线性代数与空间解析几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:邢伟

出品人:

页数:203

译者:

出版时间:2005-6

价格:14.60元

装帧:简裝本

isbn号码:9787040167047

丛书系列:

图书标签:

• 东大课本
• 线性代数
• 空间解析几何
• 高等数学
• 数学教材
• 大学教材
• 矩阵
• 向量
• 行列式
• 解方程
• 几何变换

现代概率论基础与应用：面向统计推断与数据科学的严谨构建 本书旨在为读者提供一个深入、全面且严谨的现代概率论基础，重点关注其在统计推断、机器学习和数据科学中的核心地位与应用。 本书的结构设计遵循从基础公理到高级随机过程的逻辑递进，力求在概念的精确性与实际问题的解决能力之间取得完美的平衡。我们假设读者具备扎实的微积分基础（包括多元微积分和基础的实分析概念），并希望能够掌握描述和分析随机现象的数学工具。 --- 第一部分：概率的公理化基础与基本结构 本部分奠定了整个理论体系的基石。我们不再仅仅停留在古典概率的“频数”定义上，而是从更具操作性和理论深度的概率空间概念入手。 第一章：集合论基础与测度论初探 动机： 解释为何需要引入测度论来精确定义“事件”和“概率”。 核心内容： 集合代数、$sigma$-代数（可测集族）的严格定义与性质。可测函数与波雷尔 $sigma$-代数。 概率测度： 定义概率测度 $ ext{P}(cdot)$ 必须满足的三个公理，以及由此导出的基本性质，如单调性、可列可加性。 练习与应用： 集合运算在概率事件建模中的作用，如何用 $sigma$-代数对随机实验的结果空间进行合理划分。 第二章：随机变量的测度论视角 随机变量的再定义： 将随机变量 $X$ 定义为从概率空间 $(Omega, mathcal{F}, ext{P})$ 到实数集 $mathbb{R}$ 的可测映射。 分布函数： 累积分布函数（CDF）的性质及其与概率测度的关系。 离散与连续随机变量的特征： 概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）的引入，以及它们与对应测度的联系（计数测度与勒贝格测度）。 期望的测度论定义： 引入勒贝格积分的概念，严格定义随机变量的期望 $E[X] = int_{Omega} X(omega) d ext{P}(omega)$。解释为何对于密度函数，期望可以写成积分 $int_{-infty}^{infty} x f(x) dx$。 第三章：多维随机变量与随机向量 联合与边际分布： 对两个或多个随机变量，定义联合分布函数、联合密度函数。讨论如何从联合分布中提取边际分布。 独立性： 概率独立性的精确定义——事件的独立性、随机变量的独立性（基于 $sigma$-代数的乘积性）。 条件期望与条件概率： 这是本部分的核心难点。我们使用测度论工具——条件期望 $ ext{E}[X|mathcal{G}]$ 作为 $sigma$-代数 $mathcal{G}$ 上的唯一可测函数的视角来定义条件概率，从而避免了在密度函数为零时的传统定义困难。深入讨论塔性质（Tower Property）。 --- 第二部分：收敛性、极限定理与大数定律 本部分着重于概率论在统计推断中的理论支柱——随机变量序列的收敛性和极限行为。 第四章：随机变量序列的收敛模式 五种主要的收敛概念： 几乎必然收敛 (a.s.)、依概率收敛 (in prob.)、依分布收敛 (in dist.)、平均收敛 ($L^p$ 收敛)。 收敛性的关系图： 详细分析这五种收敛之间的蕴含关系，并给出具体的反例来区分它们。 关键定理： 极限定理（如 $ ext{E}[X_n] o ext{E}[X]$ 与依概率收敛的关系）。 第五章：大数定律的深度探究 弱大数定律 (WLLN)： 严格证明柯尔莫哥洛夫弱大数定律的必要条件和充分条件（有限方差假设）。 强大数定律 (SLLN)： 柯尔莫哥洛夫强大数定律的表述与证明（通常需要更强的矩条件，如有限一阶矩）。 应用： 强调强大数定律在 Monte Carlo 模拟中保证估计量的稳定性和可靠性的理论基础。 第六章：中心极限定理 (CLT) 的统一视角 Lindeberg-Feller CLT： 介绍最一般形式的中心极限定理，它对随机变量的独立性要求相对较弱。 经典 CLT： 证明独立同分布 (i.i.d.) 随机变量序列的中心极限定理。 特征函数： 引入特征函数 $phi_X(t)$ 作为分析分布和证明 CLT 的强大工具。深入探讨 Lévy 反演公式和唯一性定理。 应用： CLT 如何支撑统计推断中的置信区间构建和假设检验（基于渐近正态性）。 --- 第三部分：随机过程：时间的演化 本部分将概率论从静态的随机变量扩展到随时间演化的随机现象，这是现代金融工程、物理建模和复杂系统分析的核心。 第七章：马尔可夫链 (Markov Chains) 定义与状态空间： 马尔可夫性质的精确表述。 转移概率与转移矩阵： 状态转移的矩阵表示。 分类与遍历性： 正常返性、瞬时性、常返性、伸缩性。平稳分布的存在性与唯一性（利用特征方程）。 应用： Google PageRank 算法的概率论基础、随机游走模型。 第八章：泊松过程与布朗运动 (Wiener 过程) 泊松过程： 独立增量与定常增量的性质。如何通过限制二项过程来构造泊松过程。 布朗运动的构造： 从随机游走到连续时间极限的过渡。布朗运动的连续路径性质、不成比例的变分。 随机积分的初步概念： 介绍伊藤积分的必要性，而非使用传统的黎曼积分来处理布朗运动的路径依赖性。 第九章：随机过程中的鞅论基础 (Martingales) 鞅、上鞅、下鞅的定义： 基于条件期望的动态公平博弈模型。 鞅的收敛性定理： 鞅的 $L^p$ 收敛性与几乎必然收敛性。 Doob 分解定理： 将任意随机过程分解为鞅、可加过程和局部鞅的部分。 应用： 在金融定价理论中，鞅论是建立风险中性测度和套利定价模型的数学基石。 --- 附录 A：勒贝格积分回顾： 对简单函数、非负函数和一般可测函数的积分定义及其收敛定理（单调收敛定理、优控收敛定理）。 B：连续随机向量的变换法则。 本书的特色在于其对现代统计学和数据科学中常用工具的深度溯源。它不仅仅是概率的知识集合，更是一种严谨的、代数化的思维方式，确保读者能够理解为何某些统计方法有效，以及在何种条件下它们的有效性得以保证。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，厚重的质感和封面上那略带磨砂质感的处理，无声地诉说着内容的分量。我特意挑了一个阳光明媚的午后，翻开第一章，映入眼帘的排版非常考究，图文间距拿捏得恰到好处，不像有些教科书那样把公式挤得密密麻麻，读起来有种呼吸感。 尤其要提的是，书中的概念图示部分，那些抽象的向量空间、线性变换的几何意义，作者似乎下了很大功夫去可视化，用三维的透视图和色彩的区分来辅助理解，这对于我们这种“图形思维”型学习者来说，简直是福音。我记得看到关于特征值和特征向量的章节时，原本晦涩难懂的矩阵对角化过程，因为配上了旋转、拉伸的动态效果图（当然，这是在我脑海中构建的动态效果），一下子就变得立体起来。作者在引入新概念时，总会先给出一些生活中的实例或者工程上的应用背景，而不是直接抛出公理，这种“由浅入深”的叙事方式，极大地降低了初学者的心理门槛。整体阅读下来，感觉这本书不仅仅是知识的堆砌，更像是一次精心策划的思维漫游，引导你去感受那些隐藏在数字背后的空间美学。

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我之前读过好几本相关的学习资料，但很多都将“线性代数”和“空间解析几何”这两个部分割裂得很厉害，前者偏向于抽象的代数结构，后者则专注于三维坐标系下的向量运算。然而，这本《线性代数与空间解析几何》最吸引我的地方，恰恰在于它出色的融合度。作者非常巧妙地将空间几何中的点、线、面，与代数中的向量、子空间、平面方程联系起来，使得每一个几何操作都有了坚实的代数基础支撑。例如，在讲解子空间的概念时，书中并没有停留于抽象的集合定义，而是立刻将其具象化为空间中的直线、平面，甚至是更高维度的截面。这种双重视角贯穿始终，让学习过程变得非常连贯和自然。我感觉自己不再是孤立地学习两门学科，而是真正地在理解“空间”这一核心概念的不同表达方式。这种整合带来的认知上的飞跃，是任何单一主题的教材都难以提供的深度体验。

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从一个非专业背景的自学者角度来看，这本书的参考价值和辅助材料的丰富程度，是它脱颖而出的关键。我发现书的最后附录部分，整理得极其详尽，它不仅仅是定理和公式的索引，更像是一个快速查阅的“速查手册”。特别是对于一些高等数学中常见的矩阵求逆公式和向量外积的性质，都用非常清晰的表格形式列了出来，这大大节省了我在解题时翻阅前文查找细节的时间。此外，书中对于不同表示方法之间的等价性讨论也非常深入，比如如何从行列式表示法转换到特征值表示法，每一步的数学意义都被解释得很透彻。虽然整体难度不低，但作者似乎预料到了学习者可能遇到的困难点，并在关键转折处加入了“小贴士”或“历史背景”的补充说明，这些小小的侧边栏文字，往往能提供意想不到的理解视角。这本书的实用性很高，对于想要通过自学打下扎实基础的读者来说，它提供的支持系统是相当完善和可靠的。

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这本书的习题设置，是我个人认为它最“狡猾”也最成功的地方。它没有采用传统教材那种“基础题-中等题-难题”的线性划分，而是将不同难度的题目穿插在理论讲解之后，让人猝不及防。更妙的是，许多习题并不是简单的公式代入，而是需要你综合运用好几个章节的知识点才能勉强得出答案，迫使你进行知识的融会贯通。我记得有一道关于变换矩阵的题目，初看以为只是简单的坐标变换，结果深入挖掘后发现，它实际上考查了相似矩阵和矩阵的秩之间的关系。这种“剥洋葱”式的解题体验，虽然过程痛苦，但一旦攻克，那种豁然开朗的感觉是无可替代的。我特别喜欢书中那些需要“构造反例”的思考题，它们有效地训练了我们批判性地看待每一个数学结论的能力。这本书几乎可以说是一本“习题驱动”的教材，它不是被动地让你验证知识点，而是主动地让你去发现知识点的边界和局限性，这对于培养真正的数学思维至关重要。

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我抱着极大的期望入手了这本新教材，但坦白讲，开篇的理论推导部分，老实说，略显过于“学术化”了。文字的密度相当高，对于已经有些基础的读者来说，可能很快就能跟上节奏，但如果想深入探究每一步证明背后的逻辑链条，恐怕需要反复查阅定义和引理。我花了好几天时间才啃完关于基和维度的基础章节，感觉作者的笔触更偏向于严谨的数学证明逻辑，而非直观的几何解释。举个例子，在处理线性相关性和基的唯一性时，作者直接给出了完整的集合论推导，虽然逻辑上无懈可击，但对于那些更依赖空间想象力的人来说，可能需要借助外部资源来补足那些“缺失的直觉”。不过，一旦跨过了最初的“陡坡”，后面的章节，比如那些关于正交基和最小二乘法的应用，质量就明显提升了。特别是对最小二乘法在线性回归中的应用描述，它清晰地展示了如何通过投影将一个高维问题转化为一个可解的低维问题，那段描述的流畅性和准确性，值得称赞。总而言之，这是一本适合已经有一定微积分或基础线性代数背景的读者进行深入系统学习的工具书。

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