影响，从而引出相似理论。我们引入特征值和特征向量的概念，这是分析线性变换行为的关键。详细讨论了特征多项式、极小多项式，并给出了特征值与特征向量存在性的判定准则。本章的核心目标是实现矩阵的对角化，探讨了相似对角化的充要条件，并讨论了若尔当标准型（Jordan Normal Form）的构造原理及其在不可对角化情况下的重要性。 第二部分：内积空间与二次型 在引入了代数结构后，本部分将引入几何概念，关注向量之间的“长度”和“夹角”。 第五章：内积空间 本章定义了内积（或称内积）的概念，并在实数域和复数域上分别讨论了内积空间。我们通过内积导出的范数（长度）和内积（角度），使抽象的向量空间具备了度量几何结构。重点内容包括：正交性、施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，以及正交基与正交补空间的性质。此外，还将介绍正交矩阵和酉矩阵在线性变换中的作用。 第六章：自伴随算子与谱定理 在内积空间中，一类特殊的线性变换——自伴随算子（在复数域中称为厄米特算子）具有特殊的性质。本章将深入探讨自伴随算子的性质，例如其特征值必为实数。核心内容是谱定理，它揭示了自伴随算子可以通过正交变换对角化的深刻几何意义。这一理论是泛函分析和量子力学的基础。 第七章：二次型与张量 二次型是二次多项式的矩阵表示。本章讨论了二次型的定义、标准形和规范形。通过正交变换将二次型化为对角形式，是理解二次型性质的关键。我们引入了正定性、半正定性的概念，并通过特征值和合同关系来判定。最后，本章将对第一部分引入的张量概念进行更深入的探讨，从多线性映射的角度理解张量，并介绍张量积在多变量分析和物理学中的初步应用。 第三部分：线性代数在结构理论中的应用 第八章：欧几里得空间几何 本章将前述的理论应用于具体的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$。我们将详细分析线性流形（直线、平面、超平面）的表示，包括参数方程和一般方程。本章的重点是最小二乘法，它在数据拟合和误差分析中的应用，展示了正交投影定理的强大威力。 第九章：线性规划基础 本章概述了线性规划问题的数学模型，即将一个线性目标函数在由一组线性不等式定义的凸多面体可行域内求解极值的问题。我们将介绍单纯形法（Simplex Method）的基本思想，说明线性规划解集是凸集的基本性质，并讨论对偶性理论在资源分配和优化问题中的重要地位。 本书的特点在于其理论的严谨性和概念的清晰性，力求在抽象与具体之间架起桥梁，为读者未来学习更高级的数学领域（如泛函分析、微分几何、计算数学）打下坚实的基础。每章均配有大量的例题解析和具有挑战性的习题，以期培养读者独立分析和解决复杂线性代数问题的能力。

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我必须承认，这本书在某些章节的难度设置上是相当具有挑战性的，但这种挑战并非是故意的刁难，而是对读者求知欲的恰当激发。在涉及多变量微积分和偏导数的部分，作者引入了一些非常精妙的隐喻来解释高维空间的几何直觉，这些隐喻的构建需要读者投入大量时间和精力去消化。我记得有一次，我为一个关于拉格朗日乘数法的问题卡住了好几天，感觉自己对等高线和约束条件的理解始终处于雾里看花的状态。正当我准备放弃时，我重新翻阅了作者对“山峰攀登受路径限制”的比喻，突然间，那个抽象的数学约束条件像是被具象化了一般，豁然开朗。这种“需要反复咀嚼才能品出真味”的阅读体验，恰恰是好书的标志。它迫使你跳出舒适区，主动去构建知识的结构，而不是被动地接受结论。这种主动学习带来的成就感，远非轻而易举就能获得的知识所能比拟的。

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这本书的封面设计简约而有力，那种深沉的蓝色调总能让人联想到知识的海洋，翻开扉页，一股淡淡的油墨香气扑面而来，瞬间将我带入了一种沉静的学习氛围中。我记得第一次接触这本书时，我对高阶数学的理解还停留在比较基础的层面，总觉得那些复杂的符号和公式是遥不可及的，但这本书的叙述方式却出乎意料地亲切。它不像有些教科书那样生硬地堆砌定义和定理，而是巧妙地将抽象的概念置于具体的现实情境之中。比如，在讲解极限和连续性时，作者没有直接抛出$epsilon-delta$的严格证明，而是通过描述一个物体运动轨迹的平滑度，或者一个水流速度随时间变化的直观感受来引导读者进入情境。这种“先体验，后抽象”的教学策略极大地降低了初学者的畏惧感，让我感觉自己不是在被动地接受知识灌输，而是在和一位经验丰富的导师一起探索数学世界的奥秘。整本书的逻辑链条非常清晰，从最基础的导数概念如何描述变化率，如何引申到积分用来累积效应，每一步的过渡都自然得像是水到渠成，让人在不知不觉中就掌握了微积分的核心思想。

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这本书的排版和插图处理堪称业界典范，这一点必须大书特书。很多理工科书籍在图文排版上常常顾此失彼，要么图例模糊不清，要么与文字的对应关系牵强附会。然而，此书在每一处关键概念的阐释处，都配有精心绘制的、极其精准的几何图形或物理模型图。例如，在解释微积分基本定理时，那张用不同颜色阴影清晰勾勒出黎曼和与曲线下面积关系的图示，简直是一目了然，我甚至不需要回头去看前面的文字描述，仅凭那张图就能领会其精髓。更值得称赞的是，它对一些经典应用案例的剖析深度。它没有满足于教科书式的简单计算题，而是深入到了诸如最佳资源分配、最小表面积设计这类工程和经济学中的真实难题。这些案例的引入，让原本枯燥的数学工具立刻焕发出了强大的实用光芒，让我深刻体会到，微积分不只是一个数学分支，它更是理解和改造世界的强大引擎。读完这些章节，我感觉自己的思维模式都被这种“用数学语言重构世界”的方式所重塑了。

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这本书的语言风格，在我看来，是介于严谨的学术论文和富有激情的科普读物之间找到的一个完美平衡点。它在定义和证明时，用词是极其审慎和精确的，绝不含糊其辞，保证了数学的严密性无懈可击。然而，在章节的引入和总结部分，作者的笔触又变得非常富有感染力。他经常会穿插一些微积分发展史上的小故事，比如牛顿和莱布尼茨的争论，或者某个著名数学家在解决某个难题时的心路历程。这些“人情味”的叙述，极大地丰富了阅读体验，让读者感觉到，这些伟大的数学成就并非凭空产生，而是无数聪明人呕心沥血、充满挣扎与突破的结果。这种对知识背后的“人”的关注，使得学习过程不再是冰冷枯燥的符号操作，而是一场与历史上的智者们进行的跨时空对话。这种对人文精神的融入，让这本书的价值超越了一本单纯的工具书范畴。

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从装帧和纸张的选择上，就能看出出版方对这本书的重视程度。这本书的纸张厚实，印刷字迹清晰锐利，即便是长期翻阅和在上面做大量的批注，也不会轻易出现墨水洇开或纸张磨损的问题。尤其是在处理那些包含大量希腊字母和复杂上下标的公式时，排版的间距控制得非常得当，避免了视觉上的拥挤和混淆，这对于需要频繁对照公式和文字的读者来说，是极大的便利。而且，这本书的配书资源也极其丰富，附带的在线学习资料中包含了大量额外的练习题集和可视化工具的链接，这些都是对主书内容的有力补充。它不仅仅是一本静止的文本，更像是一个动态的、可交互的学习系统。这种全方位的支持，体现了对学习者需求的深刻理解，确保了读者能够以最高效、最舒适的方式，去掌握微积分这门基础而强大的学科。

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