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出版者:中央广播电视大学出版社

作者:教育部考试中心组编

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2002-08-01

价格:33.0

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isbn号码:9787304023058

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• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 解析几何
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

《高等数学》是一门旨在系统性、深入地介绍数学核心概念与方法的学科。它建立在基础数学知识之上，为读者打开了探索更广阔数学世界的大门，并为物理、工程、经济、计算机科学等众多领域提供了不可或缺的理论工具与分析框架。 本书的编写宗旨是，通过严谨的数学语言和清晰的逻辑推理，引导读者建立起扎实的数学基础，培养其分析问题、解决问题的能力，并最终激发对数学科学的浓厚兴趣。我们力求在保持数学的抽象与严谨性的同时，兼顾内容的易理解性和启发性，使之能够满足不同层次读者的学习需求。 内容深度与广度 《高等数学》的内容涵盖了数学中的几个核心分支，它们之间相互关联，共同构成了现代数学的基石。 一、 微分与积分（Calculus） 这是高等数学的灵魂所在，也是本书最为重要的组成部分之一。 极限（Limits）：极限是微积分的基础，它定义了函数值在某个点附近的行为。本书将从直观的几何意义入手，深入讲解极限的定义，包括单侧极限、无穷远处的极限以及函数在无穷远处的极限。我们将通过丰富的实例，如速度、加速度的瞬时变化率，以及曲线的渐近线，来阐释极限的实际应用。同时，本书也会探讨极限的性质，如四则运算性质，并引入“ε-δ”定义，以提供更严谨的数学论证。 导数（Derivatives）：导数是描述函数变化率的工具。本书将详细阐述导数的定义，即它代表了函数图形上某一点的切线斜率。我们将系统介绍各类函数的求导法则，包括基本初等函数的导数、四则运算的导数、复合函数的链式法则、隐函数求导以及参数方程的求导。导数的应用是本书的重点，我们将深入探讨其在优化问题（最大值、最小值）、速率与加速度计算、曲线的单调性与凹凸性分析、方程的根的近似计算（牛顿法）等方面的广泛应用。 积分（Integrals）：积分是对导数运算的逆运算，它主要用于计算面积、体积、弧长以及解决累积效应的问题。本书将分为不定积分和定积分两大部分。 不定积分：我们会介绍不定积分的定义，即原函数，并详细讲解各种积分技巧，包括直接积分法、换元积分法（第一类和第二类）、分部积分法，以及对有理函数、三角函数等特殊类型函数的积分方法。 定积分：定积分的引入将从黎曼和的概念出发，通过将区间分成无数小段来逼近曲线下的面积。本书将深入阐释定积分的几何意义和物理意义，并详细介绍牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理），这是连接微分和积分的关键。定积分的应用将是本书的另一重点，我们将展示如何利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、变力做功等。 微分方程（Differential Equations）：在高等数学的后续章节中，本书会引入微分方程的概念，即含有未知函数及其导数的方程。我们将介绍一些基本类型的微分方程，如可分离变量的微分方程、齐次方程、线性一阶微分方程等，并展示其在描述物理现象（如衰变、增长、振动）中的重要作用。 二、 多元函数微积分（Multivariable Calculus） 在掌握了一元函数微积分的基础上，本书将进一步拓展到多维空间，研究多元函数。 多元函数的概念：我们将介绍多元函数的定义、定义域、图像（曲面）以及空间几何概念，如点、直线、平面、曲面等。 偏导数与方向导数：本书将引入偏导数的概念，即沿着坐标轴方向的变化率。在此基础上，我们将讲解方向导数和梯度，它们描述了函数在任意方向上的变化率，并与曲线的切线和曲面的法线联系起来。 多元函数的极值：我们将学习如何利用偏导数来寻找多元函数的局部最大值、最小值以及鞍点，这在优化问题中至关重要。 重积分（Multiple Integrals）：这是多元函数微积分的核心内容。本书将介绍二重积分和三重积分，它们可以用来计算区域的面积、体积、质量、质心等。我们将学习不同坐标系下的重积分计算方法，包括直角坐标系、极坐标系、柱坐标系和球坐标系。 曲线积分与曲面积分：为了处理更复杂的空间问题，本书将引入曲线积分（用于计算曲线上的物理量，如功、质心）和曲面积分（用于计算曲面上的物理量，如流量）。我们将介绍格林公式、高斯公式和斯托克斯公式等重要的积分定理，它们极大地简化了计算，并揭示了不同积分形式之间的深刻联系。 三、 无穷级数（Infinite Series） 无穷级数是研究无穷多项之和的数学工具，在近似计算、函数表示等方面有着广泛应用。 数列与级数：本书将首先介绍数列的概念，然后引入无穷级数，即数列各项的和。我们将探讨级数的收敛性判别方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法以及绝对收敛与条件收敛的概念。 幂级数与泰勒级数：本书的重点将放在幂级数，特别是泰勒级数和麦克劳林级数。我们将学习如何将函数展开成幂级数，以及如何利用泰勒级数来近似计算函数值、积分和求解微分方程。这在数值分析和工程应用中具有极其重要的地位。 四、 向量分析（Vector Analysis） 本书将涉及向量场的概念，这在描述物理量（如力场、电场、磁场、流体流动）方面至关重要。 向量场：我们将学习向量场的散度（divergence）和旋度（curl）的概念，它们分别描述了向量场在某一点的“源”或“汇”的程度，以及向量场在某一点的“旋转”程度。 向量积分定理：与多元函数积分定理相呼应，本书将介绍向量分析中的三大积分定理：格林公式（用于二维平面）、高斯散度定理（或称散度定理，用于三维空间）以及斯托克斯定理（用于三维空间）。这些定理是连接向量场及其散度、旋度与积分之间关系的重要桥梁，也是物理学中许多基本定律的数学表达形式。 学习目标与价值 通过对《高等数学》的学习，读者将能够： 1. 建立严谨的数学思维：掌握抽象概括、逻辑推理、数学建模等核心数学思维方法。 2. 理解核心数学概念：深入理解极限、连续、导数、积分、微分方程、向量场等基本数学概念的内涵与外延。 3. 掌握数学工具：熟练运用微分、积分、级数、向量分析等数学工具解决实际问题。 4. 培养分析能力：学会将复杂的实际问题转化为数学模型，并运用所学数学知识进行分析、求解与解释。 5. 奠定科学基础：为后续学习更高级的数学课程，以及物理、工程、经济、计算机科学等相关学科打下坚实的数学基础。 学习方法建议 本书旨在提供一个详尽而系统的学习路径。建议读者在学习过程中： 理解概念：重视对每一个数学概念的直观理解，并将其与数学定义相结合。 勤于练习：数学是实践的科学，大量的习题练习是巩固知识、提升技能的关键。本书提供了丰富的练习题，涵盖不同难度和类型。 注重推导：尝试独立完成重要的数学定理和公式的推导过程，这有助于加深对数学原理的理解。 联系实际：关注书中列举的例题和应用，思考数学知识在现实世界中的作用。 循序渐进：高等数学内容连贯性强，务必扎实掌握前面章节的内容，再进入后续的学习。 《高等数学》不仅仅是一门课程，更是一种看待世界、分析问题的方式。本书的编写，正是为了引领您走进这个充满智慧与魅力的数学殿堂，去发现数学的规律之美，感受数学的力量之源。

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我拿到这本《高等数学》时，主要目的是为了准备一些专业资格考试，抱着“完成任务”的心态开始阅读的。坦白说，最初我对它的期望值并不高，以为它不过是旧有教材的翻版，充斥着过时的习题和陈旧的论述方式。然而，这本书在处理“收敛性”问题时的细致程度，着实让我刮目相看。它没有急于给出结论，而是花了大量的篇幅去构建一个严密的判定体系，从比值判别法到根值判别法，再到更深层次的积分判别法，每一种方法都配有明确的适用范围和局限性。这让我意识到，数学并非只是计算，更重要的是“选择工具”的智慧。我特别喜欢它在引入傅立叶级数时那种渐进式的讲解，先从基本的三角函数展开入手，慢慢过渡到复杂的周期函数逼近，这种循序渐进，为理解傅立叶变换的本质打下了非常扎实的基础，避免了直接跳跃到抽象的积分定义带来的理解障碍。虽然习题量大到令人发指，但我发现，正是这些重复而又略有变化的练习，才真正把那些概念固化在了我的脑子里。

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说实话，这本书给我的整体感觉，就是“逻辑的冰冷美感”。它不像有些科普读物那样，试图用生动的比喻来软化那些坚硬的数学概念，而是毫不留情地将你暴露在纯粹的、不容置疑的逻辑推演之下。学习过程中，我最欣赏的是它在引入多元函数和向量场时的那种结构上的对称与和谐。当你真正理解了梯度、散度和旋度的物理意义时，你会产生一种醍醐灌顶的快感，感觉整个三维空间仿佛都被这本书揭示了它内在的运行法则。然而，这种快感往往是短暂的，紧接着就是更复杂的线面积分和曲面积分，那些繁琐的参数化过程，常常让我感觉像是在处理一个极其复杂的管道系统布局图，稍有不慎就会在坐标变换中迷失方向。特别是格林公式、斯托克斯公式这类，虽然书上写得清晰，但实际操作起来，必须对路径和曲面的方向性有极其敏锐的判断力，否则最后的正负号就决定了你的努力是否白费。这本书的难度梯度设置得非常陡峭，从基础的导数到最后的微分方程，每深入一个章节，都需要付出数倍于前一章的精力去适应新的思维框架。

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阅读这本《高等数学》的过程，更像是一场与自我耐力的较量。它的章节划分逻辑清晰，但知识点的密度分布极不均匀，有时一个看似不起眼的定义，后面却隐藏着一串复杂的推导。我花了好大力气才攻克了其中的“定积分的应用”部分，书里详细分析了旋转体的体积和曲面的面积，但最让我感到震撼的是它对“重心”和“转动惯量”的计算描述。这些物理概念在纯粹的数学框架下被完美地解构和重塑，公式的推导过程是如此的严密和优雅，让人不得不佩服人类思维的精妙。不过，我必须指出，这本书的“图示”部分略显不足，很多抽象概念的几何诠释，还需要读者自己借助外部资源去想象和补充。比如讲解曲面上的法向量时，如果能有更丰富的立体图例辅助说明，我想很多同学在理解曲面积分时的痛苦程度会大大降低。总的来说，这是一本“硬核”的教材，它不提供捷径，只提供最坚实的阶梯，每一步都要求你付出实实在在的智力劳动。

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这本厚厚的《高等数学》摆在案头，光是看着就让人感到一种莫名的庄重感。我花了整整一个暑假才啃完第一遍，说实话，过程简直像是在攀登一座陡峭的山峰，汗水和疑惑是常伴左右的“风景”。初接触微积分那会儿，那些极限的定义，仿佛是某种晦涩的古老咒语，每一个 $epsilon$ 和 $delta$ 的纠缠，都像是在跟我玩捉迷藏，总感觉自己抓住了什么，下一秒又溜走了。特别是关于“连续性”的讨论，书里用极其严谨的语言描述着，但我总觉得，书本上的每一个符号，都凝结着前人无数次的尝试与挫败。我不得不承认，有些定理的证明过程，我只能硬着头皮照着符号一步步推导，仿佛在进行某种复杂的机械操作，虽然结果出来了，但那种“为什么是这样”的直觉领悟，常常是缺位的。倒是那些几何直观的插图，时不时能给我一丝慰藉，让我能把抽象的代数语言和现实中的曲线、曲面勉强联系起来。这本书的排版非常紧凑，字里行间都塞满了知识点，让人不敢轻易翻页，生怕错过了哪个关键的脚注，影响了后面的理解。它更像是一本需要反复研磨的工具书，而不是可以轻松阅读的小说。

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这本书给我最大的印象是它的“求真精神”。在讲解积分中值定理的时候，作者反复强调了其几何意义和局限性，而不是简单地将公式抛给你就完事了。它仿佛在对读者说：“看，这就是一个工具，但你得知道什么时候该用，什么时候不能用。”我尤其对书中关于“无穷小”和“无穷大”的讨论印象深刻，它不像某些初级读物那样草草带过，而是用极限的语言精确地界定了它们之间的关系，使得整个微积分大厦的根基显得异常稳固。有一段时间我对泰勒公式的残余项形式感到非常困惑，不同的书里有不同的表述，但这本书对拉格朗日余项和柯西余项的对比分析，清晰地阐明了它们在不同函数性质下的适用侧重，这让我对函数逼近有了更深层次的理解。这本书的优点在于其内容的完整性，它几乎囊括了所有标准工科数学需要涉及的核心内容，但代价是，对于初学者来说，它的“信息密度”实在太高，常常让人感觉每一页都在提醒你，你还有太多知识没有掌握。

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