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出版者:湖南师范大学出版社

作者:张垚

出品人:

页数:322 页

译者:

出版时间:2004-10

价格:23.0

装帧:平装

isbn号码:9787810814355

丛书系列:

图书标签:

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奥林匹克数学中的组合问题 在数学的广阔领域中，组合学以其独特的魅力，捕捉着我们对计数、排列和选择的深刻兴趣。而当我们将目光投向奥林匹克数学的舞台，组合问题更是闪耀着智慧的光芒，成为考察参赛者逻辑思维、创新能力和严谨推理的重要维度。本书旨在深入探讨奥林匹克数学中层出不穷的组合学难题，为读者提供一个系统而全面的学习平台。 本书的编排并非简单地罗列题目，而是力求从基础的概念出发，逐步引导读者进入更为复杂和精妙的组合世界。我们将从最基础的计数原理——加法原理和乘法原理——开始，这是组合数学的基石，理解它们是解决一切组合问题的关键。我们会通过大量生动形象的例子，阐述这些原理在实际问题中的应用，例如安排座位、选择服装、分配任务等，让抽象的数学概念变得触手可及。 接着，本书将深入介绍排列与组合的概念。排列，强调顺序的重要性；组合，则关注选取元素本身。我们会详细讲解全排列、部分排列、不重复组合、可重复组合等基本模型，并配以精心设计的例题，帮助读者熟练掌握公式的应用，并体会不同模型之间的联系与区别。例如，在讨论排列时，我们会涉及诸如“有多少种方式可以安排n本书在书架上”这类问题；而在组合部分，则会涉及“从10个水果中选出3个有多少种选法”这类问题。 然而，奥林匹克数学的组合问题远不止于此。很多题目需要我们运用更高级的工具和技巧。本书将重点讲解 容斥原理，这是一种强大的计数方法，尤其适用于解决带有“至少”、“至多”或“不包含”等条件的计数问题。我们将通过具体的例子，如集合的交集、并集计数，以及一些经典的容斥原理问题，如错排问题，来展示其解决复杂问题的威力。 鸽笼原理（抽屉原理） 也是组合学中的一个重要思想。当我们试图将一些物品放入一些盒子中时，鸽笼原理能够帮助我们推断出至少有一个盒子中包含一定数量的物品。本书将从最简单的形式开始，逐渐引入推广形式，并展示其在证明存在性问题和解决一些看似棘手的计数问题中的巧妙应用。 对于一些涉及“重复”或“分隔”的问题，隔板法 和 捆绑法 是非常有效的手段。隔板法通常用于解决将相同物品分配到不同盒子中的问题，通过引入“隔板”来转化为组合问题。捆绑法则常用于处理元素之间相互关联、必须绑在一起考虑的情况。我们会详细阐述这两种方法的适用条件和操作步骤。 此外，本书还将引入 生成函数 的概念。生成函数是一种强大的代数工具，可以将组合问题转化为多项式的系数问题。虽然生成函数可能在初学者看来较为抽象，但一旦掌握，它将为解决许多复杂的组合问题提供一种全新的视角和强大的计算能力。我们将从基本定义出发，逐步展示如何利用生成函数来解决一些经典的问题，例如整数分拆问题。 本书的另一个重要内容是 图论中的组合应用。图论与组合学有着天然的联系，许多组合问题可以通过构建图模型来解决。我们会探讨图的计数、匹配、覆盖等概念，以及它们在实际问题中的应用，例如社交网络分析、路径规划等。 在讲解完基本的概念和方法后，本书将进一步聚焦于奥林匹克数学竞赛中常见的 特定类型的组合问题。这包括但不限于： 不相交划分与整数分拆：如何将一个整数按照特定的规则进行划分，以及不同划分方式的数量。 二项式定理与多项式定理：虽然它们是代数中的内容，但在组合计数中有着极其重要的应用，特别是二项式系数的组合意义。 递推关系与动态规划：许多组合问题可以通过建立递推关系来解决，而动态规划则是求解这类递推关系的一种高效算法。我们会展示如何将组合问题转化为动态规划问题。 置换群与Burnside引理/Polya计数定理：对于涉及对称性或循环排列的问题，这些定理提供了强大的计数工具。本书将以易于理解的方式介绍这些高级工具，并展示其在一些经典问题中的应用。 本书的每一个章节都力求做到逻辑清晰，例题详实。我们不仅会提供解题思路和方法，更会深入分析解题过程中的关键步骤和数学思想。对于一些经典的奥林匹克数学组合问题，我们会进行多角度的分析，展示不同的解题策略，以及如何从问题的本质出发，找到最简洁有效的解决方案。 此外，本书还将包含一些 解题技巧与策略 的讨论。例如，如何识别问题的类型，如何将复杂问题分解为若干个简单问题，如何利用对称性简化问题，以及如何进行问题的验证等。这些技巧的积累，将极大地提升读者的解题效率和准确性。 本书的目标读者是具有一定数学基础，对组合学和奥林匹克数学竞赛感兴趣的学生、教师和数学爱好者。无论你是初次接触组合学，还是希望在奥林匹克数学竞赛中取得优异成绩，本书都能为你提供有力的支持。我们希望通过本书，读者不仅能够掌握解题的方法，更能培养出对组合数学的深刻理解和对数学问题的探索精神。 阅读本书，你将踏上一段充满挑战与乐趣的数学旅程，领略组合数学的无穷魅力，解锁奥林匹克数学组合问题的精妙之处。

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这本书的行文风格简直是一场思维的探戈，它既有扎实的学术底蕴，又不失生动的叙事技巧。作者似乎深谙数学家与非专业读者之间的那道无形鸿沟，他没有采取那种高高在上、充斥着晦涩术语的陈旧叙述方式。相反，他像一位经验丰富的向导，总是能找到最巧妙的角度切入，将那些看似高不可攀的数学概念，用一种近乎日常对话的口吻娓娓道来。我尤其欣赏他在推导复杂定理时所展现出的耐心和细致，每一步逻辑的衔接都如同精密的机械咬合，毫不拖泥带水，却又让你感觉每一步都是情理之中的必然。这种“润物细无声”的教学方法，极大地降低了学习的心理门槛。读下去，你会发现自己不是在“攻克”数学难题，而是在与一位睿智的伙伴进行一场深入的、充满启发性的思维对话，过程中的挫败感被好奇心和豁然开朗的喜悦所取代。

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这本书的装帧设计得非常精美，封面采用了深邃的蓝色调，配以金色的文字和精细的几何图形浮雕，给人一种典雅而又充满智慧的气息。初次拿到手中，就有一种庄重感，让人对即将展开的数学之旅充满了期待。内页的纸张质量也无可挑剔，触感温润，字迹清晰锐利，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。更值得称赞的是，排版布局极为考究，图文穿插得恰到好处，复杂的公式和定理在清晰的图示辅助下变得直观易懂。作者在细节之处的用心，足以体现出他对知识传播的尊重与热情。虽然内容本身是严谨的数学理论，但外在的呈现却做到了艺术品的高度，这对于激励读者，尤其是初学者进入复杂数学世界的殿堂，无疑起到了一个绝佳的“引子”作用。我特别喜欢它在章节开篇设置的一些历史小花絮，简短而精炼地介绍了某些概念的起源，为冰冷的数学增添了一抹人文色彩。

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这本书最大的亮点，在于它成功地将抽象的数学概念与现实世界中的具体场景巧妙地连接起来，使得理论学习不再是空中楼阁。作者似乎对生活中的各种现象都抱有浓厚的兴趣，他用精妙的数学模型来剖析这些现象背后的规律。比如，在讲解某种特定的排列限制时，他会引用到著名的古代建筑的布局逻辑；在阐述某些概率分布时，他会联系到现代信息加密或随机抽样调查的实际案例。这种“从现象到本质，再从本质回归现象”的路径，极大地增强了学习的代入感和趣味性。它让我清晰地认识到，数学并非是关在象牙塔里的孤芳自赏，而是驱动现代科学、技术乃至社会运行的底层逻辑。这本书让人读完后，会不由自主地开始用数学的眼光去审视周围的世界，这种思维模式的转变，远比掌握几个公式来得更为宝贵。

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这本书在结构编排上体现出极高的专业素养和长远的教学规划。它摒弃了传统教材那种线性的、一成不变的章节顺序，而是采用了模块化和螺旋上升的布局。初学者可以先抓住核心的基础模块，快速建立起对基本概念的直观认识；而有一定基础的读者，则可以直接跳跃到后半部分，深入研究那些需要较高数学成熟度才能理解的复杂结构。不同难度的例题和探讨性问题的穿插，使得这本书的受众面非常广。更值得称赞的是，全书提供了一个极为详尽的“参考索引”，方便读者在遇到新概念时，能迅速定位到前面与之相关的定义和引理，这在查阅和复习时提供了极大的便利。可以说，这本书的结构设计本身就是一套精妙的教学工具，它尊重了个体学习的差异性，让不同水平的读者都能找到最适合自己的节奏和路径。

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从内容深度来看，这本书的广度和深度令人印象深刻，它显然不是一本蜻蜓点水的入门读物，而是为那些真正有志于在数论领域深耕的读者准备的“硬核”材料。作者对基础理论的构建极其扎实，从最基本的计数原理出发，层层递进，直至触及一些前沿的研究热点和尚未完全解决的开放性问题。我发现自己不仅回顾和巩固了中学时期的概率论基础，更重要的是，书中引入的许多高级技巧，比如生成函数在解决不定方程中的应用，或者容斥原理在排列组合中的巧妙运用，都极大地拓宽了我解决问题的工具箱。书中收录的习题设计也非常巧妙，它们不仅仅是对所学知识的简单复述，很多题目本身就包含了独特的数学思想和解题的“陷阱”，迫使读者必须进行深度的思考和灵活的变通。这本书的价值，在于它教会的不仅是“如何解题”，更是“如何像数学家一样思考”。

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