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出版者:Dover Publications

作者:Thomas J. R. Hughes

出品人:

页数:672

译者:

出版时间:2000-08-16

价格:USD 29.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486411811

丛书系列:

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结构力学中的能量方法与变分原理：从基础到高级应用 本书聚焦于结构力学领域中至关重要的能量方法和变分原理，旨在为工程和应用数学领域的学生及专业人士提供一套系统、深入且实用的理论框架和计算工具。本书内容不涉及有限元方法（The Finite Element Method）本身，而是作为理解和发展该方法背后数学基础的先修或补充读物。 第一部分：力学基础与能量法的溯源 本部分旨在为读者打下坚实的力学基础，并引入能量概念在结构分析中的核心地位。 第一章：静力学与几何基础的回顾与深化 本章首先回顾了经典的静力学平衡方程和应力分析的基础知识，但重点在于引入虚功原理 (Principle of Virtual Work)。我们详细阐述了虚位移和虚力法的区别与联系，并将其应用于求解复杂静定和静不定结构。本章特别强调了虚功原理作为系统能量平衡的微分形式的本质，为后续引入变分原理奠定基础。我们探讨了线弹性材料的本构关系，并从微观尺度出发，推导出宏观应力与应变之间的关系，为能量泛函的构建做好准备。 第二章：弹性势能与系统稳定性 本章核心是弹性势能 (Strain Energy) 的概念。我们详细推导了在应变能密度函数 $U(mathbf{epsilon})$ 下，系统总应变能 $U$ 的表达式，包括拉伸、弯曲、扭转和剪切变形的贡献。随后，引入余位能 (Complementary Energy) 的概念，用于在应力约束满足的情况下，描述系统的能量状态。章节的重点在于最小势能原理 (Principle of Minimum Potential Energy)，阐述了在平衡状态下，保守系统总势能（弹性势能与外力做功之和）必须取到极小值的物理和数学意义。我们通过欧拉-拉格朗日方程的初步应用，展示了如何利用能量泛函直接导出系统的运动微分方程，而无需显式求解平衡方程。 第三章：刚体运动与广义坐标系 为了更有效地应用能量方法，本章引入了拉格朗日力学 (Lagrangian Mechanics) 的基本框架。我们定义了系统的广义坐标 $mathbf{q}$，并推导出拉格朗日量 $L = T - V$，其中 $T$ 是动能， $V$ 是势能（广义保守力势能）。本章的重点是欧拉-拉格朗日方程在结构动力学问题中的应用，特别是对于具有柔性和耦合运动的系统，如何通过能量泛函简化求解过程。我们深入探讨了约束力的处理方式，以及在引入耗散力时，如何修正拉格朗日方程为瑞利方程 (Rayleigh Equations)。 第二部分：变分原理与泛函分析 本部分是本书的核心，着重于建立能量方法背后的数学支撑——变分微积分。 第四章：变分微积分导论 本章为读者引入处理含变数的函数，即泛函，的数学工具。我们定义了泛函 (Functional) $J[y(x)]$ 及其一阶变分 $delta J$。核心内容是欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange Equation) 的详尽推导，该方程是寻找泛函极值的必要条件。我们分析了边界条件（自然边界条件和几何边界条件）在变分过程中的物理意义，并展示了它们如何对应于结构力学中的本构关系和外力平衡。本章还涵盖了高阶导数泛函的情况，以及多个自变量的变分问题。 第五章：边界值问题与变分等价 本章将变分原理与经典的偏微分方程（PDEs）联系起来。我们以著名的泊松方程为例，推导其对应的能量泛函。读者将学习如何从物理定律的微分形式（如平衡方程）反推导出其变分表述 (Variational Formulation)，以及反之亦然。重点讨论了自伴随算子 (Self-Adjoint Operators) 在确保变分问题良态性中的作用。我们详细分析了结构力学中常见的线性边界值问题（如梁的挠度和薄膜的挠度问题），并展示变分法如何提供一种统一的、从整体能量角度出发的求解视角。 第六章：最小势能原理的严格化与泛函空间 本章将概念提升到函数空间（希尔伯特空间和索伯列夫空间）的层面，为更高级的分析做准备。我们讨论了最小势能原理成立的严格数学条件，包括能量泛函的下有界性 (Bounded Below) 和凸性 (Convexity)。对于非线性结构，我们探讨了拓扑居约条件 (Topological Admissibility Conditions)。本章介绍了泛函的二阶变分，用于判断变分点是极小值、极大值还是鞍点，这对于稳定性分析至关重要。我们简要介绍了变分不等式 (Variational Inequalities) 的基本概念，作为处理非光滑接触或摩擦问题的数学工具的引子。 第三部分：高级应用与非保守系统 本部分探索能量方法在更复杂和动态系统中的应用，以及如何处理耗散过程。 第七章：结构动力学中的哈密顿原理 本章将拉格朗日力学推广到哈密顿力学 (Hamiltonian Mechanics)。我们引入哈密顿量 $H = sum p_i dot{q}_i - L$，并推导出正则方程 (Canonical Equations)。在结构动力学中，这为模态分析和解耦提供了新的视角。我们应用哈密顿原理来分析自由振动和受迫振动问题，特别是使用相空间分析来理解系统的稳定性和周期性解。 第八章：耗散系统的能量处理 对于涉及阻尼和非保守力的系统，纯粹的势能和动能概念不足以描述平衡。本章引入瑞利耗散函数 (Rayleigh Dissipation Function) $mathcal{F}$，并展示如何将其纳入拉格朗日形式中，得到包含阻尼项的运动方程。我们详细分析了粘滞阻尼和库仑摩擦对系统能量耗散的影响，以及在变分框架中处理这些非保守力的方法。本章还讨论了如何使用虚功原理来等效地描述这些耗散力，使得能量平衡方程在广义形式上得以保持。 第九章：非线性结构分析的能量方法 本章关注材料和几何非线性对能量泛函的影响。在材料非线性方面，我们分析了弹性刚度函数的演化，以及如何使用增量功原理 (Incremental Work Principle) 来处理塑性或超弹性行为。在几何非线性方面（如大变形），我们讨论了第二变分在判断结构稳定性（如屈曲）中的关键作用。本章将导出的非线性能量泛函的变分形式，转化为求解非线性代数方程组的基础，为迭代求解方法（如牛顿法）的收敛性分析提供能量层面的解释。 附录：线性代数与张量分析回顾 本附录简要回顾了在推导应力和应变张量时所必需的线性代数基础，包括张量运算、协变和逆变分量，以及雅可比行列式在坐标变换中的应用，以确保读者能够无障碍地理解各章节中涉及的张量表示法。 本书的最终目标是使读者深刻理解：所有基于力的平衡、基于位移的变分以及基于势能的最小化原理，在数学上均源于一个统一的、优雅的能量泛函的变分或极值搜索过程。

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我在进行一些工程项目时，经常会遇到需要进行热应力分析的情况，例如集成电路芯片在工作时产生的热量会导致内部应力分布不均，影响其可靠性。有限元方法在这类问题上的应用前景让我倍感兴奋。我设想《有限元方法》这本书会从热传导的基本方程出发，讲解如何将其离散化并转化为有限元方程。这其中必然涉及到如何处理边界上的热流、对流和温度边界条件，以及如何将温度场和位移场耦合起来进行热应力分析。我希望书中能够提供一些具体的算例，展示如何应用有限元方法来解决这类多物理场耦合问题。例如，一个在高温环境中工作的机械部件，其热膨胀会引起应力集中，从而影响其承载能力。如何通过有限元方法来精确地模拟这种温度变化引起的形变和应力分布，是我的一个重要需求。我对于书中可能包含的关于传热基本原理、热物性参数的定义以及它们如何在有限元模型中被应用这些内容充满期待。

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我一直认为，理解一个方法论的“物理含义”和“工程直观性”是至关重要的，尤其是在学习像有限元方法这样强大的数值工具时。我希望《有限元方法》这本书能够不仅仅提供冰冷的数学公式和算法步骤，更能引导我理解有限元方法在物理世界中的“直观”体现。例如，当我们将一个连续的物体离散化为一系列小单元时，我希望书中能解释为什么这样可以逼近真实情况，以及每个单元的“节点”和“插值函数”在物理上代表了什么。我也希望书中能通过一些简单的、可理解的例子，例如二维平面应力问题，来形象地展示有限元方法的处理过程，让我能够在大脑中构建起一个关于“如何将连续问题转化为离散问题”的清晰图像。

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我在接触一些数值模拟软件时，常常被其强大的功能所吸引，但同时也对软件背后所采用的算法和原理感到好奇。《有限元方法》这本书，如果能从基础理论出发，逐步构建起整个方法的框架，我相信会极大地帮助我理解这些软件是如何工作的。例如，当我在有限元软件中定义材料属性时，我希望了解这些属性是如何被纳入到单元刚度矩阵的计算中的，以及不同本构模型（如线弹性、弹塑性）在有限元框架下是如何实现的。我希望书中能够涉及单元插值函数（形函数）的选择，以及它们是如何满足连续性和相容性要求的。此外，对于各种类型的载荷（体力、面力、点载荷）如何在有限元模型中进行离散化和施加，我也希望书中能有详细的解释。

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作为一名对新知识充满渴求的学习者，我希望《有限元方法》这本书不仅能教会我有限元方法的基础，更能为我打开通往更高级主题的门户。我期待书中能够简要介绍一些与有限元方法紧密相关的领域，例如边界元方法、谱元法等，让我了解在某些特定问题上，这些替代方法可能比有限元方法更具优势。我还希望书中能提及一些前沿的研究方向，例如高效的并行计算技术在有限元分析中的应用，或者机器学习与有限元方法结合的新兴交叉领域。一本好的教材，应该能够激发读者的进一步学习兴趣，并为他们指明未来深入研究的方向。我希望这本书能成为我探索计算力学和工程仿真领域的坚实起点。

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从我过去的学术研究经历来看，很多理论性很强的学科，在引入新的方法论时，往往会伴随着大量的数学推导和概念的抽象。我非常希望《有限元方法》这本书能够提供一个循序渐进的学习过程，从最基础的数学原理开始，逐步引导读者理解有限元方法的精髓。例如，在离散化过程中，如何选择合适的单元形状（三角形、四边形、实体单元等）以及在单元内部如何选择节点和插值函数，这些都将直接影响计算的精度和效率。我个人比较倾向于了解不同单元在不同应用场景下的优劣势，以及如何根据问题的特点来选择最合适的单元类型。此外，关于数值积分（如高斯积分）在求解单元刚度矩阵中的作用，以及如何处理边界条件（强制位移、外力加载）等具体的技术细节，也都是我非常渴望从书中获取的知识。我希望这本书不仅仅是给出公式和算法，更能解释这些公式背后的物理意义和数学原理，让我能够融会贯通，而不是死记硬背。特别是在处理一些非线性问题时，例如材料的塑性变形或者大变形的接触问题，这些都需要迭代求解，我希望书中能对这些非线性有限元方法的处理流程和收敛性分析有深入的讲解。

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在工程实践中，很多问题并非是静态的，而是随着时间演变的，例如动态响应分析、瞬态传热问题等。我希望《有限元方法》这本书能够涵盖有限元方法在处理这类时间相关问题上的应用。这通常涉及到对时间域进行离散化，或者采用特殊的时域积分格式来求解包含时间导数的偏微分方程。我希望书中能够详细介绍半离散化方法，即在空间域使用有限元离散化，在时间域使用数值积分方法（如有限差分法、Newmark-beta法、中心差分法等）来求解。我尤其关注这些时间积分方法的原理、精度和稳定性，以及如何根据问题的特性来选择合适的积分方法。理解如何在有限元框架下有效地模拟动态系统的行为，对我而言是非常有价值的。

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对于《有限元方法》这本书，我从一位初学者和潜在的深度使用者两个角度来审视，并尝试从我自身的学习经历和对工程问题的思考出发，来阐述我对这本书可能带来的影响和启示，但请注意，这里的描述并非直接出自书本内容，而是基于我个人对“有限元方法”这一概念的理解以及阅读相关领域技术书籍的经验来推测这本书会涵盖哪些方面，以及它可能如何帮助我解决实际问题。 在我深入接触有限元方法之前，我曾尝试过许多传统解析方法来解决结构力学问题。这些方法在处理简单的几何形状和边界条件时非常有效，比如梁的弯曲、桁架的应力分析等。然而，一旦遇到复杂的曲面、不规则的载荷分布或者材料的非均匀性，解析方法的推导就变得异常困难，甚至不可行。我常常感到一种无力感，仿佛自己的工具箱里缺少了能够应对更复杂现实世界的“瑞士军刀”。因此，当我了解到有限元方法能够将复杂的问题分解成一系列简单且易于处理的单元，并通过数值计算来逼近真实解时，我对此产生了浓厚的兴趣。我希望《有限元方法》这本书能够提供一条清晰的路径，让我理解如何将一个现实世界的复杂工程问题，例如一个航空发动机叶片在高应力下的形变，或者桥梁在动态载荷下的振动响应，转化为一系列可以在计算机上进行的离散化计算。这本书的理论框架，我预想会涉及如何将连续体区域划分为有限个小区域（单元），每个单元内部的场变量（如位移、温度）如何用简单的插值函数（形函数）来近似，以及如何基于这些近似来建立单元的刚度矩阵或传递矩阵。我尤其关注的是，这本书是否会详细解释如何将这些单元方程组集成起来，形成一个全局的离散方程组，并最终通过求解这个大型稀疏矩阵方程来获得整个结构的响应。

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作为一名对计算效率敏感的工程师，我深知模型的大小和求解器的选择对整个仿真过程的影响。我希望《有限元方法》这本书能够不仅仅停留在理论层面，还能提供关于如何优化有限元模型以提高计算效率的实用建议。这可能包括网格划分的技巧（例如局部加密、自适应网格）、单元类型的选择（低阶单元与高阶单元的权衡）以及如何有效地建立和求解大规模稀疏矩阵方程组。我了解到，现代有限元软件通常会集成多种求解器，如直接法和迭代法，并且针对不同的问题类型有不同的最优选择。我希望这本书能够对这些求解器的原理、优缺点以及适用范围进行介绍，让我能够根据自己的具体问题选择最合适的求解器，从而缩短计算时间，节省计算资源。同时，我也关注模型建立的预处理阶段，例如几何建模、材料属性定义、载荷和边界条件的施加等，希望书中能提及这些方面的重要性以及可能遇到的挑战。

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我对书中关于网格生成和优化的部分尤为关注。在很多实际应用中，复杂的几何形状是不可避免的，例如汽车的车身、飞机机翼的复杂曲面或者人体骨骼的精细结构。如何将这些复杂几何体离散化为高质量的有限元网格，是保证计算结果准确性的关键。我希望《有限元方法》这本书能够详细介绍不同类型的网格生成算法，比如结构化网格、非结构化网格，以及如何控制网格的密度和质量。我更感兴趣的是，书中是否会讨论自适应网格细化的技术，即根据计算结果中误差较大的区域自动加密网格，从而在保证精度的同时，尽可能地减少单元数量。例如，在模拟裂纹扩展或者应力集中的区域，我需要更精细的网格来捕捉这些局部特征。我希望能从书中学习到如何通过合理的网格策略，在计算精度和计算成本之间找到一个最佳的平衡点。

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在科学计算领域，验证和评估计算结果的可靠性至关重要。我希望《有限元方法》这本书能够提供关于有限元方法误差分析和验证方面的深入探讨。这可能包括对截断误差、离散化误差和数值误差的解释，以及如何通过与解析解的对比、与实验数据的比较或者采用不同网格密度和单元类型进行收敛性分析来评估计算结果的准确性。我希望书中能够教会我如何识别和处理潜在的计算错误，例如数值不稳定性、奇异点附近的计算误差等。一个好的教程，应该不仅仅教会我如何“做”，更重要的是让我理解“为什么”这样做，以及如何判断我的结果是否“可靠”。我期待书中能够包含一些关于后处理技术的介绍，例如如何通过可视化技术来展示计算结果（如应力分布云图、位移变形动画），以及如何从这些结果中提取有意义的工程信息。

评分☆☆☆☆☆

From Prof. Sirignano. This book is very grad-level based, so you need to know how to solve basic 2nd-O PDE and how to perform path integrals for example. This book is also aimed at people who would like to be able to write their own FEM solver. COMSOL is highly recommended since they even conduct CFD using FEM.

评分☆☆☆☆☆

在FDM和BEM之外最重要的模拟进行材料受力分析的方法便是FEM，此书介绍极为全面具体.流程图、各种模式公式和材料数据一应俱全，图例也不在少..还包括针对不同的功能、复合材料进行不同的konte及单元选取的建议实例。不过在MPI进行的已经是基于COMSOL MULTIPHYSICS 3.3 (FEMLAB)版本的模拟研究，本书中的软件太旧供参考

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在FDM和BEM之外最重要的模拟进行材料受力分析的方法便是FEM，此书介绍极为全面具体.流程图、各种模式公式和材料数据一应俱全，图例也不在少..还包括针对不同的功能、复合材料进行不同的konte及单元选取的建议实例。不过在MPI进行的已经是基于COMSOL MULTIPHYSICS 3.3 (FEMLAB)版本的模拟研究，本书中的软件太旧供参考

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觉得不如Bathe写得好

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From Prof. Sirignano. This book is very grad-level based, so you need to know how to solve basic 2nd-O PDE and how to perform path integrals for example. This book is also aimed at people who would like to be able to write their own FEM solver. COMSOL is highly recommended since they even conduct CFD using FEM.