高等代数与解析几何（上） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:孟道骥

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004-07-01

价格:14.0

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isbn号码:9787030061942

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• 高等代数
• 解析几何
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现代数学基础：微积分与线性代数导论 作者： 王建国，李明华 出版社： 科学技术出版社 出版年份： 2023年 --- 内容简介 本书旨在为理工科专业学生提供一套严谨而深入的现代数学基础知识体系，重点涵盖了微积分（Calculus）和线性代数（Linear Algebra）两大核心领域。全书共分上、下两册，本册（上）主要聚焦于微积分的基础理论与初步应用。我们力求在保持数学严谨性的同时，注重概念的清晰阐述和直观理解，并通过大量精心挑选的例题和习题，帮助读者巩固知识并培养解决实际问题的能力。 第一部分：微积分基础（Calculus Fundamentals） 本部分构筑了微积分学的基石，从极限的概念出发，逐步过渡到导数和积分的定义及其在函数分析中的应用。 第一章：实数系统与函数概念回顾 虽然本书假定读者已具备高中代数的基础知识，但本章将快速回顾和深化对实数系统（如完备性公理的直观理解）的认识，并重点讨论函数在数学分析中的严格定义。我们将分析函数的定义域、值域、复合函数、反函数，并引入特殊函数类型，如周期函数、单调函数和有界函数。特别地，对初等函数（多项式、有理函数、三角函数、指数函数和对数函数）的性质进行详尽的讨论，为后续的微积分运算打下坚实基础。 第二章：极限与连续性 极限是微积分学的灵魂。本章从$epsilon-delta$语言出发，对数列极限和函数极限进行严格定义。我们将详细探讨极限的运算法则、极限存在的充分必要条件（如单调有界定理）。紧接着，我们将引入无穷小量和无穷大量，并利用它们进行极限的比较和计算。 连续性是导数存在的前提。本章将精确定义函数的连续性、间断点（第一类、第二类）。在此基础上，我们将探讨闭区间上的连续函数的性质，例如最大值与最小值定理、介值定理，这些定理是后续微积分证明中的重要工具。 第三章：导数——瞬时变化率的度量 本章引入导数的概念，将其定义为函数在某点上的极限，并从几何上解释其为切线的斜率，从物理上解释其为瞬时变化率。我们将系统地推导基本函数的求导法则（和、差、积、商、复合函数、反函数）。 重点章节是导数的应用。我们将利用一阶导数研究函数的单调性、极值、凹凸性以及拐点，并运用洛必达法则求解不定式极限。此外，本章还将介绍导数的应用，包括曲线的切线与法线、曲率的概念，以及相关的优化问题（如最大值和最小值问题）。 第四章：微分与中值定理 本章将微分$dy$与导数$dx$进行严格区分，并阐述微分在近似计算中的作用。 中值定理是微分学中的核心理论支柱。我们将详细阐述罗尔定理（Rolle's Theorem）、拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem）及其几何意义。在此基础上，柯西中值定理将被引入，作为洛必达法则严格证明的理论依据。柯西中值定理的讨论，有助于读者理解高等数学证明的递进关系。 第五章：不定积分与积分学初步 本章标志着微积分学从“求变化率”转向“求累积量”。我们首先定义不定积分的概念，并介绍基本积分公式和积分技巧，包括变量代换法（换元积分法）和分部积分法。 积分技巧的熟练掌握是本部分学习的关键。我们将专门讨论有理函数、三角函数有理式以及部分无理函数积分的常用方法。 第六章：定积分及其应用 本章通过黎曼和（Riemann Sum）对定积分进行严格定义，阐述定积分的几何意义（面积）。 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的引入是本章的高潮，它将微分学和积分学紧密地联系起来。我们将利用此定理计算各种定积分。 定积分的应用是本章的重点内容，包括： 1. 几何应用： 计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长以及曲面的面积。 2. 物理应用： 计算功、质心、形心以及压力等物理量。 第七章：广义积分 本章将定积分的概念推广到积分区间为无穷大（无穷区间积分）或被积函数在积分区间内存在无穷间断点（瑕积分）的情况。我们将定义广义积分的收敛性与发散性，并探讨其判别准则。 --- 第二部分：线性代数基础（Introduction to Linear Algebra） 虽然本书的侧重点在上册为微积分，但为了提供一个连贯的数学基础视角，本部分对线性代数进行必要的概念引入，为下册的深入学习做好准备。 第八章：矩阵与初等行变换 本章从矩阵的定义出发，介绍矩阵的运算（加法、数乘、乘法）。重点讲解矩阵乘法的非交换性及其几何意义。 初等行变换是求解线性方程组和矩阵性质分析的核心工具。本章详细介绍三种初等行变换，并利用它们对矩阵进行化简（行阶梯形、简化行阶梯形）。 第九章：线性方程组的求解 本章将线性方程组的求解问题转化为矩阵方程$AX=B$的形式。利用高斯消元法和高斯-约旦消元法，结合矩阵的秩（Rank）的概念，我们系统地阐述了线性方程组的解的存在性和唯一性的判别条件。 第十章：行列式 行列式是描述方阵性质的重要工具。本章将通过二阶、三阶行列式的几何意义引入，然后给出$n$阶行列式的定义（代数余子式展开）。我们将详细证明和应用行列式的基本性质，并阐述行列式与矩阵可逆性之间的深刻联系。克拉默法则（Cramer's Rule）作为行列式在求解线性方程组中的直接应用，也将被详细介绍。 --- 学习特色与目标 本书的编写遵循“由浅入深、由直观到严谨”的原则。 1. 概念的严格性： 对极限、导数、积分等核心概念给予清晰且严格的$epsilon-delta$定义，为读者未来学习实变函数或高等代数打下坚实的理论基础。 2. 计算的实用性： 提供了丰富的积分技巧和矩阵运算方法，确保读者能够熟练应用于工程和科学计算。 3. 理论与实践结合： 每一章节末尾均配有大量的练习题，分为基础概念题、计算题和综合应用题，帮助读者将抽象理论转化为实际解决问题的能力。 通过本册的学习，读者将掌握分析学（微积分）的全部基础工具，并对线性代数的核心概念有初步的认识，为后续学习更高级的数学分支课程做好充分准备。

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说实话，我第一次翻阅这套书时，最大的感受是那种扑面而来的知识密度和抽象性，它毫不留情地将读者直接投入到最核心的理论构建之中，完全没有那种循序渐进、温柔铺垫的意图。它仿佛是直接把一座宏伟的数学大厦的核心结构展示在你面前，没有预留太多喘息的空间让你去适应高度。每一章的引入都极其精炼，仿佛是直接从学术前沿摘录下来的陈述，对于那些习惯于看到大量生活化比喻或者“软性”导入的读者来说，可能会感到措手不及，甚至会产生一种“我真的能看懂吗”的自我怀疑。这种处理方式的优点是毋庸置疑的，它极大地提高了学习效率，对于已经有扎实预备知识的读者，可以直接穿透表层，直达数学思想的本质，真正体会到代数和解析几何这两大领域的结构之美和逻辑之严密。但代价就是，那些基础较为薄弱的同学，可能会在最初的几章就遭遇巨大的理解瓶颈，需要花费额外的时间去反复研读，甚至需要搭配其他更基础的辅助材料才能勉强跟上作者的思维跳跃速度，这使得这本书的“可及性”稍显不足，更像是为准专业人士量身定制的工具箱。

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如果从教学实践的角度来审视这本教材的案例设置，我个人感觉它的实用性是双刃剑。一方面，书中挑选的例题和习题，几乎无一例外地都是围绕着最核心、最本质的数学概念展开的，它们巧妙地覆盖了各个知识点的难点和易混淆区，确保了学习者能够对理论知识进行最纯粹的检验。那些精心构造的例题，往往能够一语道破某个定理在抽象空间中的具体表现形态，让那些原本飘忽不定的概念一下子有了着落。然而，另一方面，这些习题的难度梯度分布似乎有些跳跃性过大，缺乏一个平滑的过渡区间。前几个章节的练习题还算友好，但一旦进入到中后期，尤其是涉及到特征值、对角化或者多重积分的应用部分时，习题的复杂度会陡然上升，很多题目已经不再是简单的概念代入，而是要求读者进行复杂的结构重组和技巧运用。这对于独立学习者而言，意味着需要更强的主动性去搜集解题思路，否则，很可能会卡在那些“鬼打墙”一样的难题上，影响整体的学习信心和进度。

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这本书在处理定理的证明和推导时，展现出一种近乎严苛的完整性和逻辑链条的无懈可击，丝毫没有为了追求篇幅简洁而省略关键步骤的倾向。我特别留意了其中关于某些向量空间子空间性质的论证部分，作者几乎是将每一个逻辑跳转的细节都掰开了揉碎了展现出来，那种步步为营、层层递进的论证过程，非常适合那些希望深入理解“为什么”而不是仅仅记住“是什么”的读者。它要求读者必须保持高度的专注力，一旦走神哪怕一步，可能就会错过一个至关重要的连接点，导致后续的理解完全中断。这种深入骨髓的严谨性，恰恰是高等数学教材的价值所在，它教会的不仅仅是数学知识本身，更是一种严密的、不容妥协的逻辑思维训练。虽然阅读过程可能会比许多其他同类教材要费力得多，需要不断地回头查阅前面的定义和引理，但当最终的结论水到渠成地被证明出来时，那种由彻底理解带来的成就感，是任何简化的讲解都无法比拟的，它像是在精神上进行了一次高强度的马拉松。

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这本教材的装帧设计倒是挺考究的，封面是深邃的藏蓝色，配上烫金的字体，显得相当有分量感，初拿到手的时候，那种沉甸甸的感觉就让人觉得这不仅仅是一本普通的课本，而是承载着知识重量的工具书。内页的纸张质地也相当不错，不是那种廉价的、容易反光的纸张，阅读起来眼睛的负担小很多，长时间盯着密密麻麻的公式和定理看，也不会觉得特别刺眼。排版上，作者明显花了不少心思，定理的陈述和例题的展示之间的逻辑衔接非常清晰，段落间的留白处理得当，使得复杂的数学结构能够被有效地视觉化。特别是那些关键的定义和推导过程，都用不同的字体或者加粗进行了强调，这对于自学者或者需要快速查阅重点知识点的读者来说，简直是福音。不过话说回来，虽然外在看起来足够专业和严谨，但对于一个初次接触这块领域的新手来说，这样的“重磅出击”可能带来的心理压力是相当大的，它散发出一种不容置疑的权威感，让人在翻开第一页之前，就已经感受到了一股扑面而来的学习挑战。整体而言，从物理层面上看，这本书绝对称得上是精装典范，体现了出版方对学术内容的尊重。

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与其他市场上流行的、更偏向于应用导向的解析几何教材相比，这本《高等代数与解析几何（上）》明显将更多的笔墨和深度倾注在了代数结构的基础搭建上。它更像是一部奠定理论基石的“内功心法”，而非一套直接解决实际工程问题的“招式手册”。例如，对于线性空间、线性变换这些核心概念的阐述，它深入到了公理化的层面，其详尽程度甚至超过了一些专门研究抽象代数的入门书籍。这种取向决定了，这本书的受众群更倾向于数学、物理、计算机科学（特别是理论方向）的研究者或高年级学生，它旨在培养的是对数学结构有深刻洞察力的头脑。对于那些只需要掌握基本矩阵运算和空间几何知识的工程类学生来说，这本书可能显得过于庞大和理论化，很多内容似乎超出了他们即时的需求范畴。总而言之，如果你期望的是一本快速上手、侧重于计算技巧的书，这本书可能不是你的首选；但如果你立志于探索数学的深层逻辑和结构美感，那么这本书无疑是一座宝库，它提供的视野是深远且扎实的。

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