2004年全国硕士研究生入学统一考试数学考试 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育

作者:教育部考试中心[编]

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价格:42.00元

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isbn号码:9787040129199

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《高等代数与解析几何：面向理工科的经典教材》 本书简介 本书旨在为理工科专业本科生提供一套全面、深入且注重应用的基础数学教材，涵盖了高等代数和解析几何两大部分的核心内容。不同于单纯侧重理论推导的传统教材，本书在内容组织和习题设计上，力求紧密结合现代科学与工程中的实际问题，帮助学生建立扎实的数学基础，培养逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。 第一部分：高等代数 高等代数部分着重于向量空间理论、矩阵代数、行列式、特征值理论以及多项式的深入研究。 第一章：数域与多项式 本章首先回顾了实数域与复数域的基本性质，引入数域的概念，为后续抽象代数结构的研究奠定基础。重点在于多项式的代数运算，包括多项式的乘法、除法（带余除法）和最大公因式（欧几里得算法）。深入探讨了多项式的根的性质，如韦达定理及其推广，以及有理根的判别法。对于复系数多项式，详细阐述了代数基本定理及其推论，包括多项式在复数域上的唯一分解。 第二章：行列式 行列式的概念通过二阶、三阶行列式的几何意义引入，随后推广到 $n$ 阶行列式。本章详尽介绍了行列式的定义（基于全排列的定义）以及其基本性质，如基于行（列）的线性性质、转置性质等。重点讲解了拉普拉斯展开定理，并将其应用于行列式的计算。最后，探讨了行列式在克拉默法则（Cramer's Rule）中的应用，为后续线性方程组的求解做准备。 第三章：矩阵及其运算 矩阵作为描述线性变换和多维数据结构的核心工具，在本章得到系统介绍。内容包括矩阵的定义、分类（方阵、零矩阵、单位矩阵等）以及矩阵的线性运算（加法、数乘）。矩阵乘法的定义、性质及其非交换性是本章的难点与重点。矩阵的转置、对称矩阵和反对称矩阵的性质得到细致讨论。矩阵的初等行（列）变换及其初等矩阵，是后续研究矩阵秩和逆矩阵的基础。本章还引入了矩阵的秩的概念，并利用初等变换求矩阵的逆，为求解线性方程组提供了代数工具。 第四章：线性方程组 本章的核心在于利用矩阵理论解决线性方程组。详细介绍了线性方程组的增广矩阵、系数矩阵，并基于高斯消元法（Gaussian Elimination）建立了求解线性方程组的标准流程。重点阐述了线性方程组有解的条件（Rouché–Capelli定理），以及齐次线性方程组解空间的性质（零空间）。通过理解基础解系和通解的构造，学生能够掌握求解任意规模线性方程组的方法。 第五章：向量空间（线性空间） 这是高等代数理论性的飞跃。本章从集合出发，严格定义了线性空间的公理化结构，包括线性组合、线性相关性、基（Basis）和维数（Dimension）。向量空间的基的选择是任意的，但其维数是唯一的，本章通过证明关键定理来巩固这一概念。子空间、商空间（线性流形）的概念也被引入，为更深入的代数结构研究打下基础。 第六章：线性变换与特征值理论 线性变换是向量空间之间的结构保持映射。本章详细讨论了线性变换的定义、性质，如核空间（Kernel）和像空间（Image），以及线性变换的矩阵表示。重点在于相似变换的概念，以及如何通过选取不同的基来表示同一个线性变换。特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）是理解线性动力学和稳定性分析的关键。本章系统介绍了特征多项式、求特征值和特征向量的方法，并深入讨论了相似矩阵的性质，包括矩阵的对角化条件（充分必要条件）。对于不可对角化的情形，简要介绍了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的意义。 第七章：二次型与欧几里得空间 二次型是二次多项式的矩阵表示，在几何和优化问题中至关重要。本章将二次型与其对应的对称矩阵联系起来，重点研究了合同变换和合同矩阵。二次型的标准形（Canonical Form）的求法，特别是通过正交变换化为对角矩阵（主轴定理），是本章的理论核心。最后，引入欧几里得空间的概念，探讨了内积、范数和正交性，并介绍了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthonormalization）。 --- 第二部分：解析几何 解析几何部分着重于利用代数工具描述和研究几何对象，强调坐标系的选择对问题解决的影响。 第八章：平面解析几何基础 本章从二维坐标系建立开始，讨论点的坐标表示。重点在于直线方程的各种形式（点斜式、两点式、一般式），以及线与线之间的关系（平行、垂直、夹角）。线段的定比外分点公式是本章的关键计算工具。此外，还引入了向量在平面上的应用，如向量的坐标表示、点积（内积）及其几何意义。 第九章：空间解析几何 将二维概念推广到三维空间。空间直角坐标系的建立和点的坐标表示是基础。空间中直线方程（方向向量表示法、两点式）和平面方程（法向量表示法、一般式）的推导和应用是重点。深入分析了直线与平面之间的相对位置关系（平行、相交、垂直），以及它们之间的夹角计算。空间向量的叉积（外积）被引入，并用于解决与面积和体积相关的几何问题。 第十章：二次曲线 本章系统研究二维平面上的二次曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。首先，从标准方程出发，分析每种曲线的几何性质，如焦点、准线、离心率等。然后，利用一般二次曲线方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，通过配方法和旋转变换，将其化为标准形式，从而识别其类型和确定其几何特征。 第十一章：二次曲面 本章将几何研究推广到三维空间。重点讨论了球体的方程，以及最常见的二次曲面：椭球面、单叶/双叶双曲面、抛物面（椭圆/双曲）和圆锥面。通过研究这些曲面的截线（如与坐标平面的交线），掌握分析和绘制三维二次曲面的方法。 总结与展望 本书的编写风格力求清晰、严谨，同时兼顾计算的可操作性。大量的例题贯穿始终，展示了从理论到应用的完整思维链条。配套的课后习题从基础概念巩固到复杂问题的综合应用，旨在培养学生运用数学语言精确描述和有效解决工程问题的能力，为后续学习微分方程、概率统计以及专业领域的建模课程打下坚实的基础。

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拿到这本汇集了二十年前全国硕士研究生入学统一考试数学试卷的资料，我的第一感受是：这份资料的排版和印刷质量，完全是那个年代的产物，粗粝中带着一种朴实的严谨。我当时买它，是抱着一种“考古”的心态来对待的，希望能从中挖掘出那些被现在教材和辅导书渐渐淡化的经典考点。翻开试卷，我立刻被其中几道几何与代数交叉融合的题目吸引住了。它们没有依赖复杂的向量空间理论，而是通过巧妙的坐标变换和几何直觉来求解，展现了一种纯粹的数学美感。相比于现在动辄要求快速识别高级模型的能力，2004年的试题更像是在考验考生的“数学耐力”——你是否愿意花时间去细致地展开每一步计算，而不被初期的复杂性吓倒。我尝试着自己做了一套模拟，发现最大的挑战不在于知识的难度，而在于如何在没有现代计算工具辅助的情况下，保持长时间的注意力集中和计算的准确性。不过，对于那些追求“手感”的考生来说，这本资料无疑是一剂良药，它强迫你回到最原始的计算层面上去磨练技艺，这种体验是现代速成资料无法给予的。

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说实话，我本来是抱着“它应该包含详细的解题技巧和现代应试策略”的期望来寻找这份材料的。毕竟，一个考试的真题集，理应是应试的最佳指南。然而，深入阅读后，我发现这本书更像是一个纯粹的“记录者”而非“指导者”。它忠实地呈现了2004年试卷的原始面貌，包括那些现在看来可能有些过时或者被更优方法取代的解题路径。比如，在处理某些涉及不定积分的问题时，它给出的方法非常繁琐，如果套用现在大学教材中出现的积分技巧，可能只需几步就能完成。这让我产生了一个有趣的思考：数学教育的进步，很大程度上体现在我们找到了更优雅、更高效的工具来解决相同的问题。因此，如果仅仅把它当作一本提高分数的“秘籍”来看待，可能会有些失望。但若将视角放宽，把它当作研究数学教育演变史的珍贵样本，那么它的价值便凸显出来——它展示了在那个特定时间点，数学能力是如何被量化和评估的。对于那些对考试发展史感兴趣的研究者来说，这绝对是不可多得的参考资料。

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这本厚厚的黄皮书，光是翻开第一页就能感受到一股扑面而来的怀旧气息。拿到手的时候，我主要还是冲着它“2004年”这个时间戳去的。毕竟，那是离现在有一段距离的考试真题集，理论上来说，它所覆盖的知识点和考查的思维模式，应该能代表那个时代数学教育的一个侧面。我记得我特意找来它的初衷，是想对比一下近些年考研数学的趋势变化，看看那些经典的基础题型在二十年前是如何被构建和呈现的。翻阅过程中，我发现早年的试卷在对基础概念的考察上显得尤为扎实，没有太多花哨的陷阱或过于偏门的知识点，更像是在检验你对“线性代数的基本定义是否真正理解”或“微积分的链式法则能否熟练运用”这种层面上。当然，这种评价并不是说现在的考试就不注重基础，而是说二十年前的“基础”似乎更偏向于计算的深度和定理的机械应用，而近年来的题目则更倾向于综合分析和实际问题的建模转化。每道题目的解析部分，如果能提供更详细的解题思路演变过程，那就更完美了，现在的很多注释只是简单地给出了结论性的步骤，对于我这种需要回溯学习路径的人来说，略显不足。不过，作为研究历史试卷的资料，它的价值是无可替代的，它像是一面镜子，映照出我们走过的学术历程。

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这本书入手之后，我最关心的部分是它对“数学分析”部分的覆盖情况。因为在我个人的学习经验中，分析学往往是区分考生水平的关键。我仔细比对了2004年的分析试题与我目前正在学习的最新教材中的相关章节，发现了一个有趣的现象：当年的题目对于极限的ε-δ语言的考察似乎更为直接和苛刻，它要求你必须非常清晰地理解极限的定义本身，而不是仅仅停留在运用某些已知的极限公式上。这与当代考试中更侧重于利用微积分基本定理解决实际问题的趋势有所不同。我花了大量时间研究其中一题关于多变量函数的极值问题，它要求在非标准约束条件下求最值，解答过程极其依赖于细致的边界分析和二阶导数检验。这本书的呈现方式是极其简洁的，它没有提供任何“心理辅导”或者“解题心路历程”的叙述，一切都直截了当，这对于那些心理素质较弱的考生来说，可能会感到一种冰冷的压力。它更像是一个沉默的对手，等待你去攻克，而不是一个和蔼的导师，引你入门。我期待在后续的翻阅中，能从这些原始试题中，提炼出那些超越时代、永恒不变的数学思维内核。

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这份材料的物理属性，比如纸张的手感和字体的选择，无声地诉说着那个年代的氛围。我注意到，在解析部分，对于某些逻辑严密的证明题，作者的处理方式显得非常“老派”，即完全依赖于最基础的公理和定理的逐步推导，几乎没有使用任何现代数学中常用的简洁符号或缩写。这种详尽到近乎冗余的推导过程，对于初学者来说，或许能建立起最为牢固的逻辑地基，让他们明白每一个结论是如何一步步建立起来的，而非仅仅“记住结论”。然而，对于时间紧迫的考生，这种深度可能会成为负担，因为你需要花费大量精力去消化那些看似可以跳过的中间步骤。对我个人而言，我更偏爱那种能够提炼出“解题模式”的解析，这本书显然不属于此类。它更像是一份需要你亲自去“挖掘”模式的矿藏，它提供了原材料，但需要你自己去冶炼。总的来说，它是一份扎根于那个时代数学教育土壤的珍贵遗产，它考验的不仅仅是你的数学知识储备，更考验你对数学逻辑体系的耐心与敬畏之心。

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